精品解析：四川成都市教育科学研究院附属学校2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

九年级上册定时练习（二）数学试题 本练习分为A卷、B卷两部分，满分共150分，时间120分钟． 注意事项： 1．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 2．在答题卡上作答时，考生需准确填写自己的姓名、准考证号、班级、座位号等，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题需用2B铅笔填涂作答；请用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的识别，主视图即为从正面看到的图形，由此判断即可． 【详解】解：A的主视图为正方形、B的主视图为矩形，C的主视图为圆形，D的主视图为三角形， 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为 3 次，不符合题意． 故选：B． 3. 已知a，b，c，d依次成比例线段，其中，，，则d的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵a，b，c，d依次成比例线段 ∴ ∴ ∵，，， ∴， ∴． 4. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 抛物线的对称轴在y轴左侧 C. 与y轴正半轴可以相交 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】通过配方得到抛物线顶点式，结合开口方向、对称轴、与轴交点及增减性判断各选项． 【详解】解：对抛物线配方得． ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，A错误． 抛物线对称轴为直线，在轴右侧，B错误． 当时，， ∴抛物线与轴交于负半轴，C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，D正确． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 8. 《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，尺、寸、丈不是法定计量单位）若设高是尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】高是尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】高是尺，则宽为尺，根据勾股定理，得 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，正确理解题意，找到各个量的关系列出方程是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 把抛物线的图象向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得的图象的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：把抛物线的图象向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得的图象的表达式为． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程根的判别式与根的数量关系，建立关于a的不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 12. 如图，点D、E分别在的边的延长线上，，如果，，，那么_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例求出的长，再结合图形利用线段的和差关系求解． 【详解】解：， ． ，，， ， ， 经检验，是原方程的解， 点在的延长线上， ． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 由作图可知，是的垂直平分线，即，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）观察方程结构，可通过十字相乘法因式分解求解； （2）方程无有理因式，通过根的判别式结合求根公式求解； （3）移项后提取公因式，通过因式分解求解． 【小问1详解】 解：对 因式分解，得  或  解得，． 【小问2详解】 解：对， 取，，   代入求根公式得  即， 【小问3详解】 解：对 移项，得  提取公因式得  或  解得， 15. 如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C． （1）求点A、点B、点C的坐标； （2）若抛物线顶点为M，求的面积． 【答案】（1），， （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）当时，；当时，，解方程即可； （2）确定抛物线的顶点坐标，根据题意解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， ． 当时，， 解得或， ，． 【小问2详解】 解：， ， 的面积为． 16. 某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出的距离； （2）请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】（1）的距离为6米 （2）凌霄塔的高度为38米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； （2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ，，， ， ， ， ， 解得米， 答：的距离为6米； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 解得：米， 凌霄塔的高度为38米． 17. 如图，四边形中，，，点E是的中点，与交于点F，且F是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴； ∵点E是的中点， ∴， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形； ∵点E是的中点，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）证明，得；再由点E是的中点，得，得四边形是平行四边形；再由，点E是的中点，得，即可证明结论； （2）由菱形及三角形中线的性质知，四边形的面积等于，而面积可直接计算出来，因而可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； ∵点E是的中点，， ∴， 即， ∴四边形的面积． 18. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，直接写出的值（用含的式子表示） 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∵， ． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的性质得出，从而得到证明； （2）先证明和，再利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得到，，再根据全等关系得出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， 设，则， ， ， 由小问（1）得， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 20. 已知二次函数，当时，函数的最大值为________，最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将二次函数化为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合给定的自变量取值范围，计算顶点与区间端点的函数值并比较，得到对应最值 【详解】解：∵． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，对称轴在该取值范围内． ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 分别计算区间两个端点的函数值． 当时，． 当时，． ∵． ∴当时，函数取得最大值，最大值为． 21. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据黄金矩形的定义求出长，再根据正方形的性质求出，最后根据黄金矩形的定义求解． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是黄金矩形， ∴，即， ∴． 22. 如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，可得，从而得到，同理，，……，根据规律解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理， ， …… 由此发现，． 故答案为： 【点睛】此题属规律性题目，考查了性质及正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是找出规律，根据此规律求解． 23. 如图，在四边形中，，，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点D作于点F．作于点B，于点C，和交于点H，取中点G，连接、．由所作辅助线可知为等腰直角三角形，即可求出．由，即可推出．根据，即推出，由此易证，得出，故可设，则．由直角三角形斜边中线的性质可知．在中，利用勾股定理可求出，最后根据在中利用三角形三边关系，可推出，代入数据即得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点D作于点F．作于点B，于点C，和交于点H，取中点G，连接、． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵G为中点，， ∴． ∴在中，， ∴． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 25. 抛物线与x轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，，为抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）连接，当面积为时，求点的坐标． （3）如图2，是直线上的两个动点，点在点左边且，点P在直线的下方，，，求满足条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把用含的代数式表示出来，再利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （3）过点作于点，过点作轴交直线于，设，则，根据已知条件求出的值，再由等面积法求出，把直线向下平移的长，得到直线的解析式，与二次函数的解析式联立组成方程组，解方程组解答即可． 【小问1详解】 解：， 把这两点代入得 解得， 该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点, 由题意得：四边形是矩形， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当点在上方时，如图（1） ， 当点在下方时，如图（2） 如图（3） 三种情况都是 或， 解得：或， 点的坐标为或或． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作轴交直线于， 根据题意得，在直角三角形中，， 设，则，由勾股定理得：， 解得：， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 将直线：向下平移个单位得：， 联立， 解得， 点的横坐标为或． 26. 如图1，在中，，，，是边上的中点，点在的延长线上，连接，将射线绕点逆时针旋转，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵在中，． ∴． ∵点在边上，点在边上． ∴． ∵射线绕点逆时针旋转后经过点． ∴． ∴． ∵点、、在同一直线上． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转得，与两锐角互余得到的及公共角配合，证，用相似比导出乘积式； （2）过作的垂线，用中位线与勾股把表示成的式子，再结合（1）的相似比与乘积式列方程求，进而求； （3）由平行与垂直得，作到的垂线，用相似把表示成的式子，由解方程并依取舍． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，过作于点． ∵． ∴． ∵是的中点． ∴是的中点，． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 由（1）知． ∴． ∴． 又． ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：设，过作于点(如图)． 由（2）知． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 由（1）知． 又． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴或． ∵． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册定时练习（二）数学试题 本练习分为A卷、B卷两部分，满分共150分，时间120分钟． 注意事项： 1．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 2．在答题卡上作答时，考生需准确填写自己的姓名、准考证号、班级、座位号等，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题需用2B铅笔填涂作答；请用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c，d依次成比例线段，其中，，，则d的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 抛物线的对称轴在y轴左侧 C. 与y轴正半轴可以相交 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，尺、寸、丈不是法定计量单位）若设高是尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则__________． 10. 把抛物线的图象向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得的图象的表达式为_____． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____． 12. 如图，点D、E分别在的边的延长线上，，如果，，，那么_____． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若，，，则的值为______． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程 （1） （2） （3） 15. 如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C． （1）求点A、点B、点C的坐标； （2）若抛物线顶点为M，求的面积． 16. 某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出的距离； （2）请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 17. 如图，四边形中，，，点E是的中点，与交于点F，且F是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 18. 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，直接写出的值（用含的式子表示） B卷（共50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 20. 已知二次函数，当时，函数的最大值为________，最小值为_________． 21. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________． 22. 如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______． 23. 如图，在四边形中，，，，，则的最小值为______． 二、解答题（共3小题，共30分） 24. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 25. 抛物线与x轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，，为抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）连接，当面积为时，求点的坐标． （3）如图2，是直线上的两个动点，点在点左边且，点P在直线的下方，，，求满足条件的点的横坐标． 26. 如图1，在中，，，，是边上的中点，点在的延长线上，连接，将射线绕点逆时针旋转，与边交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）如图2，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $