精品解析：广东东莞市石龙第三中学2026—2027学年第一学期期中教学质量监测试题八年级数学

2026-2027学年第一学期期中教学质量监测试题 初二数学 说明： 1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各题的四个选项中，只有一项是最符合题意要求的答案．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下面四个图形分别是绿色食品节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下长度的小木棒不能构成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 2cm，4cm，6cm C. 3cm，3cm，1cm D. 10cm，8.1cm，5.2cm 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 4. 下列能表示的边上的高的是（   ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（　　） A. ∠C＝∠D B. ∠A＝∠F C. AB＝DF D. BC＝EF 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED， EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 图中的值为______． 12. 如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是________． 13. 如图，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 14. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，_____°． 15. 如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分） 16. 已知三角形的三条边长分别为、和． （1）的取值范围为__________； （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 17. 如图，线段、相交于点，连接与，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在轴上画出一点使的值最小． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，求筝形的面积． 20. 如图，在中，，为的高． （1）请用直尺和圆规，作的角平分线交于点，交于；（保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：是等腰三角形 21. 如图，在中，和的平分线相交于点，且，，垂足分别为点，． （1）证明：是的角平分线． （2）若，连接，求的度数． 三、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，与都是等腰三角形，其中，则． （1）【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，且，则有 ． （2）【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，连接，，求证： （3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点． ①请判断和的关系，并说明理由． ②连接，求证：平分． 23. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 （2）如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； （3）在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中教学质量监测试题 初二数学 说明： 1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各题的四个选项中，只有一项是最符合题意要求的答案．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下面四个图形分别是绿色食品节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项符合题意； B、不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 2. 以下长度的小木棒不能构成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 2cm，4cm，6cm C. 3cm，3cm，1cm D. 10cm，8.1cm，5.2cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：A、3+4＞5，则能构成三角形，该选项不符合题意； B、2+4=6，则不能构成三角形，该选项符合题意； C、3+1＞3，则能构成三角形，该选项不符合题意； D、8.1+5.2=13.3＞10，则能构成三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查的是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数的和是否大于第三个数即可． 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 4. 下列能表示的边上的高的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 5. 等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．当角为顶角或底角时，分类讨论求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为顶角时，底角为． 当为底角时，底角为． 综上，底角为或． 6. 若△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（　　） A. ∠C＝∠D B. ∠A＝∠F C. AB＝DF D. BC＝EF 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可求解． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中， ， ， ． 8. 如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长． 【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线 ∴CD=BD=5． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识． 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 10. 如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED， EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE． 【详解】∵AD为△ABC的高线， ∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°， ∵Rt△ABE是等腰直角三角形， ∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE， ∴∠CBE+∠BAD=45°， ∴∠DAE=∠CBE， 在△DAE和△CBE中， ∴△ADE≌△BCE（SAS）； 故①正确； ②∵△ADE≌△BCE， ∴∠EDA=∠ECB， ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠ECB=90°， ∴∠DEC=90°， ∴CE⊥DE； 故②正确； ③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD， ∴∠BDE=∠AFE， ∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°， ∴∠BED=∠AEF， 在△AEF和△BED中， ∴△AEF≌△BED（AAS）， ∴BD=AF； 故③正确； ④∵AD=BC，BD=AF， ∴CD=DF， ∵AD⊥BC， ∴△FDC是等腰直角三角形， ∵DE⊥CE， ∴EF=CE， ∴S△AEF=S△ACE， ∵△AEF≌△BED， ∴S△AEF=S△BED， ∴S△BDE=S△ACE． 故④正确； 综上①②③④都正确，故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 图中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据外角的性质得到，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵点在同一直线上，并且， ∴， ∴， 又， 添加，可根据使得； 添加，可根据使得； 添加，可根据使得， 故答案为：（或或）． 13. 如图，是的中线，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线的定义，可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，从而可得：． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 14. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，_____°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，利用全等三角形的性质解答即可，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：45． 15. 如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分） 16. 已知三角形的三条边长分别为、和． （1）的取值范围为__________； （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和进行计算； （）分或，再根据（）中的取值范围进行取舍； 本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵三角形的三条边长分别为、和， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，，不能构成三角形； 当时，能构成三角形，周长为． 17. 如图，线段、相交于点，连接与，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据进行求证即可； （2）根据全等三角形的性质，得，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在轴上画出一点使的值最小． 【答案】（1）如图，为所作； （2）如图，点为所作． 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， 根据两点之间，线段最短，可知此时取得最小值． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，求筝形的面积． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴垂直平分. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，结合等腰三角形的性质可得结论； （2）证明为等边三角形，进一步利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴筝形的面积为． 20. 如图，在中，，为的高． （1）请用直尺和圆规，作的角平分线交于点，交于；（保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：是等腰三角形 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， ∵，为的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据作已知角的角平分线的作图步骤画图即可； （2）先证明，，进一步证明即可． 【小问1详解】 略： 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，和的平分线相交于点，且，，垂足分别为点，． （1）证明：是的角平分线． （2）若，连接，求的度数． 【答案】（1）证明：过点作于， ∵和的平分线相交于点，且， ∴，， ∴， ∴是的角平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，可得，即可解答； （2）可得是的平分线，是的平分线，则可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴． ∴． 三、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分） 22. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，与都是等腰三角形，其中，则． （1）【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，且，则有 ． （2）【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，连接，，求证： （3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点． ①请判断和的关系，并说明理由． ②连接，求证：平分． 【答案】（1）； （2）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， （3）①解：，，理由如下： 不妨设相交于点，如图所示： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ②证明：过点A作于点M，于点N，连接，如图 ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用“”证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； （3）①证明，得出，，即可得解． ②过点A作于点M，于点N，连接，先推导出，，可证明，得到，再根据，，得到平分，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略；②略． 23. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 （2）如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； （3）在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． （2） （3）所有满足条件的的长为或或． 【解析】 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $