第10单元 05 第64讲 随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦随机事件的相互独立性、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式等核心考点，依据课标要求梳理知识体系，通过知识聚焦夯实基础，对点演练辨析易错点，课堂考点探究归纳相互独立事件概率计算、条件概率应用、全概率公式求解等常考题型，精准对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题情境+方法建模+素养落地”，如结合2025·浙江L16联盟等模拟题，总结独立性判断的定义法、条件概率的缩小样本空间法、全概率公式的拆分求和步骤，培养学生逻辑思维与模型观念。特设易错警示与变式训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第64讲 随机事件的相互独立性与条 件概率、全概率公式 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型, 能利用独立性计算概率. 2.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 3.结合古典概型,理解条件概率与独立性的关系. 4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 5.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 6.了解贝叶斯公式. 课 标 要 求 3 知识聚焦 1.事件的相互独立性 （1）定义：一般地，当__________时，就称事件与 相互 独立，简称独立. （2）性质：如果事件与相互独立,则与___,与___, 与 也相互 独立. 课 前 基 础 巩 固 4 2.条件概率 （1）定义：一般地，当事件 发生的概率_____________________时, 已知事件发生的条件下事件 发生的概率，称为条件概率，记作 ,而且 _ ______. 大于0（即） （2）性质:设 ,则 ① ___; ②如果与互斥,则 ________________; ③设和互为__________,则 . 1 对立事件 课 前 基 础 巩 固 5 （3）注意: ①利用古典概型： _ _____. ②概率的乘法公式： ____________. 特例: 当时,当且仅当事件与 __________时,有 . 相互独立 课 前 基 础 巩 固 6 3.全概率公式 一般地，如果样本空间为 ,,为事件，则与 是互斥的，且 ,从而 ,当且 时， 有 . 课 前 基 础 巩 固 7 4.全概率公式的定理 若样本空间 中的事件,, , 满足： （1）任意两个事件均互斥，即 ,,,2,3, ，, ; （2） ; （3）,,2, ， . 则对 中的任意事件，都有 ，且 _ ________________. 课 前 基 础 巩 固 8 5. 贝叶斯公式 设,是一组对立事件， ,一般地，当 且 时，有 . 课 前 基 础 巩 固 9 常用结论 1.乘法公式的推广: 设表示事件,,2,3,且, ,则 ，其中 表示 已知与同时发生时发生的概率,表示,, 同时 发生的概率. 2.事件的拆分:对 中的任意事件,都有 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.最简单的全概率公式：一般地，如果样本空间为 ，, 为事件， 那么,是互斥的，且 ，从而 当，且 时， . 课 前 基 础 巩 固 11 对点演练 题组一 常识题 1.［教材改编］已知事件与相互独立， ， ，则 ____. 0.7 [解析] 由事件与相互独立，得 ， 即，所以 . 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发 现该地区上班时间拥堵的概率为，下班时间拥堵的概率为 ，上、 下班时间都拥堵的概率为.设事件为“上班时间拥堵”，事件 为 “下班时间拥堵”，则__， __. [解析] 由题意可知，， ， 所以， . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选 择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择 一餐厅就餐的概率为 ，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅 就餐的概率为 ，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为 _____. 0.65 [解析] 设为“第一天选择一餐厅就餐”， 为“第一天选择二餐厅就 餐”，为“第二天选择一餐厅就餐”，则 , ,, 由全概率公式可知 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 4.［条件概率的定义理解不准确］某校体育活动期间，有足球、篮球、 乒乓球三项运动供学生选择.小明、小红从这三项运动中各随机选择 一项，且他们的选择相互独立，在小明选择篮球的前提下，两人的 选择不同的概率为__. [解析] 记事件为“小明选择篮球”，事件 为“小明、小红的选择不 同”，则，，所以 . 课 前 基 础 巩 固 15 5.［乘法公式应用不准确］一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字 都可从 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密 码的最后一位数字，他任意按最后一位数字，则不超过2次就按对的 概率为__. [解析] 设“第1次按对”为事件，“第2次按对”为事件 ，则不超过2 次就按对的概率 . 课 前 基 础 巩 固 16 6.［未充分理解全概率公式］某同学连续两天在学校信息图文中心2 楼和3楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中 选择一层楼进行阅读.已知在第一天去2楼的条件下第二天还去2楼阅 读的概率为 ，在第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为 ，则该同学第二天去3楼阅读的概率为_____. 0.25 [解析] 设事件为“第天去2楼阅读”，事件为“第 天去3楼阅读”， ,2，则， ， ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 相互独立事件的概率 例1 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回 地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字 是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次 取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 √ 课 堂 考 点 探 究 18 ［思路点拨］结合枚举法以及古典概型的概率计算公式,判断 是否成立. [解析] （甲），（乙），（丙）， （丁） ，（甲丙）（甲）（丙），（甲丁） （甲）（丁），（乙丙）（乙）（丙）， （丙丁） （丁） （丙），故选B. 课 堂 考 点 探 究 19 例2 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解 和掌握知识.某班级数学老师利用某人工智能软件设计了一个错题重 做网页小游戏，并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队” 参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互 不影响，且各轮结果也互不影响. ［思路点拨］首先设“甲第轮做对”为事件，“乙第 轮做对”为事件 ， ,2，然后应用相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率 加法公式求解. 课 堂 考 点 探 究 20 （1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为 ，求“郴队”在 两轮比赛中做对2题的概率； 解：设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件， ,2. 由题意知，，且与 相互独立，各轮之间 也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：情况一：甲做对2题，乙 做对0题，其概率 . 情况二：甲做对0题，乙做对2题，其概率 . 课 堂 考 点 探 究 21 情况三：甲做对1题，乙做对1题，甲做对1题的概率为 ， 乙做对1题的概率为 ，所以甲做对1 题，乙做对1题的概率 . 因为这三种情况互斥，所以“郴队在”两轮比赛中做对2题的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为， ，第二轮做对的概率分 别为， ，求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 解：由题意知，，， ，且各 事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：情况一：甲做对2题，乙 做对1题，甲做对2题的概率为 ，乙做对1 题的概率为 ， 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 23 情况二：甲做对1题，乙做对2题，甲做对1题的概率为 ， 乙做对2题的概率为 ，所以甲做对1题，乙 做对2题的概率为 . 因为这两种情况互斥， 所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 1.两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互 影响. （2）定义法:若,则事件与事件 相互独立. 2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤: （1）首先确定两个事件是相互独立的; （2）求出每个事件发生的概率,再求积. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题（1）某 训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任 务.机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，则本轮的成功率为 ；若上一轮失败，则本轮的成功率降为.已知首轮的成功率为 ，且 前两轮都成功的概率为 ，各轮训练相互独立，则三轮训练中恰好成 功两次的概率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 首轮的成功率为，第二轮的成功率为，故 ，解得 .三轮的结果分三种情形.情形1：成功、成功、失败，其概率为 . 情形2：成功、失败、成功，第二轮失败后，第三轮的成功率降为 ， 其概率为 . 情形3：失败、成功、成功，首轮失败后，第二轮的成功率降为 ， 第二轮成功后，第三轮的成功率为，其概率为 . 故所求概率为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 27 （2）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯 关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概 率为，甲、乙都闯关成功的概率为 ，甲、丙都闯关成功的概率为 ， 每人闯关成功记2分，闯关失败记0分，三人得分之和记为小组 团体总分. 课 堂 考 点 探 究 28 ①求乙、丙各自闯关成功的概率； 解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为 ，甲、乙都闯关 成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为 ， 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为 ，根据相互独立事 件同时发生时的概率公式得解得 即乙闯关成功的概率为 ，丙闯关成功的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 29 ②求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率； 解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有两人闯关成功，设 “团体总分为4分”为事件 ，则 ，即团 体总分为4分的概率是 . 课 堂 考 点 探 究 30 ③若团体总分不小于4分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加 下一轮比赛的概率. 解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不 小于4分”为事件，由②可知团体总分为4分的概率为 ，团体总分 为6分，即三人闯关都成功，其概率为 ，则 ，所以该小组参加下一轮比赛的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 31 探究点二 条件概率与乘法公式 例3（1）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社 团的同学进行选择性考核.某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选 3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 ［思路点拨］思路一，首先利用组合公式与古典概型的概率公式求 得小明被选中的概率，然后求小明和小刚同时被选中的概率，然后 根据条件概率公式求解；思路二，求出小明被选中包含的样本点个 数和小明、小刚同时被选中包含的样本点个数，应用缩小样本空间 法求解. 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 方法一：设事件“小明被选中”，事件 “小刚被选中”， 则，，所以 .故 选B. 方法二：缩小样本空间法，设事件“小明被选中”，事件 “小刚 被选中”，则， ，故 . 课 堂 考 点 探 究 34 （2）[2025·浙江L16联盟适应性考试] 已知一道解答题有两小问，每 小问5分，共10分.现每10个人中有6人能够做出第一问，但在第一问 做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下， 第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 _____，得0分的概率是_____. 0.36 ［思路点拨］设出事件“第一问做出”， “第二问做出”，由题 意可得,, ，根据对立事件结合条件概率公式分析 求解. 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 设事件“第一问做出”，事件 “第二问做出”.由题意得 ，，，则 , , ，即此题得满分的概率是 ，即此题得0分的概率是0.36. 课 堂 考 点 探 究 36 总结反思 求条件概率的常用方法 （1）定义法:先求和,再由求 . （2）缩小样本空间法:先求事件所包含的样本点个数 ,再求事件 所包含的样本点个数,则 . 课 堂 考 点 探 究 37 变式题（1）[2025·河北部分学校5月联考]现有甲、乙、丙、丁4位乒 乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二 场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方 的概率分别是，， ，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有 两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 设第一场双打与第二、三场单打赢对方分别为事件，， ， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则， ， ，所以 ， ，所以 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 39 （2）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红 球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出1 个球放入2号箱，再从2号箱中随机取出1个球，则两次都取到红球的 概率是( ) A. B. C. D. [解析] 设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件 ，“从2号箱中取到 红球”为事件.由题意知， ，所以 ，所以两次都取到红球的概率为 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 40 探究点三 全概率公式的简单应用 例4（1）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社 区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为 ，其中甲 班中女生占，乙班中女生占 ，则该社区居民遇到一位进行民意调 查的同学恰好是女生的概率为( ) A. B. C. D. √ ［思路点拨］由题意设出事件，写出事件的概率以及条件概率，利 用全概率公式可得答案. 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 设事件 “该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是甲 班的”，事件 “该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是乙 班的”， “该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且，互斥， . 由题意知 , ,且, ,由全概率 公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 . 故选D. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）[2026·湖南湘潭一模]跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某 校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步的教师分 别占该年级教师人数的，， ，且这三个年级的教师人 数之比为 ，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢 跑步的概率为( ) A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36 √ ［思路点拨］由题意设出事件，写出事件的概率以及条件概率，利 用全概率公式可得答案. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设事件表示“随机抽一名教师，该教师喜欢跑步”，事件 , ,分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”. 高一、高二、高三年级的教师人数之比为, ，， 高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人 数的, ,,， ， ， 根据全概率公式得 ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 44 总结反思 两个事件的全概率问题求解策略及步骤 （1）拆分：将样本空间拆成互斥的两部分，如,或, . （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. （3）求和：所求事件的概率 . 课 堂 考 点 探 究 45 变式题（1）[2025·陕西咸阳模拟]甲、乙两队进行篮球比赛，甲队每 局获胜的概率为，甲队中队员上场的情况下甲队获胜的概率为 ， 队员不上场的情况下甲队获胜的概率为，则 队员每局上场的概率 为( ) A. B. C. D. [解析] 设队员每局上场的概率为，则不上场的概率为 ， 由全概率公式可知，解得 ，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 46 （2）现有三箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味.第一箱内装 有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水 果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味.现从三箱酸奶中任意 选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶,则取出的酸奶是水果味的概 率为___. 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 设随机取1袋酸奶来自第一箱为事件 ，来自第二箱为事件 ，来自第三箱为事件，则,, 彼此互斥，且 ， . 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件 ，则 . 课 堂 考 点 探 究 48 探究点四 贝叶斯公式 例5（1）人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世 界中心位置， 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术 掺入了一些视频，视频占有率为0.001.某团队决定用对抗 ， 研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是 ， 即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为 ；它的误报 率是，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为 .已 知某个视频被鉴定为 ，则该视频是伪造的可能性约为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. √ 课 堂 考 点 探 究 49 [解析] 记“该视频是伪造的”为事件，“该视频被鉴定为”为事件 ， 则,,, ， 由贝叶斯公式得 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 50 （2）某汽车 店从甲、乙、丙三个车企分别采购同一款智能汽车 500，400，100辆进行销售，甲、乙、丙三个车企生产的该款智能汽 车的智驾故障率分别为，，，某消费者从该 店购买了一 辆此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出 甲、乙、丙三个车企应承担的责任比为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设事件,, 分别表示购买一辆此款智能汽车是甲、 乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得 ，， 即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 51 [解析] 设事件,, 分别表示购买一辆此款智能汽车是甲、乙、 丙车企生产的，则,,， 设事件 表示智驾出现故障，则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得, ， ，所以甲、乙、丙三个车企应承担的责任 比为 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 52 总结反思 把事件看作某一过程的结果，把,, , 看作该过程的若干个 原因，若已知事件已经发生，要求此时是由第 个原 因引起的概率，则用贝叶斯公式求解. 课 堂 考 点 探 究 53 变式题（1）某货车为某书店运送10箱书籍，其中5箱语文书、3箱数 学书、2箱英语书，到达目的地时发现丢失1箱，但不知丢失的是哪1 箱.现从剩下的9箱中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书， 则丢失的一箱是英语书的概率为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 54 [解析] 记事件 为“从剩下的9箱中随机打开2箱，结果是1箱语文书、 1箱数学书”，记事件为“丢失的一箱是语文书”，事件 为“丢失的 一箱是数学书”，事件 为“丢失的一箱是英语书”，则 ， 由贝叶斯公式可得 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 55 （2）[2024·大连模拟]越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查 数据显示，,两个地区分别有, 的人参加户外极限运动，两个 地区的总人口数的比为 .若从这两个地区中任意选取一人，则此 人参加户外极限运动的概率为 ,若此人参加户外极限运动，则此人 来自地区的概率为 ，那么( ) A.， B.， C., D., √ 课 堂 考 点 探 究 56 [解析] 设事件为“此人参加户外极限运动”，事件为“此人来自 地 区”，事件为“此人来自地区”. 依题意，, , ,,则 ， .故选D. 课 堂 考 点 探 究 57 课时作业 58 基础热身 1.某系统通过摄像头识别手势，准确率为 .若连续识别3次手势， 则至少有一次识别错误的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 若连续识别3次手势，则至少有一次识别错误的对立事件为三 次都识别正确，所以至少有一次识别错误的概率为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 2.从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中 的条件下，乙被选中的概率为( ) A. B. C. D. [解析] 设事件“甲被选中”，事件 “乙被选中”，那么在甲被选 中的条件下，乙被选中的概率为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 3.已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由概率的乘法公式可得 . 故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 4.某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批 产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品， 2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次 取得次品，则第二次取得正品的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 设事件“第一次取得次品”，事件 “第二次取得正品”， 则，，故 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 5.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2， 3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起，已知第1， 2，3台车床加工的零件数分别占总数的，， ，任取一 个零件，则它为次品的概率是( ) A.0.078 B.0.077 C.0.076 D.0.075 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 [解析] 设任取一个零件，它是由第1，2，3台车床加工的分别为事件 ，，，该零件为次品为事件，则， ， ，，， 故 ，故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 6.（多选题）现有10道判断题，某同学对其中7道题有思路，3道题完 全没有思路，有思路的题做对的概率为 ，没有思路的题只好任意 猜一个答案，猜对答案的概率为 .该同学从这10道题中随机选择1道 题，记事件“选择的是有思路的题”，记事件 “答对该题”，则 下列说法正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 [解析] 由题意可得,,则 ,A错误； ，，则 ，B错误； 由全概率公式可得 ，所以，C正确； ，D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 7.[2025·绵阳三诊] 在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、 乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙问题的概率分别为 ， ， ，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答 对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为_____. 0.42 [解析] 由题意，至少能够连续将2道题都答对，包含的情况有：甲乙 都答对，丙正误都可；甲答错，乙丙都答对. 则小张获得额外加分的概率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 8.某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团 的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽 到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 [解析] 设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件 为“抽到的 学生来自高三（2）班”，事件 为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，， ， 由全概率公式得 ， 由乘法公式得 ，由条件概率公式得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 9.甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否 相互独立，已知甲、乙、丙机器的产品合格率分别为，， . （1）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； 解：设“从甲机器生产的产品中任取2件产品，2件产品都合格”为事 件 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 （2）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合 格的概率； 解：设“从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，恰有2件产品合 格”为事件 ，“从甲机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事 件，“从乙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件 ， “从丙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 则，， ，所以 , 所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，恰有2件产品合格 的概率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 （3）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，从中 任取一件产品，求这件产品合格的概率. 解：设“该产品为甲机器生产的”为事件 ，“该产品为乙机器生产的” 为事件，“该产品为丙机器生产的”为事件 ，“这件产品合格”为 事件 ， 根据已知条件有， ， ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 73 根据全概率公式有 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 综合提升 10.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一 次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分 别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 .假设甲、 乙两人射击互不影响，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为 ，则 ，解得 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 75 11.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 ，和 ，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、 乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件下，乙获得优秀等 级的概率为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 76 [解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件,, ，记甲、乙、 丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件 ，记乙获得优秀等级为 事件. 由题知，,, ，所以 ， ，所以 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 77 12.（多选题）[2025·茂名联考]某高中开展一项课外实践活动，参与 活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个 等级：合格、不合格.评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不 能获得学分.若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为 ，若评 定为合格，则下一次评定为合格的概率为 .已知小李参加了3次课外 实践活动，则下列说法正确的是( ) A.“小李第一次评定为合格”与“小李第一次评定为不合格”是互斥事件 B.若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C.若小李第一次评定为合格，则小李第3次评定为合格的概率为 D.“小李第一次评定为合格”与“小李第3次评定为合格”相互独立 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 78 [解析] 对于A，事件“小李第一次评定为合格”与“小李第一次评定为 不合格”不可能同时发生，所以是互斥事件，故A正确. 对于B，若小李第一次评定为不合格，设事件“小李第次评定为 合格”， , 3，则事件“小李获得0.4学分”即为事件 ，由概率的 乘法公式得 ，故B正确. 对于C，若小李第一次评定为合格,设事件“小李第次评定为合格”， 则 “小李第次评定为不合格”, ,3,由全概率公式得 ,故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 79 对于D，由C选项知，若小李第一次评定为合格，则小李第 3次评定为合格的概率为.若小李第一次评定为不合格，设事件 “小李第次评定为合格”，则“小李第次评定为不合格”， ,3. 由全概率公式可得 ， 所以若小李第一次评定为不合格,则小李第3次评定为合格的概率为 . 可知小李第一次是否评定为合格对第3次评定为合格有影响，故“小李 第一次评定为合格”与“小李第3次评定为合格”不相互独立，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某 班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须 在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 81 [解析] 设“学生甲、乙相邻出场”为事件 ，“学生甲必须在学生乙的 前面出场”为事件，5名同学的出场顺序共有 种情况，学生甲必须 在学生乙的前面出场的情况有种，所以 ， 学生甲、乙相邻出场且学生甲在学生乙前面的情况共有 种，所以 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 82 14.[2026·河北石家庄模拟] 有甲、乙两个袋子，袋子里有形状大小完 全相同的球，其中甲袋中有3个红球、7个白球，乙袋中有4个红球、6 个白球.从两个袋子中等可能地选一个袋子，再从该袋子中随机摸出1 个球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 83 （1）求首次摸球后试验就结束的概率. 解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件 ，“摸 出白球”为事件，“摸出红球”为事件 . 则 ， 所以首次摸球后试验就结束的概率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 84 （2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率. 解：由题意知，和为对立事件，则 ， 则 ，所以在首次摸出红球的条件 下，选到的袋子是乙袋的概率是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 85 （3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸 球试验，有如下两个方案： 方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 86 解：方案一：从原袋中摸球. 若首次在甲袋中摸出红球，则 ， 从原袋（甲袋）中摸出白球的概率为 ，所以第二次摸球后试验结 束的概率为 ； 若首次在乙袋中摸出红球，则 ，从原袋（乙袋）中摸出 白球的概率为 ，所以第二次摸球后试验结束的概率为 . 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 87 方案二：从另外一个袋子中摸球. 若首次在甲袋中摸出红球，则 ，从另一个袋子（乙袋） 中摸出白球的概率为 ，所以第二次摸球后试验结束的概率为 ； 若首次在乙袋中摸出红球，则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 88 从另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率为 ，所以第二次摸球后 试验结束的概率为 . 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为 . 因为 ，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 能力拓展 15.（多选题）[2025·浙江绍兴重点中学二联]某考试有20道三项选择 题.某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续 相同的选项.试卷下发后，更是发现自己一题也不会做，于是他按照 “没有连续相同的选项”猜答案.设其猜对第题的概率是 ，则下列说 法正确的是( ) A.（猜对第题猜对第题） B.（猜对第题猜错第题） C. D.全部猜对的概率为 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 90 [解析] 对于A，用表示第题猜对，则表示第题猜错， , 2, ,20.设每道题的选项为,,，不妨设第题的正确答案为 ，则在 猜对第题的条件下，该同学第题可能选择或 ，又由没有连 续相同的选项可知，第题的正确答案必为, 中的一个，则 ，故A选项正确； 对于B，由于没有连续相同的选项,不妨设第题的正确答案为,第 题的正确答案为 ,则在该同学第题猜错的条件下,该同学这两道题的 选项可能为, ，,，其中第题答对的是， 则 ，故B选项错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 91 对于C，容易得出 ，则 ，又，所以，所以数列 是各项均为0的常数列，所以 ，故C正确； 对于D，全部猜对的概率为 ，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $