广东省东莞市松山湖实验中学2026-2027学年七年级上学期11月期中数学试题

松山湖实验中学 2026-2027学年第一学期期中教学质量自查试卷 注意事项: 1. 全卷共4页，满分为120分。考试用时为120分钟。 2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3. 请你将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题的答案请用黑色的签字笔或钢笔填写在答题卡相应的横线上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代数学专著《九章算术》中。若向东走2米记为+2米，则向西走3米应记为（） A. -2米 B. -3米 C. +3米 D. +5米 2. 2026的相反数是（） A. −2026 B. 2026 C. D. − 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就。飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒。数据7900用科学记数法表示为（） A. 0.79×10⁴ B. 7.9×10³ C. 7.9×10² D. 79×10² 4.下列数 -3，2.6，-0.1，0，15，−中，负有理数的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.01 D. 0.02 6.几种液体的凝固温度（标准大气压）如表：其中凝固温度最低的是（） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） -39 -114 0 -117 A. 水银 B. 酒精 C. 水 D. 乙醚 7.下列各式中是代数式的是（） A. S=πr² B. 2a＞b C. 3x+y D. π≈3.14 8.某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（） A. 430 B. 670 C. 630 D. 370 9.请你先计算0.01³，0.1³，1³，10³，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A. 不移动 B. 向左（右）移动一位 C. 向左（右）移动两位 D. 向左（右）移动三位 10.如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应−2，直尺的0刻度位置对应−4，则点B对应的数为（） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. - 的倒数是____。 幸 福 -5 -7 1 9 东 莞 人 12. 小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差________元。 13. 下列各问题中的两个量成反比例关系的是____（填序号）。 ①完成一项定量的工作，工作时间和工作效率； ②进价a元的地球仪，售价和利润； ③正方形的周长和边长； ④圆柱体的体积不变，底面积和高。 14. 幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图。如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等。将“幸福东莞人”这五个汉字分别放在九宫图中的方格内，汉字遮盖了原来的部分数字，则图中“幸”遮盖的数字是____。 15.对于任意有理数a，b定义一种新运算：a⊕b = (a+b)+|a−b|。若a=−2，b=−3，则a⊕b的值为____。 三、解答题（一）（本大题共3小题，共24分） 16. 计算： (1) 8 − (−2) + (−7) − 5； (2) −1²⁰²⁶ − 18 × (− )² + 4 ÷ (− )。 17. 老师给布置了一道练习：计算(−9) ÷ ( − ) × 6。小方与小王的解答过程如下： 小方的解答过程： 解：原式= (−9) ÷ (−) × 6（第一步） = (−9) ÷ (−1)（第二步） = 9（第三步） 小王的解答过程： 解：原式= (−9) ÷ − × 12（第一步） = −27 − 6（第二步） = −33（第三步） 回答：（1）①小方解题过程中有错误的地方是第____步；②小王解题过程中有错误的地方是第____步； （2）把正确的解题过程写出来。 18. 如图，某物业公司打算在一块长方形区域的两边各修一个半圆形花坛，并将阴影部分进行美化。已知长方形区域的长为a米，宽为b米，半圆半径为r米（2r＜b）。 （1） 用式子表示阴影部分的面积________平方米； （2） 已知a=5，b=4，r=1，美化每平方米的费用为100元，求美化的费用（π取3.14）。 四、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 19. 数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足(a−5)²+|b+4|=0。 （1）a=___，b=____；A，B间的距离为____； （2）若数轴上另外两点C和D表示的数分别为−(+2.5)和−|−|，请画出数轴，并在数轴上标出A、B、C、D，然后用“＜”号把它们按从小到大连接起来。 20.项目式学习 【项目主题】某新能源汽车耗电情况 【项目背景】2026年上半年，新能源汽车新车销量达到汽车新车总销量的49.6%，新能源汽车国内销量占比为51.3%. 亮亮家购置了一辆续航为400km(充满电能行驶的最大路程)的新能源纯电动汽车，亮亮想 记录汽车行驶过程中的耗电情况. 【项目实施】 亮亮的爸爸将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位:km.以 50km为 标准，超过的部分记为“+”，不足的部分记为“”).已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了54km. 【项目任务】 (1)■处的数为______.●处的数为__________. (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差多少千米？ (3)已知该汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航路程的20%，行车电脑就会发出充电提示.请通过 计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示？ 22. 某学校食堂中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式: (1)当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐_____人，第二种摆放方式能坐 _____人; (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_____人，第二种摆放方式能坐_____人;(用含有n的代数式表示) (3)新学期有400人在学校就餐，但餐厅只有100张这样的餐桌，若你是决策者，你打算选择哪种方式来摆 放餐桌？为什么？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 22. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数. 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百,2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子(规定当a≠0时,a=1)：3721=3×103+7×102+2×101+1×100 例如，二进制数(1011)₂，转换为十进制数为：1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=11。 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法。 例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得25=(11001)₂。 此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）。 根据上述材料解答下列问题： （1） 【任务一】二进制的基数是____，十进制数7对应的二进制数为________。 （2） 【任务二】中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用。十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11。请结合以上材料计算十二进制数(1X5)₁₂对应的十进制数为________。 （3）【任务三】有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为；当x为偶数时，破解公式为2x+3。求出二进制明码(1001101)₂破解后的密码。 23. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合。通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，若a＞b，则可化简为AB=a−b。若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： （1） 若点P与表示有理数−1的点的距离是3个单位长度，则a的值为________； （2） |a−2|表示数轴上点P到有理数____所对应的点之间的距离，|a+5|表示数轴上点P到有理数____所对应的点之间的距离； （3） 利用数轴，找出所有符合条件的整数a，使得|a−2|+|a+5|=7。则这样的整数a有____个； （4）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，求|b−2|+|c+5|的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $松山湖实验中学 2026-2027学年第一学期期中教学质量自查试卷 注意事项: 1. 全卷共4页，满分为120分。考试用时为120分钟。 2. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3. 请你将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题的答案请用黑色的签字笔或钢笔填写在答题卡相应的横线上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代数学专著《九章算术》中。若向东走2米记为+2米，则向西走3米应记为（） A. -2米 B. -3米 C. +3米 D. +5米 【答案】B 【解析】 正负数表示相反意义的量。向东走记为正，则向西走记为负。向东走2米记为+2米，那么向西走3米应记为-3米。 故选B。 2. 2026的相反数是（） A. −2026 B. 2026 C. D. − 【答案】A 【解析】 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 故选A。 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就。飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒。数据7900用科学记数法表示为（） A. 0.79×10⁴ B. 7.9×10³ C. 7.9×10² D. 79×10² 【答案】B 【解析】 科学记数法的表示形式为a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为整数。 7900 = 7.9×10³ 故选B。 4.下列数 -3，2.6，-0.1，0，15，−中，负有理数的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 负有理数是指小于0的有理数。其中负有理数有：-3，-0.1，−，共3个。 注意：0既不是正数也不是负数。 故选C。 5.用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.01 D. 0.02 【答案】B 【解析】 精确到0.001即精确到千分位。看万分位上的数字： 0.0158的千分位是5，万分位是8，因为8≥5，所以根据四舍五入，千分位进1： 0.0158 ≈ 0.016 故选B。 6.几种液体的凝固温度（标准大气压）如表：其中凝固温度最低的是（） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） -39 -114 0 -117 A. 水银 B. 酒精 C. 水 D. 乙醚 答案】D 【解析】 比较各液体的凝固温度： 因为-117 < -114 < -39 < 0，所以凝固温度最低的是乙醚（-117℃）。 故选D。 7.下列各式中是代数式的是（） A. S=πr² B. 2a＞b C. 3x+y D. π≈3.14 答案】C 【解析】 代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。 - A选项S=πr²是等式（公式），不是代数式 - B选项2a＞b是不等式，不是代数式 - C选项3x+y是代数式 - D选项π≈3.14是近似等式，不是代数式 故选C。 8.某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（） A. 430 B. 670 C. 630 D. 370 答案】C 【解析】 潜水艇初始位置：海面下500米，记为-500米 先下降300米：-500 + (-300) = -800米 又上升170米：-800 + 170 = -630米 即潜水艇停在海面下630米处。 故选C。 9.请你先计算0.01³，0.1³，1³，10³，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A. 不移动 B. 向左（右）移动一位 C. 向左（右）移动两位 D. 向左（右）移动三位 【答案】D 【解析】 计算各数的立方： - 0.01³ = 0.000001 - 0.1³ = 0.001 - 1³ = 1 - 10³ = 1000 观察规律：底数0.01的小数点向右移动一位得到0.1，立方数0.000001的小数点向右移动三位得到0.001；底数0.1的小数点向右移动一位得到1，立方数0.001的小数点向右移动三位得到1。 因此，底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数的小数点向左（右）移动三位。 故选D。 10.如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应−2，直尺的0刻度位置对应−4，则点B对应的数为（） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 由题意可知： - 直尺的0刻度对应数轴上的-4 - 直尺的1cm刻度（点A）对应数轴上的-2 所以直尺上每1cm对应数轴上的距离为：-2 - (-4) = 2 点B在直尺的9cm处，从0刻度到点B的距离为9cm，对应数轴上的距离为9×2 = 18 点B对应的数为：-4 + 18 = 14 故选D。 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. - 的倒数是____。 【答案】-2 【解析】 - 的倒数是 -2。 故答案为：-2。 12. 小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差________元。 【答案】(6m-40) 【解析】 6千克苹果的费用为6×m = 6m元，微信余额为40元，付款时余额不足，说明6m > 40。 他还差的金额为：6m - 40（元） 故答案为：6m-40。 13. 下列各问题中的两个量成反比例关系的是____（填序号）。 ①完成一项定量的工作，工作时间和工作效率； ②进价a元的地球仪，售价和利润； ③正方形的周长和边长； ④圆柱体的体积不变，底面积和高。 【答案】①④ 【解析】 反比例关系是指两个量的乘积为定值（xy=k，k≠0）。 - ① 工作总量一定时，工作时间×工作效率 = 工作总量（定值），成反比例关系 ✓ - ② 售价 - 利润 = 进价a（定值），是和为定值而非积为定值，不成反比例关系 ✗ - ③ 正方形周长 = 4×边长，是正比例关系，不成反比例关系 ✗ - ④ 圆柱体体积不变时，底面积×高 = 体积（定值），成反比例关系 ✓ 故答案为：①④。 14. 幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图。如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等。将“幸福东莞人”这五个汉字分别放在九宫图中的方格内，汉字遮盖了原来的部分数字，则图中“幸”遮盖的数字是____。 幸 福 -5 -7 1 9 东 莞 人 【答案】3 【解析】 幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等。 第二行已知三个数：-7 + 1 + 9 = 3，所以每行每列对角线之和均为3。 由第三列：-5 + 9 + "人" = 3，得"人" = -1 由主对角线："幸" + 1 + "人" = 3，即"幸" + 1 + (-1) = 3，得"幸" = 3 验证第一行："幸" + "福" + (-5) = 3，即3 + "福" - 5 = 3，得"福" = 5 验证第一列："幸" + (-7) + "东" = 3，即3 + (-7) + "东" = 3，得"东" = 7 验证第三行："东" + "莞" + "人" = 3，即7 + "莞" + (-1) = 3，得"莞" = -3 验证第二列："福" + 1 + "莞" = 3，即5 + 1 + (-3) = 3 ✓ 故"幸"遮盖的数字是3。 15.对于任意有理数a，b定义一种新运算：a⊕b = (a+b)+|a−b|。若a=−2，b=−3，则a⊕b的值为____。 【答案】-4 【解析】 根据新运算定义：a⊕b = (a+b) + |a-b| 当a = -2，b = -3时： a⊕b = (-2 + (-3)) + |-2 - (-3)| = (-5) + |-2 + 3| = -5 + |1| = -5 + 1 = -4 故答案为：-4。 三、解答题（一）（本大题共3小题，共24分） 16. 计算： (1) 8 − (−2) + (−7) − 5； (2) −1²⁰²⁶ − 18 × (− )² + 4 ÷ (− )。 【解答】 解：(1) 8 - (-2) + (-7) - 5 = 8 + 2 + (-7) + (-5) = 10 + (-7) + (-5) = 3 + (-5) = -2 (2) −1²⁰²⁶ − 18 × (− )² + 4 ÷ (− ) = -1 - 18 × + 4 × (-2) = -1 - 2 + (-8) = -11 17. 老师给布置了一道练习：计算(−9) ÷ ( − ) × 6。小方与小王的解答过程如下： 小方的解答过程： 解：原式= (−9) ÷ (−) × 6（第一步） = (−9) ÷ (−1)（第二步） = 9（第三步） 小王的解答过程： 解：原式= (−9) ÷ − × 12（第一步） = −27 − 6（第二步） = −33（第三步） 回答：（1）①小方解题过程中有错误的地方是第____步；②小王解题过程中有错误的地方是第____步； （2）把正确的解题过程写出来。 【解答】 解：(1) 二；一 （2）324 ①- 小方的错误：第二步中，他先计算了(-) × 6=-1，然后再计算(-9)÷(-1)=9。这是错误的，因为同级运算（除法和乘法）应该从左到右依次计算，不应先算后面的乘法。 ②小王的错误：第一步中，他错误地改变了原式的运算顺序和符号，将除法分配错误，导致整个解题方向错误。 (2) 正确的解题过程如下： (−9) ÷ ( − ) × 6 = (-9) ÷ (-) × 6 = (-9) × (-6) × 6 = 54 × 6 = 324 18. 如图，某物业公司打算在一块长方形区域的两边各修一个半圆形花坛，并将阴影部分进行美化。已知长方形区域的长为a米，宽为b米，半圆半径为r米（2r＜b）。 （1） 用式子表示阴影部分的面积________平方米； （2） 已知a=5，b=4，r=1，美化每平方米的费用为100元，求美化的费用（π取3.14）。 【解答】（1）（ab - πr²） （2）1686元 解：(1) 阴影部分的面积 = 长方形面积 - 两个半圆的面积 两个半圆可以拼成一个完整的圆，半径为r，面积为πr² 长方形面积为ab 所以阴影部分面积 = ab - πr²（平方米） (2) 当a=5，b=4，r=1，π取3.14时： 阴影部分面积 = 5×4 - 3.14×1² = 20 - 3.14 = 16.86（平方米） 美化费用 = 16.86 × 100 = 1686（元） 答：美化的费用为1686元。 四、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 19. 数轴上的定点A，B表示的数分别是a，b，且满足(a−5)²+|b+4|=0。 （1）a=___，b=____；A，B间的距离为____； （2）若数轴上另外两点C和D表示的数分别为−(+2.5)和−|−|，请画出数轴，并在数轴上标出A、B、C、D，然后用“＜”号把它们按从小到大连接起来。 【解答】（1）5；-4（2）-4 < -2.5 < -0.5 < 5 解：(1) 因为(a-5)² ≥ 0，|b+4| ≥ 0，且(a-5)² + |b+4| = 0 所以(a-5)² = 0 且 |b+4| = 0 解得：a = 5，b = -4 A、B间的距离 = |a - b| = |5 - (-4)| = |5 + 4| = 9 故a = 5，b = -4，A、B间的距离为 9。 (2) C表示的数 = -(+2.5) = -2.5 D表示的数 = −|−|= − = -0.5 在数轴上标出这四个点（数轴略），按从小到大排列为：-4 < -2.5 < -0.5 < 5 20.项目式学习 【项目主题】某新能源汽车耗电情况 【项目背景】2026年上半年，新能源汽车新车销量达到汽车新车总销量的49.6%，新能源汽车国内销量占比为51.3%. 亮亮家购置了一辆续航为400km(充满电能行驶的最大路程)的新能源纯电动汽车，亮亮想 记录汽车行驶过程中的耗电情况. 【项目实施】 亮亮的爸爸将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位:km.以 50km为 标准，超过的部分记为“+”，不足的部分记为“”).已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了54km. 【项目任务】 (1)■处的数为______.●处的数为__________. (2)行驶路程最多的一天与最少的一天相差多少千米？ (3)已知该汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航路程的20%，行车电脑就会发出充电提示.请通过 计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示？ 【解答】（1）-5；+4（2）14（3）会 解：(1) 已知以50km为标准，超过记"+"，不足记"-" 第三天行驶了45km：■ = 45 - 50 = -5 第六天行驶了54km：● = 54 - 50 = +4 (2) 七天的实际行驶路程分别为： - 第一天：50 + (-6) = 44km - 第二天：50 + 2 = 52km - 第三天：50 + (-5) = 45km - 第四天：50 + (-3) = 47km - 第五天：50 + 8 = 58km - 第六天：50 + 4 = 54km - 第七天：50 + 7 = 57km 最多的一天：58km（第五天），最少的一天：44km（第一天） 相差：58 - 44 = 14（千米） (3) 七天总行驶路程： 44 + 52 + 45 + 47 + 58 + 54 + 57 = 357（km） 或用偏差计算：50×7 + (-6+2-5-3+8+4+7) = 350 + 7 = 357（km） 剩余续航：400 - 357 = 43（km） 续航的20%：400 × 20% = 80（km） ∵43 < 80，∴剩余电量不足续航路程的20% 答：该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会发出充电提示。 22. 某学校食堂中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式: (1)当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐_____人，第二种摆放方式能坐 _____人; (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_____人，第二种摆放方式能坐_____人;(用含有n的代数式表示) (3)新学期有400人在学校就餐，但餐厅只有100张这样的餐桌，若你是决策者，你打算选择哪种方式来摆 放餐桌？为什么？ 【解答】（1）18；12（2）(4n+2) ；(2n+4)（3）应选择第一种摆放方式 解：(1) 第一种摆放方式： 1张桌子坐6人，2张桌子坐10人，3张桌子坐14人 规律：每增加1张桌子多坐4人，即4n+2 当n=4时：4×4 + 2 = 18（人） 第二种摆放方式： 1张桌子坐6人，2张桌子坐8人，3张桌子坐10人 规律：每增加1张桌子多坐2人，即2n+4 当n=4时：2×4 + 4 = 12（人） (2) 当有n张桌子时： 第一种摆放方式能坐 (4n+2) 人 第二种摆放方式能坐 (2n+4) 人 (3) 当n=100时： 第一种摆放方式：4×100 + 2 = 402（人）> 400人 ✓ 第二种摆放方式：2×100 + 4 = 204（人）< 400人 ✗ 答：应选择第一种摆放方式。因为100张桌子按第一种方式摆放可坐402人，能够容纳400人在学校就餐；而第二种方式只能坐204人，不够400人坐。 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 22. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数. 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百,2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子(规定当a≠0时,a=1)：3721=3×103+7×102+2×101+1×100 例如，二进制数(1011)₂，转换为十进制数为：1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=11。 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法。 例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得25=(11001)₂。 此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）。 根据上述材料解答下列问题： （1） 【任务一】二进制的基数是____，十进制数7对应的二进制数为________。 （2） 【任务二】中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用。十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11。请结合以上材料计算十二进制数(1X5)₁₂对应的十进制数为________。 （3）【任务三】有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为；当x为偶数时，破解公式为2x+3。求出二进制明码(1001101)₂破解后的密码。 【解答】（1）2； (111)₂（2）269 （3）37 解：【任务一】 二进制的基数是 2。 将十进制数7转换为二进制数（除2取余法）： 7 ÷ 2 = 3 余 1 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 将余数逆序排列：7 = (111)₂ 【任务二】 十二进制数(1X5)₁₂转换为十进制数： (1X5)₁₂ = 1×12² + X×12¹ + 5×12⁰ = 1×144 + 10×12 + 5×1 （其中X=10） = 144 + 120 + 5 = 269 【任务三】 先将二进制明码(1001101)₂转换为十进制数： (1001101)₂ = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77 因为77是奇数，使用破解公式： 密码 = =37 答：二进制明码(1001101)₂破解后的密码为37。 23. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合。通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，若a＞b，则可化简为AB=a−b。若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： （1） 若点P与表示有理数−1的点的距离是3个单位长度，则a的值为________； （2） |a−2|表示数轴上点P到有理数____所对应的点之间的距离，|a+5|表示数轴上点P到有理数____所对应的点之间的距离； （3） 利用数轴，找出所有符合条件的整数a，使得|a−2|+|a+5|=7。则这样的整数a有____个； （4）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，求|b−2|+|c+5|的最小值。 【解答】(1) 2或-4（2）2；-5（3）8（4）14 解：点P与表示-1的点的距离是3个单位长度 即|a - (-1)| = 3，|a + 1| = 3 所以a + 1 = 3 或 a + 1 = -3 解得：a = 2 或 a = -4 (2) |a-2| = |a-2| 表示数轴上点P到有理数 2 所对应的点之间的距离 |a+5| = |a-(-5)| 表示数轴上点P到有理数 -5 所对应的点之间的距离 (3) |a-2| + |a+5| = 7 |a-2|表示点P到2的距离，|a+5|表示点P到-5的距离 2和-5之间的距离为|2-(-5)| = 7 所以当点P在-5和2之间（包括端点）时，|a-2| + |a+5| = 7 即-5 ≤ a ≤ 2 满足条件的整数a有：-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2，共 8 个 (4) b = a - 2，c = a + 5 |b-2| + |c+5| = |(a-2)-2| + |(a+5)+5| = |a-4| + |a+10| |a-4|表示点P到4的距离，|a+10|表示点P到-10的距离 根据绝对值的几何意义，|a-4| + |a+10|表示点P到4和-10的距离之和 当点P在-10和4之间（包括端点）时，距离之和最小，最小值为-10到4的距离： |4 - (-10)| = 14 ∴当-10 ≤ a ≤ 4时，|b-2| + |c+5|取得最小值 14。 学科网（北京）股份有限公司 $