精品解析：陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学2026-2027学年度第一学期期中学科成长足迹梳理九年级数学

【初2027届】2026—2027学年度第一学期期中学科成长足迹梳理 数学 时间：110分钟 满分：120分 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的射击运动历史悠久，是一项传统优势竞技项目．某射击运动员在同一条件下射中环的频率如图所示，估计该运动员射击一次射中环的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，要判定是菱形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则（ ）． A. B. C. D. 7. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 10. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 11. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，的面积为3，则的面积为______． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 13. 如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 14. 如图，在正方形中，点M是射线上一动点，点E是的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接．若正方形的边长为2，则点M在射线上运动时，的最小值是_________． 三、解答题（共11题，共78分） 15. 计算： 16. 解不等式组、解方程 （1）解不等式组：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求代数式的值：，请你从，，0，2中选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 18. 如图，已知，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 20. 如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，于点E，于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长以及矩形的面积． 22. 项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 23. 博望楼是我们学校的标志性建筑．某数学兴趣小组想通过所学知识测量博望楼的高度，如图为测量示意图．小组成员甲在博望楼前面的点E处用测角仪测得楼顶B的仰角为，同时，小组成员乙在点C处（点A，E，C在一条直线上）将无人机竖直飞起，以的速度飞行了至点D处，在点D处测得楼顶B的仰角为，测得成员甲所在E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内，求博望楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，） 24. 窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式，如图①是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可视为抛物线的一部分．如图②，小明以点为坐标原点，以水平地面为轴，拱形窑门的左边缘所在直线为轴，建立平面直角坐标系，经测量，拱形窑门的宽度为，矩形门框的高度为，且其两侧到窑门边缘的距离相等（即），直线过点，．拱形窑门的最高点到地面的距离为； （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的函数表达式； （2）横梁在上方，且到的距离为，．求横梁的长度． 25. 按要求回答以下问题 （1）如图①，在中，，且，，，，则的长为_________． （2）如图②，在（1）的条件下，把绕点A旋转一定角度，连接线段、．求的值，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．在绕点B旋转过程中，当面积最大时，求出的面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【初2027届】2026—2027学年度第一学期期中学科成长足迹梳理 数学 时间：110分钟 满分：120分 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图是 ∴B符合题意. 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3. 我国的射击运动历史悠久，是一项传统优势竞技项目．某射击运动员在同一条件下射中环的频率如图所示，估计该运动员射击一次射中环的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.88，估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率是0.88． 4. 已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 5. 如图，要判定是菱形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形和对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设每个正方形网格的边长为，根据勾股定理得到的长度，进而根据，，得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设每个正方形网格的边长为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 7. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A中结论错误，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴当时，， ∴，故B中结论错误，不符合题意； ∵当时，，抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴，故C中结论正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∴抛物线的最小值为， ∴， ∴，故D中结论错误，不符合题意． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为． 10. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规则求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 11. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，的面积为3，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由三角形位似的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴这两个的相似比为， 则的面积是的面积的， ∴的面积为． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有交点，对应一元二次方程有实数根，利用判别式大于等于求解即可． 【详解】解：令，可得， ∵二次函数的图象与轴有交点， ∴一元二次方程有实数根，判别式， 整理得， 解得． 13. 如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，小安从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为________米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 14. 如图，在正方形中，点M是射线上一动点，点E是的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接．若正方形的边长为2，则点M在射线上运动时，的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，通过证明得出，利用直角三角形斜边中线性质得到，结合旋转性质证得；通过角度计算得出，从而确定点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值． 【详解】解：延长交的延长线于点，  四边形是正方形，  ∴，，  ，，   点是的中点，  ，  ，  ，  ，  ，  绕点顺时针旋转得到，  ，，  ，  ，，  ， 且  ，，  ，  ， ，  ，   点在过点且与成角的直线上运动， 当时，取最小值， 在中，，，  ，  的最小值为． 三、解答题（共11题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组、解方程 （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）不等式组的解集为 （2）分式方程的解为 【解析】 【分析】（1）分别根据不等式的性质解两个不等式，这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集； （2）根据两个分母互为相反数的关系，先统一分母，之后去分母化为整式方程， 解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的分母验证，确保分母不为（避免增根）． 【小问1详解】 解：解不等式①， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解不等式②， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 原不等式组的解集是； 【小问2详解】 解：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：． 17. 先化简，再求代数式的值：，请你从，，0，2中选取一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式值为． 【解析】 【详解】解： ， ∵，，∴，， ∴取， 当时，原式． 18. 如图，已知，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 所作点D如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；作线段的垂直平分线，交于点D，则问题可求解． 【详解】解：连接，由线段垂直平分线的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表可得共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 甲选手从A，B，C，卡片中随机抽到卡片A的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由表可知，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种， ∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为． 20. 如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 21. 如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，于点E，于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长以及矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴是矩形； （2）；矩形的面积为 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，即可证明结论； （2）设，则，在中，列方程求出，再求出，，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ， ∵在中，，， ∴， 解得：（负值已舍）， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在矩形中，， ， ∴矩形的面积． 22. 项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元/个 【解析】 【分析】（1）根据6月产量、8月产量与月平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润单个利润月销售量列方程，结合让消费者得到实惠的条件选取较低的售价． 【小问1详解】 解：设该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该零件的实际售价为t元/个， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取， 答：该零件的实际售价应定为元/个． 23. 博望楼是我们学校的标志性建筑．某数学兴趣小组想通过所学知识测量博望楼的高度，如图为测量示意图．小组成员甲在博望楼前面的点E处用测角仪测得楼顶B的仰角为，同时，小组成员乙在点C处（点A，E，C在一条直线上）将无人机竖直飞起，以的速度飞行了至点D处，在点D处测得楼顶B的仰角为，测得成员甲所在E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内，求博望楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，） 【答案】博望楼的高度约为 【解析】 【分析】过点作于点，则，先得出，，，再设，解直角三角形可得，的长，然后根据建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由题意得：，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴在中，， 在中，， 又∵， ∴， 解得， ∴， 答：博望楼的高度约为． 24. 窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式，如图①是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可视为抛物线的一部分．如图②，小明以点为坐标原点，以水平地面为轴，拱形窑门的左边缘所在直线为轴，建立平面直角坐标系，经测量，拱形窑门的宽度为，矩形门框的高度为，且其两侧到窑门边缘的距离相等（即），直线过点，．拱形窑门的最高点到地面的距离为； （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的函数表达式； （2）横梁在上方，且到的距离为，．求横梁的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式． （1）首先推导出抛物线的顶点坐标为，设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为，代入即可得解； （2）首先得到点F、G的纵坐标均为2.54，代入求得，，进一步解答即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵直线过点D，且， ∴， 由题意知，，抛物线的最高点到x轴的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为，将点D的坐标代入得： ， 解得， 故拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵横梁到的距离为， ∴点F、G的纵坐标均为2.54， 将代入得： ， 解得，， 即点F的横坐标为0.3， 点G的横坐标为2.7， ∴， 故横梁的长度为． 25. 按要求回答以下问题 （1）如图①，在中，，且，，，，则的长为_________． （2）如图②，在（1）的条件下，把绕点A旋转一定角度，连接线段、．求的值，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．在绕点B旋转过程中，当面积最大时，求出的面积是多少？ 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 由（1）得：，，，， ∴，， ∴， ∵绕点A旋转一定角度， ∴， ∴， ∴． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理直接求解即可； （2）由（1）可得，，，，继而可得，再根据旋转的性质得出，可判断，进而可得； （3）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时， 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知，点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $