第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

事件的相互独立性、 条件概率与全概率公式 第06讲 4大知识点 6大题型 核心考点 2026 2025 2024 随机事件与概率 全国一卷T17（15分） _______ 全国II卷T18（17分） 考情分析 本节属于概率模块基础知识，全国卷既可设置选择、填空题，也可融入概率解答题中考查。命题重点集中在随机事件关系辨析、条件概率、独立事件概率求解。全概率、贝叶斯公式仍是热门出题点，侧重情境建模，思维难度有所提升，容易出现因果颠倒的易错点。整体本节高考定位中等偏易，重点考查对公式概念的理解与基础应用能力。 复习目标 （1）了解两个事件相互独立的含义，能判断事件是否相互独立，掌握独立事件相关概率运算。 （2）理解随机事件独立性与条件概率之间的内在联系，熟练运用条件概率公式，会借助全概率公式完成概率求解，明晰公式适用条件。 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识点1相互独立事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1相互独立事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点1相互独立事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1相互独立事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2条件概率 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2条件概率 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点2条件概率 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3全概率公式 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点3全概率公式 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4贝叶斯公式 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点4贝叶斯公式 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【例1-1】 题型1独立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例1-2】 题型1独立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 定义验证法 方法技巧 易错点 题型1独立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-1】 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-2】 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-3】 题型1独立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1独立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-1】 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-2】 题型2独立事件的概率计算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-1】 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-2】 题型2独立事件的概率计算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-3】 题型2独立事件的概率计算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2独立事件的概率计算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-1】 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-2】 题型3条件概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 样本空间收缩法 方法技巧 易错点 题型3条件概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-1】 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-2】 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-3】 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3条件概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-1】 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-2】 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 拆分求和法 方法技巧 易错点 题型4全概率公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-1】 题型4全概率公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-2】 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-3】 题型4全概率公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4全概率公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-1】 题型5贝叶斯公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-2】 题型5贝叶斯公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 贝叶斯公式的应用 方法技巧 易错点 题型5贝叶斯公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-1】 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-2】 题型5贝叶斯公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-3】 题型5贝叶斯公式及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5贝叶斯公式及应用 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-1】 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-2】 题型6马尔科夫链 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-1】 题型6马尔科夫链 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-2】 题型6马尔科夫链 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-3】 题型6马尔科夫链 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6马尔科夫链 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【1】 解 析 故选：A 04 真题溯源・考向感知 【2】 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【3】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【4】 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【5】 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 【1】 解 析 05 课本典例・高考素材 117 解 析 05 课本典例・高考素材 118 【2】 解 析 05 课本典例・高考素材 119 【3】 05 课本典例・高考素材 120 解 析 05 课本典例・高考素材 121 解 析 05 课本典例・高考素材 122 【4】 解 析 05 课本典例・高考素材 123 解 析 05 课本典例・高考素材 124 【5】 解 析 05 课本典例・高考素材 125 解 析 05 课本典例・高考素材 126 解 析 05 课本典例・高考素材 127 【6】 解 析 05 课本典例・高考素材 128 解 析 05 课本典例・高考素材 129 1.定义 对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 2.核心性质 （1）必然事件、不可能事件与任意事件相互独立。 （2）若事件A与B相互独立，则与B、A与、与也相互独立， （3）充要条件： A、B相互独立； 当时，A、B相互独立。 含义：A发生不会改变B发生的概率。若事件A发生会影响B发生的概率，则。 3.推广到n个事件 若事件相互独立，则这n个事件同时发生的概率为： 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（     ） A． B． C． D． 设该同学在笔试中结果为优秀为事件,实验操作中结果为优秀为事件，则， 因“该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀”为“该同学在这次测试中两项测试结果均不是优秀”的对立事件， 故其概率为. 1.定义 设A、B为两个随机事件，且，称下式为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率： 注意： ①竖线“|”后面的是条件； ②时条件概率无意义，计算前提是； ③已知A发生，相当于把A看作新的样本空间，在这个缩小的样本空间里求B发生的概率。 2.概率乘法公式 对任意两个事件A、B，若，则： 3.条件概率的性质（设P(A)>0） （1），任何事件的条件概率都介于0到1之间； （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； （3）若B与C互斥，则： （4）若是B的对立事件，则： 设第一次取到红球为事件，第二次取到黄球为事件， 则，，故， 故在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率是. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率是（      ） A． B． C． D． 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 理解：事件B可以由多种互斥“原因”引发；把每种原因下B发生的概率加权求和，即得到B的总概率。思想是化整为零，把复杂事件拆分为若干简单事件计算。适用场景：试验有多种前置可能，每种可能下目标事件都有可能发生。 设事件抽到A组芯片，抽到B组芯片，芯片合格， ，，， . 某公司，两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，组生产的芯片合格率为，公司决定再将这些产品送专家鉴定，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为__________. 设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 含义：已知结果B已经发生，反推各个原因发生的概率，求得的叫做后验概率。用途：由已经发生的试验结果，分析各个导致该结果的原因可能性大小。 设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． （2025·四川资阳·二模）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（   ） A．与相互独立 B． C． D．与相互独立 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果.事件 “第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有， 则有种情况，所以， 事件 “第二次为偶数点”，偶数有， 则有种情况，所以， 事件 “两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为，则有，共10种情况，所以，事件 “两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为，则有，共9种情况， 所以，故B正确；由事件共种情况， 所以，故C正确；由，所以A与B相互独立，故A正确； 由事件只有这1种情况，所以， 因为， 所以与不相互独立，故D不正确. （2025·贵州贵阳·二模）一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（   ） A．若取球两次，事件A和事件B相互独立 B．若取球两次，事件A和事件C相互独立 有放回取次的样本空间共个等可能结果：{红红，红白，白红，白白}，事件对应{红白，白红}，， 事件对应{红白，白红，白白}，； 对应{红白，白红}，， C．若取球三次，事件A和事件B相互独立 D．若取球三次，事件B和事件C相互独立 显然，A错误. 事件对应{红红，红白，白红}，故； 对应{红白，白红}，， ，B错误； 有放回取次的样本空间共个等可能结果： 事件排除全红、全白种结果，，事件对应红（全 白）、红共种结果，；对应红白的种结果，，恰好满足，故和相互独立，C正确；事件对应白（全红）、白共种结果，；无对应结果，，显然，D错误. 核心利用判定两事件独立，区分独立与互斥。互斥侧重事件不能同时发生，独立侧重发生概率互不影响。若，也可通过快速判断。做题先看题干条件，不可凭主观经验臆断独立；若出现对立事件，可利用独立的性质，间接验证与B是否独立。 ，，， ， （2026·河南周口·二模）已知，，，则事件与的关系是（     ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 ，，，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 对于A，由题意可知，故A正确； 对于B，因为，, （2025·广东汕尾·一模）（多选）现将四个数随机排成一行，记事件为“从左至右第i个数是偶数”，事件为“从左至右第i个数大于i”，则（   ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 所以，故B错误；对于C，因为，， 事件表示4排在第二个位置上，其他的三个数进行全排列， 所以，所以事件与相互独立，故C正确.对于D，，， 事件表示4排在第三个位置上，其他的三个数进行全排列， 所以，显然， 所以事件与不相互独立，故D错误. （2026·湖北宜昌·二模）如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（     ） A．事件与事件互斥，事件与事件相互对立 对于A，因为事件所含的样本点为，事件所含的样本点为，事件所含的样本点为， 因为事件都包含样本点，所以事件与事件不互斥，A B．，但事件，，两两独立 C．，且事件，，两两相互独立 D． 错误；对于B，因为所含的样本点为，所以， 又，所以，B错误；对于C，因为所含的样本点，所以， 又，所以，即事件与事件不独立，C错误；对于D，因为所含的样本点为，所以，D正确． 由题意可得：甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率.因为， （2025·陕西榆林·二模）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为_________． 所以，解得：.又因为， 所以. （2025·河北邯郸·一模）黔东南州强大的“村字号”IP带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村BA”篮球决赛中，分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.在每一轮比赛中甲乙都投中的概率为，甲乙都投不中的概率为． （1）由题可知，所以 所以，是方程的两根，又，所以， (1)求，的值； (2)求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率． （2）由（1）知，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为 所以甲在两轮中恰好投中一个球的概率为，投中两个球的概率为；乙在两轮中恰好投中一个球的概率为，投中两个球的概率为 所以甲乙两名运动员在两轮活动中恰好投中3个球的概率为． ∵ 表示投掷次时首次出现连续两次正面向上，结束投掷， ∴ 需同时满足两个条件：① 第次、第次投掷结果均为正面； ② 第次投掷结果为反面（若第次为正面，则第、次为连续正面，会在第次结束投掷，不符合的要求），第次投掷结果 （2025·广西钦州·一模）投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记为结束时投掷的次数，则（    ） A． B． C． D． 不受限制. ∴ 符合条件的投掷序列共种：(反,反,正,正)、(正,反,正,正). ∵ 每次投掷硬币为独立事件，正面向上和反面向上的概率均为， ∴ 每个投掷序列的概率为， ∴ . （2025·甘肃庆阳·二模）临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． （2025·宁夏银川·模拟预测）某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． (1)求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； (2)求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； (3)求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． （1）由题意知：每局比赛乙获胜的概率为； 记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”， 事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”，则， ． （2）记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”， 则， ． （3）记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率， ∵只进行三局比赛的结果为，， ； ∵只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，， 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，， ； ∴甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为． 按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个；余数2：2，5，8，共3个，事件“至少有一 （2025·辽宁阜新·三模）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（    ） A． B． C． D． 个数为3的倍数”，总选法为种； “这三个数都不是3的倍数”，选法为种； 则满足事件的样本数为， 事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”： 三个同余，共种； 三个余数各不同，共种；其中无3的倍数且和为3 的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种，故满足的样本数为，故． （2025·黑龙江七台河·一模）当前AI数据分析技术已在职业体育赛事中广泛应用，可用于选手状态评估､战术效果预测､赛事胜负关联分析等，极大提升了赛训决策的科学性.某电竞俱乐部用AI分析季后赛胜率关联，记事件：我方战队选出核心英雄，事件：我方战队拿下本局比赛胜利.已知，则_________. 由全概率公式得， ，解得. 条件概率公式，牢记前提。竖线后为已知条件，相当于把样本空间缩小为事件A。解题优先分清谁是条件事件，找准联合概率；遇到互斥事件，使用条件概率加法性质；遇到对立事件，用快速化简，简化列式步骤。 设甲比乙进球数多1个为事件，乙没有进球为事件，由题意，， （2026·黑龙江伊春·一模）甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多1个的前提下，乙没有进球的概率为（    ） A． B． C． D． ， 所以. 首先根据对立事件的概率性质，得. 由全概率公式计算： （2025·江苏镇江·三模）一位足球爱好者参加点球比赛，记事件“第次进球”（）．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． .同理可得.由全概率公式计算： ，故选D. （1）3枚印章中"金面具"图案只有1枚，每枚被选到的概率相等，故甲得到"金面具"图案的概率为.设"恰有一人得到青铜太阳形器 （2025·广西来宾·模拟预测）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面具”、“青铜立人像”、“青铜太阳形器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面具”图案的概率为________；学生甲、乙、丙三人中至少有一人得到“青铜太阳形器”图案的条件下，恰有一人得到“青铜太阳形器”图案的概率为________． 图案"为事件，"至少有一人得到青铜太阳形器图案"为事件. 每人独立从3种图案中随机取1种，得到青铜太阳形器图案的概率为，未得到的概率为.由二项分布，.. 由于，由条件概率公式，. 记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”， 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从 （2025·陕西安康·一模）甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 甲盒摸到白球的条件概率； 出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率；则摸到白球的总概率为：. （1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，则，，且事件与事件相互独立，则，所以 （2026·陕西汉中·模拟预测）甲袋中有个红色小球，个白色小球，乙袋中有个红色小球，个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率； (2)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率； .（2）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，则，，，由全概率公式可知，取出的球为白球的概率为 . 全概率公式，核心是"由因求果"。第一步确认构成样本空间划分：两两互斥、并为全集、每个。把结果事件B拆解到各个原因下，分别算每个原因发生概率与对应条件概率，乘积后相加。题干出现多种前置情况，优先考虑全概率公式。 （2026·湖南怀化·一模）某地区公共卫生部门为了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗质地均匀的骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数之和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数之和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则估计该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） 两颗骰子点数之和为奇数的概率为，点数之和为偶数的概率为，先后抛两颗骰子，总结果为种，第一颗骰子的点数和第二颗骰子点数相等情况有6种,第一颗大于第二颗有种，故概率为，设该地区中学生吸烟比例为，由全概率公式，回答 “是” 的总概率为：，解得． A． B． C． D． 设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件，则，， （2026·福建泉州·模拟预测）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． ，， 所以 （2026·广东阳江·模拟预测）若甲盒中有3个红球，2个黄球，1个白球，乙盒中有个红球（），2个黄球，3个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 由事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过可得：， 故，即,由于，故的最大值为 （2025·福建龙岩·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，.由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. （2026·湖北荆州·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件，事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格， 事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥）， 由题意可知，， 所以， ，， ， 所以， 所以第二次检验后整体不合格的概率为. 贝叶斯公式，分母本质就是全概率算出的。做题时先区分先验概率和条件概率，已知事件B已经发生，反求各个诱因的概率。注意前提，不可忽略公式成立条件。 设高一、高二、高三的学生数分别为，则所求概率为 （2025·四川德阳·模拟预测）据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. （2026·山东烟台·一模）（多选）袋子中装有除颜色外其他均相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回地抽取两次，每次取1个球，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 对于A，，，所以，A正确.对于B，，， 故B错误.对于C，根据贝叶斯公式，故C正确.对于D， ，， ， 所以，故D正确. （2025·湖南邵阳·三模）设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件， (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． （1）事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（），显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，， ，，．由全概率公式得 ． （2）由贝叶斯公式得 ， ， ．所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大． 选项A：计算分两种情况：①从A罐摸蓝球放入B罐，概率为，红球必然留在A罐；②从A罐摸红球放入B罐，概率为，此时B （2025·四川雅安·三模）（多选）设有两个罐子，A罐中放有1个蓝球，1个红球，B罐中放有2个蓝球，这些球的大小与质地相同．规定“先从A罐中摸1个球放入B罐，再从B罐中摸1个球放回A罐”为一轮交换．连续进行轮交换后，红球还在A罐中的概率记为，则（    ） A． B． C． D． 罐有2蓝1红，摸回红球的概率为,故，A错误；选项C：根据全概率公式推导递推关系：第n轮后红球在A罐概率为，在B罐概率为， 若红球在A罐，一轮交换后仍在A罐的概率为；若红球在B罐，一轮交换后回到A罐的概率为， 因此，C正确； 选项B：由递推公 式，得，B正确. 选项D：由可得，， 故为首项是，公比是的等比数列， 则，即得， 故，D错误. （2025·辽宁丹东·二模）某科研团队研发一种新型智能光伏发电系统，该系统具备自动调节功能.每天系统会根据前一天的光照强度，决定当天该系统运行模式是“全功率追踪模式”（记为状态）或者“节能待机模式”（记为状态）.统计表明：若某天为状态，则次日继续保持该状态的概率为，若某天为状态，则次日切换回状态的概率为，记第天系统处于状态的概率为，且系统第一天的状态均为. (1)若，（i）求和； （ii）为了对系统进行压力测试，选取了10个互不干扰的独立时间段进行检测，设在每个时间段的第1天，系统均处于状态，记随机变量为这10个时间段中，第2天恰好处于状态的个数，求.(2)当参数满足时，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式. （1）（i）由题意得，，， ，故第2天系统处于状态的概率为， 第3天系统处于状态有两种情况，第2天系统处于状态且第3天系统处于状态，和第2天系统处于状态且第3天系统处于状态，故概率； （ii）由（i）可得，故； (2)证明如下：，由全概率公式可得， 设，可得， 对照系数可得，，解得， 所以， 所以数列是等比数列，公比为，首项为 ，所以，， 故的通项公式为. （2025·贵州铜仁·二模）《概率论》起源于博弈，掷骰子是其中一种概率游戏．希腊历史学家希罗多德记述：早在公元前1500年，古埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起玩掷骰子的游戏，后来人们将纯天然骨骼制成的骰子改进成了相对面数字之和为7的立方体骰子，并用之于博弈．假定甲、乙两个人掷两个骰子博弈，约定规则如下：第一次由甲开始掷，若掷出的骰子点数之和大于7，则赢得筹码，并可继续掷，直至掷出的骰子点数之和不大于7，就转给乙，乙操作，以此类推……这样一直进行下去．记第n次由甲掷骰子的概率为，已知，则______，______． 一次掷两个骰子，点数之和大于7的概率为，不大于7的概率为．第二次由甲掷骰子的概率为，第三次由甲掷骰子的概率为． 第次由甲掷骰子这一事件，包含两个事件： （1）第n次由甲掷骰子，第次继续由甲掷骰子； （2）第n次由乙掷骰子，第次由甲掷骰子，前一事件发生的 概率为，后一事件发生的概率为，所以，即， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 又，所以，即， 故． （2025·宁夏吴忠·模拟预测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为．求； （1）设事件​为“第天选米饭套餐”，事件为“第天选米饭套餐” ，则事件​为“第天选面食套餐”，. 由题意得： ​，因此； 已知前一天选米饭后一天仍选米饭的概率​，前一天选面食后一天选米饭的概率. 根据全概率公式： .因此该同学第二天中午选择米饭套餐的概率为 （2）第天选米饭套餐的概率为，则第天选面食套餐的概率为​.根据题意，第天选米饭套餐的情况分为两类： 第天选米饭，第天仍选米饭，概率为； 第天选面食，第天选米饭，概率为 因此得到递推关系：，即 所以， 即，，所以数列是首项为​，公比为​的等比数列，因此：，整理得通项：. （2025·四川眉山·二模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为． (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率，并证明：当时，． （1）设“第i天选择米饭套餐”，则“第i天选择面食套餐”，根据题意，，，，由全概率公式，得； (2)设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以为首项，为公比的等比数列；可得. 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，． 综上可得：当时，． 同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以. （2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； （2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 选项B，，，， ，B正确；选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． （2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 解法一：列举法给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： （2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． ,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉” 项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学 （1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； （3）不相互独立，理由如下： 员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，， 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（    ）． A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 ， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 解：（1）∵，，且与相互独立， ∴； （2）， 假设，，且，相互独立，则______；______. 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． （1）设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，，，．； ． （2）． 设事件，, 则 则, 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立． 满足， 由于,,即与, 与,与都不相互独立，即不满足A，B，C两两独立 设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率． 意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. （1）由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525. （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床 加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P(A1|B)＝＝＝＝.类似地，可得 P(A2|B)＝，P(A3|B)＝. （1）设“第i次按对密码”(，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为． 事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． ． 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为． （2）设“最后1位密码为偶数”，则．因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为． $