微专题：指数与指数式化简 讲义-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

微专题：指数与指数式化简 学生版 北师大版（2019）必修第一册·指数运算与指数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是第三章的起点。教材先把平方根、立方根推广到 次方根，规定根式与分数指数幂的互化，再把指数的取值范围从整数扩到有理数、实数，由此建立指数幂的五条运算性质，为指数函数的图象与性质作准备。 考查形式：新高考在本讲的考查以运算为主：根式与分数指数幂的互化、含负指数与分数指数的化简求值，多为选填 5 分；给定 一类条件式，求 、 的值，靠平方与立方整体代换；比较几个指数幂的大小，化同底或化同指数后再定序。 第二部分　记·模型与结论 一、 次方根与根式 为奇数时，实数 的 次方根只有一个，记作 ，符号与被开方数一致； 为偶数时，只有 才有 次方根，且有两个，互为相反数，其中正的记作 ，负数没有偶次方根。 化简时区分两个式子：（在根式有意义的前提下恒成立），而 要分奇偶—— 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 。这一处是本节最集中的失分点。 二、分数指数幂的规定 规定 （，，），， 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。有了这条规定，根式与幂可以互相改写。 指数写到分母上的根式先化幂再运算，比直接对根式通分省力；负指数先取倒数，把指数化为正数再合并。 三、指数幂的五条运算性质 设 ，，：，，，，。 性质成立的前提是底数为正。底数为负时分数指数幂可能无意义，例如 按根式理解可以取 ，但 已不能按乘法交换指数，故凡出现分数指数，一律要求底数为正。 四、条件式求值的三步 给出 之类条件时，先平方：，得 ；再平方得 。求差式用平方差，求立方和用 。 整体代换的关键是盯住 这个乘积不变，凡是能凑成「和」与「积」的式子都可以整体代入，不必解出 。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　根式化简与分数指数幂互化 【解题技巧】先看根指数是奇是偶：奇次根号直接脱去，偶次根号脱去后加绝对值。根式化幂时把根号写成指数分母，再按幂的运算性质合并，最后把负指数翻到分母。 【典例 1-1】（原创） 求值：。 【变式 1-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 【变式 1-2】（原创） 化简：（）。 题型二　指数幂的运算与化简求值 【解题技巧】含负指数先把底数取倒数、指数变号；含常数底数的乘方先化成幂的形式再算。整式化简时把分数指数看成一个普通字母，按乘法公式展开、约分，最后再换回幂。 【典例 2-1】（原创） 计算：。 【变式 2-1】（原创） 计算：。 【变式 2-2】（原创） 化简：（，，）。 题型三　含条件式的整体代换求值 【解题技巧】盯住 ：求平方和就平方一次减 ，求立方和用立方和公式拆成「和」与「积」，求差式用平方差或立方差。整理解析时把已知式写在左边、所求式写在右边，缺什么补什么。 【典例 3-1】（原创） 已知 ，求 与 的值。 【变式 3-1】（原创） 已知 （），求 的值。 【变式 3-2】（原创） 已知 ，求 与 的值。 题型四　指数幂的大小比较 【解题技巧】同底不同指数，看底数大于 还是小于 定单调方向；不同底但可化成同底，先化同底；底与指数都不同，先化同指数（取根指数的最小公倍数）再比底，或插入 、 作中间量。 【典例 4-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 4-1】（原创） 比较 与 的大小。 【变式 4-2】（原创） 比较 与 的大小。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖偶次根式的绝对值、分数指数幂求值、负指数与零次幂、同底幂乘除、运算性质的辨析与条件式求值。 1．（单选） 的值是（　　） A． B． C． D． 2．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（填空）计算： ______。 4．（填空） ______。 5．（单选）化简 （）的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）设 ，下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（解答）已知 。（1）求 的值；（2）求 的值。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向分式结构的换元约分、立方差型条件式、指数式乘积为定值的整体代换、根式化简的辨析与含绝对值的分类讨论。 8．（解答）化简：（，）。 9．（解答）已知 ，求 的值。 10．（解答）已知 ，（，），求 的值。 11．（多选）下列化简结果正确的是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 12．（解答）化简：。 第五部分　思·小结反思 一、奇次脱号、偶次取绝对值 在 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 ；负数没有偶次方根，含分数指数时底数须为正。 二、负指数先倒数、根式先化幂 负指数取倒数化正，根式写成分数指数再合并，同底幂乘除只加减指数，约分前先把常数底数化成幂。 三、条件式求值靠平方与立方 由 出发，平方一次得平方和，平方两次得四次和，立方和用 ，全程不解出字母。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：指数与指数式化简 教师解析版 北师大版（2019）必修第一册·指数运算与指数函数 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练｜思·小结反思 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题是第三章的起点。教材先把平方根、立方根推广到 次方根，规定根式与分数指数幂的互化，再把指数的取值范围从整数扩到有理数、实数，由此建立指数幂的五条运算性质，为指数函数的图象与性质作准备。 考查形式：新高考在本讲的考查以运算为主：根式与分数指数幂的互化、含负指数与分数指数的化简求值，多为选填 5 分；给定 一类条件式，求 、 的值，靠平方与立方整体代换；比较几个指数幂的大小，化同底或化同指数后再定序。 第二部分　记·模型与结论 一、 次方根与根式 为奇数时，实数 的 次方根只有一个，记作 ，符号与被开方数一致； 为偶数时，只有 才有 次方根，且有两个，互为相反数，其中正的记作 ，负数没有偶次方根。 化简时区分两个式子：（在根式有意义的前提下恒成立），而 要分奇偶—— 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 。这一处是本节最集中的失分点。 二、分数指数幂的规定 规定 （，，），， 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂没有意义。有了这条规定，根式与幂可以互相改写。 指数写到分母上的根式先化幂再运算，比直接对根式通分省力；负指数先取倒数，把指数化为正数再合并。 三、指数幂的五条运算性质 设 ，，：，，，，。 性质成立的前提是底数为正。底数为负时分数指数幂可能无意义，例如 按根式理解可以取 ，但 已不能按乘法交换指数，故凡出现分数指数，一律要求底数为正。 四、条件式求值的三步 给出 之类条件时，先平方：，得 ；再平方得 。求差式用平方差，求立方和用 。 整体代换的关键是盯住 这个乘积不变，凡是能凑成「和」与「积」的式子都可以整体代入，不必解出 。 第三部分　破·典型题型（基础→中档→培优） 题型一　根式化简与分数指数幂互化 【解题技巧】先看根指数是奇是偶：奇次根号直接脱去，偶次根号脱去后加绝对值。根式化幂时把根号写成指数分母，再按幂的运算性质合并，最后把负指数翻到分母。 【教学提醒】本型的错误几乎都集中在 上。可让学生分别算 与 ，两个结果一正一负，差异一摆出来，奇偶之分就立住了。 【典例 1-1】（原创） 求值：。 解析： 是偶次根式，结果为 。 是奇次根式，结果为 ；。 相加得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 写成 ，或把 写成 。偶次根号脱去后取绝对值，奇次根号保留原符号，两条规则方向相反。 【变式 1-1】（原创） 若 ，求实数 的取值范围。 解析：，原式即 。 由 ，得 ，即 。 参考答案：。 【学情易错提醒】两边平方得 ，恒成立，于是答成全体实数。平方是等价变形的前提是两边非负，这里必须回到绝对值的定义讨论符号。 【变式 1-2】（原创） 化简：（）。 解析：化为分数指数：。 同底幂乘除，指数相加减：。 故原式 。 参考答案：。 【学情易错提醒】 化成 时写成 ，把根指数与幂指数写反。根指数作分母、被开方数的指数作分子，是互化的固定规则。 题型二　指数幂的运算与化简求值 【解题技巧】含负指数先把底数取倒数、指数变号；含常数底数的乘方先化成幂的形式再算。整式化简时把分数指数看成一个普通字母，按乘法公式展开、约分，最后再换回幂。 【教学提醒】本型可练习「换元」的眼光：把 记作 ，式子的结构立刻变成初中的整式运算。让学生先换元再运算，比逐项展开的错误率低得多。 【典例 2-1】（原创） 计算：。 解析：；。 。 。 代入得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】 先算 再取倒数，得 ；若直接对 取倒数再乘方，容易把 的负号丢掉，算成 。 【变式 2-1】（原创） 计算：。 解析：；。 ，，故 。 相加得 。 参考答案：。 【学情易错提醒】把 判为无意义。，非零数的零次幂等于 ；只有底数为 时零次幂才无意义。 【变式 2-2】（原创） 化简：（，，）。 解析：记 ，，原式为 。 通分：。 换回 ：，，故原式 。 参考答案：。 【学情易错提醒】通分后把分子写成 ，得 一类的错误结果。两式相加，中间项 与 相消，只剩平方项。 题型三　含条件式的整体代换求值 【解题技巧】盯住 ：求平方和就平方一次减 ，求立方和用立方和公式拆成「和」与「积」，求差式用平方差或立方差。整理解析时把已知式写在左边、所求式写在右边，缺什么补什么。 【教学提醒】本型的教学价值在「不解方程」。可让学生试着真正解出 ，会发现是无理数且越算越乱，再回到整体代换，方法的必要性自然显现。 【典例 3-1】（原创） 已知 ，求 与 的值。 解析：把已知式平方：，即 ，故 。 再平方：，故 。 参考答案：，。 【学情易错提醒】把 展开成 ，漏掉中间项 。平方展开的交叉项恰是定值 ，这正是整体代换的立足点。 【变式 3-1】（原创） 已知 （），求 的值。 解析：设 ，则 。 时 ，，故 ，取 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 直接写 。两个正数之和必为正，负根要舍；这一句不写，答案的符号就留了口子。 【变式 3-2】（原创） 已知 ，求 与 的值。 解析：。 设 ，，则 ，。由立方和公式 。 参考答案：，。 【学情易错提醒】把 算成 。立方展开多出三个交叉项，须减去 ，结果才是 。 题型四　指数幂的大小比较 【解题技巧】同底不同指数，看底数大于 还是小于 定单调方向；不同底但可化成同底，先化同底；底与指数都不同，先化同指数（取根指数的最小公倍数）再比底，或插入 、 作中间量。 【教学提醒】比较大小要先给方法排序：化同底优先，化同指数次之，插入中间量最后。三条写在板书右侧，学生做题时按序试，避免一上手就估近似值。 【典例 4-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：负指数取倒数：，。 两式指数相同，看幂函数 在 上递增；。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】看到 便判前者小，忽略了负指数。负号一出现，底数的大小关系要整体倒过来。 【变式 4-1】（原创） 比较 与 的大小。 解析：底与指数都不同，化为同指数：取根指数 与 的最小公倍数 。 ，。 两数均为正，六次幂大者原数大，故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】由 与 各取一半理由，得不出结论。底与指数反向变化时无法直接定序，必须化为同指数后比较。 【变式 4-2】（原创） 比较 与 的大小。 解析：负指数取倒数化为正指数：，。 化为同指数：，。 故 。 参考答案：。 【学情易错提醒】取倒数后仍用 判大小，方向反了。，底数已经变成 ，与原来的 无关。 第四部分　练·分层小训练（当堂完成） 一、基础小练（基础题，当堂完成 20 分钟） 本组七题覆盖偶次根式的绝对值、分数指数幂求值、负指数与零次幂、同底幂乘除、运算性质的辨析与条件式求值。 1．（单选） 的值是（　　） A． B． C． D． 解析：偶次根式化简取绝对值：。 参考答案：B。 2．（单选） 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：。 参考答案：B。 3．（填空）计算： ______。 解析：负指数取倒数：。 参考答案：。 4．（填空） ______。 解析：六次根式为偶次根式，结果取绝对值：。 参考答案：。 5．（单选）化简 （）的结果是（　　） A． B． C． D． 解析：指数相加减：，故结果为 。 参考答案：B。 6．（多选）设 ，下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 解析：A 项：同底幂相乘，指数相加，，正确。 B 项：幂的乘方，指数相乘，，正确。 C 项：，此项错误。 D 项：同底幂相除，指数相减，，正确。 参考答案：ABD。 7．（解答）已知 。（1）求 的值；（2）求 的值。 解析：（1）。 （2）设 ，，则 ，。由立方和公式 。 参考答案：（1）；（2）。 二、培优小练（提升题，15 分钟） 本组五题转向分式结构的换元约分、立方差型条件式、指数式乘积为定值的整体代换、根式化简的辨析与含绝对值的分类讨论。 8．（解答）化简：（，）。 解析：记 ，，则 ，，，。 分子 ，分母为 ，约分得 。 ，相除得 。 再乘 ，得 。 参考答案：。 9．（解答）已知 ，求 的值。 解析：记 ，，则 ，。 分子为立方差：，与分母 约去。 。 参考答案：。 10．（解答）已知 ，（，），求 的值。 解析：两式相乘：，即 。 。 参考答案：。 11．（多选）下列化简结果正确的是（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 解析：A 项：偶次根式应取绝对值，，此项错误。 B 项：奇次根式直接脱去，，正确。 C、D 两项的根指数分别为 与 ，都是偶次，结果均为 ，正确。 参考答案：BCD。 12．（解答）化简：。 解析：，而 。 当 时，原式 。 当 时，原式 。 参考答案： 时为 ； 时为 。 第五部分　思·小结反思 一、奇次脱号、偶次取绝对值 在 为奇数时等于 ， 为偶数时等于 ；负数没有偶次方根，含分数指数时底数须为正。 二、负指数先倒数、根式先化幂 负指数取倒数化正，根式写成分数指数再合并，同底幂乘除只加减指数，约分前先把常数底数化成幂。 三、条件式求值靠平方与立方 由 出发，平方一次得平方和，平方两次得四次和，立方和用 ，全程不解出字母。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $