专题06 分式方程的实际应用（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题06 分式方程的实际应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、行程问题 题型二、工程问题 题型三、销售利润问题 题型四、和差倍分问题 题型五、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 列分式方程解实际问题是初中方程应用的高频考点，所有题型均围绕三量关系、等量关系、单位统一、结果检验四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是设未知数必须带单位，各量的单位与口径保持一致；二是解必须验根，既要排除增根，又要检验是否符合实际意义。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、行程问题 题型模版 1.特征：涉及路程、速度、时间三个量，常见同向追及、相向相遇、往返、顺水逆水航行等情境，已知时间差或速度差，求速度、路程或时间。 2.方法：抓住“路程＝速度×时间”，先统一时间单位；用同一段路程或同一段时间作等量关系，把时间差、速度差写成含未知数的分式方程；解后检验速度为正、时间符合实际，并排除使分母为零的解。 【例1】周末，小张骑电动车去某乡村办事，先走坑洼不平的乡村小路，再走平坦通畅的乡村大路，在乡村大路上骑电动车的平均速度比在小路上的平均速度快，两段路程相关信息如下表，已知走乡村小路所用时间比乡村大路少用，则小张在乡村小路骑行的平均速度是（     ） 路段 路程 平均速度 行驶时间（） 乡村小路 6 乡村大路 11 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为行程问题，利用行程公式时间=路程÷速度，根据题干给出的时间差关系列分式方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知小张在乡村小路骑行的平均速度是，由题意得乡村大路的平均速度为． 则 化简右边得 解得 经检验是原方程的解，符合题意． 因此小张在乡村小路骑行的平均速度为． 【例2】为深入推进“体重管理年”三年行动，我县举办了“神童山徒步大会”，大会以“全民健身、山水体验、文化传播”为主题，设置了两条特色路线（如图所示）：两条路线均以复圣公园为起点、以神童山为终点，其中路线一为“休闲组”路线，沿宁磁南路直达神童山，全程15千米；路线二为“毅行组”路线，绕行千顷枣林，全程18千米． (1)甲、乙两名选手分别选择了路线一和路线二，已知乙徒步的平均速度是甲徒步的平均速度的倍，且乙到达终点所花的时间比甲少小时，求甲、乙徒步的平均速度是多少？ (2)在（1）的条件下，若甲、乙两人同时从起点复圣公园出发，当乙徒步到路线二全程的一半时，甲恰好走到路线一上的第一个补给点，求该补给点与起点复圣公园之间的距离是多少千米？ 【答案】(1)甲徒步的平均速度是4千米/小时，则乙徒步的平均速度是6千米/小时 (2)6千米 【分析】（1）设甲徒步的平均速度是千米/小时，则乙徒步的平均速度是千米/小时，根据“乙到达终点所花的时间比甲少0.75小时”列出分式方程，解方程即可求解； （2）用乙徒步到路线二全程的一半所用时间乘以甲徒步的速度即可． 【详解】（1）解：设甲徒步的平均速度是千米/小时，则乙徒步的平均速度是千米/小时， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （千米/小时）， 即甲徒步的平均速度是4千米/小时，则乙徒步的平均速度是6千米/小时； （2）解：由（1）知甲徒步的平均速度是4千米/小时，则乙徒步的平均速度是6千米/小时， （千米）， 即该补给点与起点复圣公园之间的距离是6千米． 【变式1-1】下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（     ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 【答案】D 【分析】根据路程，速度，时间三者的关系，分析两个方程中未知数的意义，再解方程验证各选项即可． 【详解】解：A、对于小明的方程， ∵等量关系为：特快列车行驶时间高铁列车行驶时间， ∴代表的是特快列车的平均速度，故选项不符合题意； B、对于小红的方程， ∵等量关系为：高铁列车速度特快列车速度， ∴代表的是高铁列车从甲地到乙地的行驶时间，故选项不符合题意； C、解小明的方程， 解得， 经检验，是方程的解， ∴特快列车速度为，高铁列车速度为，故选项不符合题意； D、解小红的方程， 解得， 经检验，是方程的解， ∴特快列车从甲地到乙地的时间为，故选项符合题意． 【变式1-2】某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． (1)据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ (2)甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 【答案】(1)去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛 (2)甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时 【分析】（1）设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛，根据“今年与去年共有6.5万人参赛”列方程，求出答案； （2）设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时，根据“乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍”列方程，求出答案． 【详解】（1）解：设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛， 由题意得，， 解得， ∴（万人）， 答：去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛； （2）解：设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时， 由题意得，， 整理得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴（公里/小时）， 答：甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时． 【变式1-3】某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 【答案】(1)“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为 (2) (3)解：“跃动号”的最终成绩更好， 理由：由题意得， 解得：， ∴，． 由题意得，解得， ∴． 经检验得是所列方程组的根，且符合题意． ∴“跃动号”的净用时为．             ∴“跃动号”的最终成绩为．         由（2）得“天行号”的最终成绩为． ∵， ∴“跃动号”的最终成绩更好． 【分析】（1）一半赛程为，设“天行号”前半赛程的平均速度为，则后半赛程的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）分当时，当时，分别求解即可； （3）列方程求出“跃动号”的净用时间，从而求出“跃动号”的最终成绩，与“天行号”的最终成绩比较即可解答； 【详解】（1）解：设“天行号”前半赛程的平均速度为， 由题意得， 解得， 经检验得是所列方程的根，且符合题意， 跑完全程的净用时为， 答：“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为． （2）解：当时，由题意得， 解得（不符，舍去）， 当时，由题意得， 解得， 综上所述：． （3）略 题型二、工程问题 题型模版 1.特征：涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量，常见两队合作、先后施工、中途增减人手等情境，已知工期差或合作天数，求单独完成所需的时间或工作效率。 2.方法：把工作总量设为1，则效率＝1÷单独完成时间；用“各段工作量之和等于总量”或“合作效率等于效率之和”列方程；解得时间后检验为正数，剔除不合题意的解。 【例3】深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 【答案】(1)解分式方程没有验根 (2)设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （箱） 答：甲组每天包装蜜桃箱． 【分析】（1）分式方程一定要检验根； （2）根据题意列分式方程并求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】分式方程一定要验根． 【例4】为保障道县脐橙种植基地用水，需要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1600米，由甲、乙两个施工队合作完成．乙施工队每天比甲施工队多修建20米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米； (2)已知甲施工队每天的修建费用为5万元，乙施工队每天的修建费用为7万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好19天完成修建任务，求共需修建费用多少万元． 【答案】(1)甲施工队每天修建40米，则乙施工队每天修60米 (2)共需修建费用193万元 【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修米，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设先由甲施工队单独修建y天，再由甲、乙两个施工队合作修建天，根据题意列出一元一次方程求出y的值，继而求出甲乙合作施工的天数，即可解答． 【详解】（1）解：设甲施工队每天修建米，则乙施工队每天修米，根据题意，得 ， 解得：（米）， 经检验，是原方程的根， （米）， 答：甲施工队每天修建40米，则乙施工队每天修60米； （2）解：设先由甲施工队单独修建天，再由甲、乙两个施工队合作修建天，根据题意，得 ， 解得（天）， （天）， 则甲、乙两个施工队合作修建14天． 则总计费用为：（万元）， 答：共需修建费用193万元． 【变式2-1】观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） (2)完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【答案】(1)手工炒茶每小时能炒20斤 (2)两人合作了8小时 【分析】（1）根据“手工效率是机器一半”来设未知数，利用“同样80斤，手工用时-机器用时=2小时”列分式方程． （2）先算出机器单独先做的工作量，用总量减去先做的量得到合作工作量，再求两者效率之和，“合作工作量÷合作效率=合作时间”求解． 【详解】（1）解：设手工炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 解得 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：手工炒茶每小时能炒20斤． （2）解：由（1）得手工炒茶每小时能炒20斤，机器炒茶每小时能炒斤， 根据题意得 （小时）． 答：完成刘厂长提出的合作订单，两人合作了8小时． 【变式2-2】“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下：每包彩纸比每捆竹条贵 4 元，480 元能买到的彩纸包数是 200 元能买到的竹条捆数的 2 倍． 信息2 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作 个小龙舟或制作 个大龙舟，并且制作 32 个小龙舟的天数和制作 16 个大龙舟的天数一样． (1)①嘉嘉设 ，依题意，得方程 ．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程 ． ②彩纸每包________元，竹条每捆________元． (2)求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． 【答案】(1)①200元能买到的竹条捆数为；；②， (2)嘉琪每天可以制作小龙舟个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①嘉嘉设200元能买到的竹条捆数为；依题意，得方程 ． 设彩纸每包元， 依题意，得方程， ②解方程：， 得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 【变式2-3】某校的综合实践活动策划方案如下 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵4元，480元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍． 任务1 嘉嘉设■，依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元，依题意，得方程▲． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作32个小飞马的天数和制作16个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． (1)①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和480元买到的彩纸包数． (2)完成任务2中的问题． 【答案】(1)①元买到的竹条为捆，；②元，包 (2)珍珍每天可以制作个小飞马 【分析】（1）①由题意即可得到答案；②由材料中嘉嘉和淇淇的思路分别求解即可； （2）由题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：选嘉嘉思路，设元买到的竹条为捆，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 每捆竹条的价格为（元）；480元买到的彩纸包数为（包）； 选淇淇思路，设每包彩纸元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 每捆竹条的价格为（元）；480元买到的彩纸包数为（包）； （2）解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：珍珍每天可以制作个小飞马． 题型三、销售利润问题 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、数量、利润率、总利润等量，常见提价降价、打折促销、批量进货等情境，已知利润或销售额的变化关系，求进价、售价或数量。 2.方法：抓住“利润＝售价－进价”“利润率＝利润÷进价”，先统一折扣与百分比的写法；用总利润差或销售额差列分式方程；解后检验售价、数量符合实际，不出现负值或非整数件数。 【例5】十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． (1)求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ (2)某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 【答案】(1)购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． (2)的值为4 【分析】（1）设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元．根据两次购买的总费用得到等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据降价后购买两种蟹的数量相等列分式方程，求解后检验即可解答． 【详解】（1）解：设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元． 根据题意，得 ，解得． 答：购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． （2）解：由题意可得：降价后母蟹单价为 元，公蟹单价为元． 由题意得： ， ， ， ， ． 检验：当时，且两种蟹的单价均为正数，符合题意． 答：m的值为4． 【例6】下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元；    ② 乙种商品每件进价 x 元；    ③ 甲种商品购进 x 件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元． 【分析】（1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据题意建立方程求解即可； 解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多5元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， （2）略 【变式3-1】列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“金榜手环”．若购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元，购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元． (1)请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“金榜手环”的售价降低元．经测算，学校花元购进“状元书历”的数量比花元购进“金榜手环”的数量还少个，求出的值． 【答案】(1) 每本“状元书历”售价元，每个“金榜手环”售价元． (2) 的值为． 【分析】（1）设出未知数，列二元一次方程组解决问题； （2）找到等量关系，列分式方程解决问题． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元． （2）根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：的值为． 【变式3-2】某商店3月份购进一批短袖衫，共花费了3200元．因畅销，商店在4月份又购进与3月份数量相同的同一品牌短袖衫共用了3840元．已知4月份短袖衫每件进价比3月份每件进价多8元． (1)求该商店3月份、4月份购进的短袖衫每件进价各是多少元？ (2)若这批短袖衫以80元/件出售．经过一段时间，商店把剩下的10件打八折出售，很快售完．问商店共获毛利润（销售收入进价）多少元？ (3)该商店将购进的短袖衫销售完毕后，分两次再购入相同品牌的短袖衫共100件，由于市场行情波动，再次购入时，第一次进价比3月份进价高了元/件，第二次进价比4月份进价低了元/件，最后发现两次购进短袖衫的总费用与第二次购进的短袖衫的件数无关，求两次购进100件短袖衫的总费用． 【答案】(1)该商店3月份购进的短袖衫每件进价为40元，4月份购进的短袖衫每件进价为48元 (2)5600元 (3)4480元 【分析】（1）设该商店3月份购进的短袖衫每件进价为x元，则4月份购进的短袖衫每件进价为元，根据4月和3月的购买数量相同建立方程求解即可； （2）求出两个月的总购买数量，再根据毛利润计算公式列式求解即可； （3）设第二次购买m件，则第一次购买件，两次的总费用为元，用含m的式子表示出y，根据y的值与m的值无关可求出a的值，进而求出对应的y的值即可． 【详解】（1）解：设该商店3月份购进的短袖衫每件进价为x元，则4月份购进的短袖衫每件进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合实际， ∴， 答：该商店3月份购进的短袖衫每件进价为40元，4月份购进的短袖衫每件进价为48元； （2）解：（件）， ∴3月和4月一共购进件短袖衫， 销售收入：元，进价：元， 元， 答：商店共获毛利润5600元． （3）解：设第二次购买m件，则第一次购买件，两次的总费用为元， 由题意可得，， ∵两次购进短袖衫的总费用与第二次购进的短袖衫的件数无关， ∴， ∴， ∴． 答：两次购进100件短袖衫的总费用为4480元． 【变式3-3】在“书香润校园，阅读伴成长”主题读书节活动中，我校筹备图书角奖励阅读之星．小才作为采购负责人之一，负责精装散文集与科普绘本两类图书的采购工作，已知购买3套精装散文集和2套科普绘本共花费190元；购买5套精装散文集和4套科普绘本共花费340元． (1)求购买1套精装散文集和1套科普绘本的价格是多少？ (2)学校计划追加采购一批精装散文集和科普绘本．某书店开展促销活动：精装散文集每套降价元，科普绘本每套降价元，用680元在书店购买精装散文集的数量与用340元购买科普绘本的数量相同，求的值． 【答案】(1)购买1套精装散文集的价格为40元，1套科普绘本的价格为35元 (2)的值为6 【分析】（1）设购买1套精装散文集的价格为a元，购买1套科普绘本的价格为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列分式方程求解即可，注意结果要检验． 【详解】（1）解：设购买1套精装散文集的价格为a元，购买1套科普绘本的价格为b元， 根据题意，得， 解得， 答：购买1套精装散文集的价格为40元，1套科普绘本的价格为35元； （2）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故m的值为6． 题型四、和差倍分问题 题型模版 1.特征：题目给出两个量之间的和、差、倍、分关系，如甲是乙的几倍、甲比乙多几分之几，已知其中一个量的值或变化后的关系，求另一个量。 2.方法：先确定“比”后面的量作标准量并设为未知数，再按倍数或分率表示另一个量；把“和”“差”关系写成方程，注意“多几分之几”须乘以标准量；解后回代检验两量关系与原题一致。 【例7】我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 【详解】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 【例8】如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 【答案】制作1个榫需要的木材为千克． 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 根据题意得， 解得， 答：制作1个榫需要的木材为千克． 【变式4-1】为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中感悟劳动成果来之不易，并培养团结协作精神，某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的采摘课，计划八（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名学生调往其他劳动区域，这样剩余学生实际平均每人采摘的质量是全班学生计划平均每人要采摘质量的倍，设八（1）班共有x名学生，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设八（1）班共有x名学生，计划平均每人采摘质量为千克，实际平均每人采摘质量为千克，根据题意，列方程即可； 【详解】解：计划平均每人采摘质量为千克， 调走10名学生后剩余人数为，实际平均每人采摘质量为千克； ∵实际平均每人采摘质量是计划的倍， ∴； 【变式4-2】山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 【答案】第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元 【分析】设第一次购进陈醋的单价是x元，再根据题意列方式方程求解． 【详解】解：设第一次购进陈醋的单价是x元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元． 【变式4-3】2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 【答案】A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳 【分析】设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳． 题型五、方案问题 题型模版 1.特征：给出两种及以上的购买、租用、运输或施工方案，各方案单价或计费方式不同，已知总费用、总量或数量关系，要求比较择优或求方案中的待定数量。 2.方法：分别写出每个方案的费用或总量表达式，用“总量相等”“费用相同”或“某一方案更省”列方程或不等式；按参数取值分情况讨论，最后按题目要求给出结论并注明选择依据。 【例9】中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】(1)青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元 (2)当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【分析】（1）设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元，由题意得到分式方程，然后进行求解即可； （2）设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中，根据题意分别得出方案一和方案二的价格，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 【例10】安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 【答案】(1) “红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； (2) 该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二：购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋． 【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系； （2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解： 设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元， 根据题意得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解， ， 答：“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； （2）解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是3的正倍数，且， 即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：该游客共有3种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1袋，“红薯淀粉”15袋；②购买“红薯粉条”4袋，“红薯淀粉”10袋；③购买“红薯粉条”7袋，“红薯淀粉”5袋． 【变式5-1】江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【变式5-2】某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 【答案】(1)甲工程队完成施工任务用了5天 (2)应选B方案 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和分式的大小比较，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）利用时间关系列出方程即可求解． （2）分别求出两种方案的时间，再利用作差法比较大小即可求解． 【详解】（1）解：（1）根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∵（天）， 所以，甲工程队完成施工任务用了5天． （2）解：由题意，得 ， ． 由题意，得，则， ， ， 应选B方案． 【变式5-3】小慧购买学习用品的清单如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： 学习用品 中性笔 自动铅笔 记号笔 笔记本 圆规 合计 单价 数量 金额 (1)小慧记得记号笔的单价是中性笔的2倍，请问中性笔、记号笔的单价分别是多少？ (2)若小慧再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同购买方案？ 【答案】(1)中性笔单价3元，记号笔单价6元 (2)共有2种不同购买方案，分别为：方案一，购买6支中性笔和3本笔记本；方案二，购买1支中性笔和6本笔记本 【点睛】（1）先根据表格中的总金额和总数量，求出记号笔总金额以及中性笔和记号笔的总数量，再设未知数根据数量关系列方程求解； （2）设出两种文具的购买数量，根据总花费列出二元一次方程，求方程的正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：由题意可得，圆规金额为（元） 记号笔总金额为（元），笔记本数量为（本） 中性笔与记号笔的总数量为 设中性笔单价为元，则记号笔单价为元 根据题意得 解得 经检验，是原方程的解，符合题意 此时 答：中性笔单价为3（元），记号笔单价为6（元）. （2）解：设购买支中性笔，本笔记本，其中均为正整数 根据题意得 整理得 因为为正整数， 所以且能被3整除 因此可得或 所以共有2种不同的购买方案 方案1：购买6支中性笔，3本笔记本 方案2：购买1支中性笔，6本笔记本 答：共有2种不同购买方案，分别为购买6支中性笔和3本笔记本，或购买1支中性笔和6本笔记本． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 2．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 3．【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 (1)在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． (2)请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 【答案】(1)A型机运送800件快递所用的时间． (2)解：设B型机平均每小时运送件快递，则A型机平均每小时运送件快递． 根据题意得． 去分母得． 展开整理得． 解得． 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：B型机平均每小时运送90件快递． 【分析】（1）根据解法二的方程结构与等量关系即可判断y的实际意义． （2）按照解法一的设元思路，利用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【详解】（1）解：分析方程可知，表示A型机平均每小时运送的数量，表示型机平均每小时运送的数量， ∴表示A型机运送800件快递所用的时间． （2）略． 4．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 5．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 【答案】(1)D (2)选择补全小刚：， 具体解答过程如下： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：规定时间为天． 选择补全小强：， 具体解答过程如下： 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则规定时间为， 答：规定时间为天． 【分析】（1）由题意，结合小刚和小强分别列出的尚不完整的方程分析求解即可； （2）由（1）中分析补全小刚和小强列出的分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据小刚列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示规定时间，A选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，D选项错误； 根据小强列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示慢马的速度，C选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，C选项正确； 综上所述，说法不正确的是D选项； （2）略 6．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 7．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 8．砺算科技是国产全自研公司，其生产的显卡分为专业卡和游戏卡两大类．某工厂有12条生产线，用于生产这两种显卡，每条生产线每年可以生产6万片专业卡或者4万片游戏卡．这些生产线全部投入生产，一年下来一共生产了62万片显卡． (1)该工厂生产的专业卡和游戏卡分别是多少万片？ (2)现工厂将这62万片显卡进行包装，工厂先按原来的速度包装了6万片，之后提高了包装效率，每月的包装量比原来增加了，结果比原定时间提前了3个月完成任务．求工厂原来每月能包装多少万片显卡？ 【答案】(1)专业卡和游戏卡分别是42万片和20万片 (2)工厂原来每月能包装7万片显卡 【分析】（1）设生产专业卡的生产线x条，生产游戏卡的生产线y条，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设原来每月能包装y万片显卡，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设生产专业卡的生产线x条，生产游戏卡的生产线y条． 由题意可得 解得 ∴专业卡和游戏卡分别是42万片和20万片． （2）解：设原来每月能包装y万片显卡 由题意可得 解得． ∴经检验，是方程的解，原来每月能包装7万片显卡． 9．水晶糕是我市特色美食，游客常选．水晶糕店有A，B两款水晶糕，其中A款每杯售价比B款每杯售价多2元，花费80元购得A款水晶糕的杯数与花费60元购得B款水晶糕的杯数相同． (1)求A，B两款水晶糕的每杯售价． (2)一个旅行团中，有男游客5人，女游客40人．每位游客都从A，B两款水晶糕中选购一杯（每人只买一杯），则全团购买A款水晶糕的费用是购买B款水晶糕的费用的2倍． ①分析：为厘清数量关系，可用列表法．设这一旅游团中，男游客购买了A款水晶糕杯，女游客购买了A款水晶糕杯，请填写表格： A款 B款 杯数 购买费用 杯数 购买费用 男游客 女游客 ②根据表格，列出方程，求这一个旅行团中，购买A款水晶糕的总杯数． (3)下一个旅行团每人也购买一杯水晶糕，其中男游客购买两款水晶糕的总费用是106元，女游客购买两款水晶糕的总费用是136元．已知该旅行团中，女游客购买A，B两款水晶糕的杯数，均多于男游客，问：该团中，女游客购买B款水晶糕的杯数比男游客购买B款水晶糕的杯数多几杯？ 【答案】(1)水晶糕A款和B款的销售单价分别是8元，6元 (2)①表格如下： A款 B款 杯数 购买费用 杯数 购买费用 男游客 女游客 ②这一个旅行团中共购买A款水晶糕27杯 (3)女游客购买B款水晶糕的杯数比男游客购买B款水晶糕的杯数多1杯 【分析】（1）设B款水晶糕的单价为元，根据“A款每杯售价比B款每杯售价多2元，花费80元购得A款水晶糕的杯数与花费60元购得B款水晶糕的杯数相同”列分式方程求解即可； （2）①根据A，B两款水晶糕的单价计算即可； ②根据“全团购买A款水晶糕的费用是购买B款水晶糕的费用的2倍”列方程求解即可； （3）设女性游客购买A款水晶糕比男游客购买A款水晶糕多杯，B款水晶糕多杯，根据女游客购买两款水晶糕的总费用比男游客购买两款水晶糕的总费用多列出二元一次方程，结合实际情况求解即可． 【详解】（1）解：设B款水晶糕的单价为元，由题可得， ， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意． ． 答：水晶糕A款和B款的销售单价分别是8元，6元； （2）①略； ②解：由题可得，得， 解得． 答：45人总共购买A款水晶糕27杯； （3）解：设女性游客购买A款水晶糕比男游客购买A款水晶糕多杯，B款水晶糕多杯． 由题可得，， 即， ∵，是正整数， ∴只有符合， 答：本次购买B款水晶糕的女游客比男游客多1杯． 10．素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 【答案】(1)“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元． 【分析】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元，根据每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元和购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设每杯“栀子花开”利润为元，根据每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，可得每杯“茉莉花开”利润为元，再根据题意即可列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元， 由素材可得：， 解得：， 答：“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； （2）设每杯“栀子花开”利润为元， ∵每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍， ∴每杯“茉莉花开”利润为元， 由素材可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元 11．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人； (2)购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解题的关键． （）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的倍”，再建立分式方程求解即可； （）设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数，根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，根据题意得 解得： 检验：把代入 故是所列方程的解． 则（人） 答：甲公司有人，乙公司有人； （2）解：设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数， 根据题意得 ∴， ∴， 当时， 符合题意； 当时， 符合题意； 当时， 不符合题意； 综上所述，购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 12．列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 【答案】(1)安排人生产茶壶 (2)第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套 【分析】（1）设安排人生产茶壶，根据每套茶具由只茶杯和只茶壶组成，列方程求解即可； （2）由（1）先求出全部茶具数量，设第一次投放市场的茶具的套数为套，根据两次投放的每套茶具的利润关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设瓷器厂应安排人生产茶壶． 由题意可得，， 解得． 答：瓷器厂应安排人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：由（1）得，安排人生产茶壶， 则天该瓷器厂共生产的茶具数量为：（套） 设第一次投放市场的茶具的套数为套，则第二次投放市场的茶具的套数为套． 由题意可得，×， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 第二次投放市场的茶具的套数为：（套） 答：第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套． 13．元宵节长泰区益宏广场举办文化嘉年华活动，小明一家从家出发去活动现场，导航显示有两个方案可供选择，求方案二的平均车速． 方案一 方案二 路程 全程千米 全程千米 优缺点分析 距离短，但交通比较拥堵，用时长 距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟 【答案】方案二的平均车速为千米小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设方案一的平均车速为千米小时，则方案二的平均车速为千米小时，根据方案二距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设方案一的平均车速为千米小时，则方案二的平均车速为千米小时， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：方案二的平均车速为千米小时． 14．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式方程的实际应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、行程问题 题型二、工程问题 题型三、销售利润问题 题型四、和差倍分问题 题型五、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 列分式方程解实际问题是初中方程应用的高频考点，所有题型均围绕三量关系、等量关系、单位统一、结果检验四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是设未知数必须带单位，各量的单位与口径保持一致；二是解必须验根，既要排除增根，又要检验是否符合实际意义。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、行程问题 题型模版 1.特征：涉及路程、速度、时间三个量，常见同向追及、相向相遇、往返、顺水逆水航行等情境，已知时间差或速度差，求速度、路程或时间。 2.方法：抓住“路程＝速度×时间”，先统一时间单位；用同一段路程或同一段时间作等量关系，把时间差、速度差写成含未知数的分式方程；解后检验速度为正、时间符合实际，并排除使分母为零的解。 【例1】周末，小张骑电动车去某乡村办事，先走坑洼不平的乡村小路，再走平坦通畅的乡村大路，在乡村大路上骑电动车的平均速度比在小路上的平均速度快，两段路程相关信息如下表，已知走乡村小路所用时间比乡村大路少用，则小张在乡村小路骑行的平均速度是（     ） 路段 路程 平均速度 行驶时间（） 乡村小路 6 乡村大路 11 A． B． C． D． 【例2】为深入推进“体重管理年”三年行动，我县举办了“神童山徒步大会”，大会以“全民健身、山水体验、文化传播”为主题，设置了两条特色路线（如图所示）：两条路线均以复圣公园为起点、以神童山为终点，其中路线一为“休闲组”路线，沿宁磁南路直达神童山，全程15千米；路线二为“毅行组”路线，绕行千顷枣林，全程18千米． (1)甲、乙两名选手分别选择了路线一和路线二，已知乙徒步的平均速度是甲徒步的平均速度的倍，且乙到达终点所花的时间比甲少小时，求甲、乙徒步的平均速度是多少？ (2)在（1）的条件下，若甲、乙两人同时从起点复圣公园出发，当乙徒步到路线二全程的一半时，甲恰好走到路线一上的第一个补给点，求该补给点与起点复圣公园之间的距离是多少千米？ 【变式1-1】下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（     ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 【变式1-2】某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． (1)据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ (2)甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 【变式1-3】某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 题型二、工程问题 题型模版 1.特征：涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量，常见两队合作、先后施工、中途增减人手等情境，已知工期差或合作天数，求单独完成所需的时间或工作效率。 2.方法：把工作总量设为1，则效率＝1÷单独完成时间；用“各段工作量之和等于总量”或“合作效率等于效率之和”列方程；解得时间后检验为正数，剔除不合题意的解。 【例3】深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 【例4】为保障道县脐橙种植基地用水，需要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1600米，由甲、乙两个施工队合作完成．乙施工队每天比甲施工队多修建20米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米； (2)已知甲施工队每天的修建费用为5万元，乙施工队每天的修建费用为7万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好19天完成修建任务，求共需修建费用多少万元． 【变式2-1】观湘超绿茵激战，游福田茶园茶庄，亲手试一把古法炒茶，喝一口清泉香茶，品味零陵山水茶韵！永州市福田茶场是本地特色茶叶生产基地，茶厂的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术．手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．这种结合主要体现在手工炒茶和机器炒茶两种核心工艺上，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和刘厂长（机器炒茶）的对话： 茶农（手工炒茶）：手工每小时炒茶量只有机器的一半，炒80斤茶比机器多花2小时，机器效率更高！ 刘厂长（机器炒茶）：机器虽快，可手工炒茶风味更佳！咱们合作炒制560斤茶叶，机器先单独炒2小时，余下的一起加工． 仔细阅读茶农与刘厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？（设手工炒茶每小时能炒斤） (2)完成刘厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【变式2-2】“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下：每包彩纸比每捆竹条贵 4 元，480 元能买到的彩纸包数是 200 元能买到的竹条捆数的 2 倍． 信息2 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作 个小龙舟或制作 个大龙舟，并且制作 32 个小龙舟的天数和制作 16 个大龙舟的天数一样． (1)①嘉嘉设 ，依题意，得方程 ．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程 ． ②彩纸每包________元，竹条每捆________元． (2)求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． 【变式2-3】某校的综合实践活动策划方案如下 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵4元，480元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍． 任务1 嘉嘉设■，依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元，依题意，得方程▲． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作32个小飞马的天数和制作16个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． (1)①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和480元买到的彩纸包数． (2)完成任务2中的问题． 题型三、销售利润问题 题型模版 1.特征：涉及进价、售价、数量、利润率、总利润等量，常见提价降价、打折促销、批量进货等情境，已知利润或销售额的变化关系，求进价、售价或数量。 2.方法：抓住“利润＝售价－进价”“利润率＝利润÷进价”，先统一折扣与百分比的写法；用总利润差或销售额差列分式方程；解后检验售价、数量符合实际，不出现负值或非整数件数。 【例5】十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． (1)求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ (2)某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 【例6】下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元；    ② 乙种商品每件进价 x 元；    ③ 甲种商品购进 x 件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【变式3-1】列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“金榜手环”．若购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元，购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元． (1)请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“金榜手环”的售价降低元．经测算，学校花元购进“状元书历”的数量比花元购进“金榜手环”的数量还少个，求出的值． 【变式3-2】某商店3月份购进一批短袖衫，共花费了3200元．因畅销，商店在4月份又购进与3月份数量相同的同一品牌短袖衫共用了3840元．已知4月份短袖衫每件进价比3月份每件进价多8元． (1)求该商店3月份、4月份购进的短袖衫每件进价各是多少元？ (2)若这批短袖衫以80元/件出售．经过一段时间，商店把剩下的10件打八折出售，很快售完．问商店共获毛利润（销售收入进价）多少元？ (3)该商店将购进的短袖衫销售完毕后，分两次再购入相同品牌的短袖衫共100件，由于市场行情波动，再次购入时，第一次进价比3月份进价高了元/件，第二次进价比4月份进价低了元/件，最后发现两次购进短袖衫的总费用与第二次购进的短袖衫的件数无关，求两次购进100件短袖衫的总费用． 【变式3-3】在“书香润校园，阅读伴成长”主题读书节活动中，我校筹备图书角奖励阅读之星．小才作为采购负责人之一，负责精装散文集与科普绘本两类图书的采购工作，已知购买3套精装散文集和2套科普绘本共花费190元；购买5套精装散文集和4套科普绘本共花费340元． (1)求购买1套精装散文集和1套科普绘本的价格是多少？ (2)学校计划追加采购一批精装散文集和科普绘本．某书店开展促销活动：精装散文集每套降价元，科普绘本每套降价元，用680元在书店购买精装散文集的数量与用340元购买科普绘本的数量相同，求的值． 题型四、和差倍分问题 题型模版 1.特征：题目给出两个量之间的和、差、倍、分关系，如甲是乙的几倍、甲比乙多几分之几，已知其中一个量的值或变化后的关系，求另一个量。 2.方法：先确定“比”后面的量作标准量并设为未知数，再按倍数或分率表示另一个量；把“和”“差”关系写成方程，注意“多几分之几”须乘以标准量；解后回代检验两量关系与原题一致。 【例7】我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【例8】如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 【变式4-1】为响应教育部下发的《义务教育劳动课程标准（2022年版）》文件要求，让学生在富有自然情趣的劳动实践中感悟劳动成果来之不易，并培养团结协作精神，某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的采摘课，计划八（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名学生调往其他劳动区域，这样剩余学生实际平均每人采摘的质量是全班学生计划平均每人要采摘质量的倍，设八（1）班共有x名学生，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 【变式4-3】2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 题型五、方案问题 题型模版 1.特征：给出两种及以上的购买、租用、运输或施工方案，各方案单价或计费方式不同，已知总费用、总量或数量关系，要求比较择优或求方案中的待定数量。 2.方法：分别写出每个方案的费用或总量表达式，用“总量相等”“费用相同”或“某一方案更省”列方程或不等式；按参数取值分情况讨论，最后按题目要求给出结论并注明选择依据。 【例9】中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【例10】安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 【变式5-1】江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【变式5-2】某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 【变式5-3】小慧购买学习用品的清单如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： 学习用品 中性笔 自动铅笔 记号笔 笔记本 圆规 合计 单价 数量 金额 (1)小慧记得记号笔的单价是中性笔的2倍，请问中性笔、记号笔的单价分别是多少？ (2)若小慧再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同购买方案？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 2．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 3．【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 (1)在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． (2)请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 4．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 5．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 6．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 7．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 8．砺算科技是国产全自研公司，其生产的显卡分为专业卡和游戏卡两大类．某工厂有12条生产线，用于生产这两种显卡，每条生产线每年可以生产6万片专业卡或者4万片游戏卡．这些生产线全部投入生产，一年下来一共生产了62万片显卡． (1)该工厂生产的专业卡和游戏卡分别是多少万片？ (2)现工厂将这62万片显卡进行包装，工厂先按原来的速度包装了6万片，之后提高了包装效率，每月的包装量比原来增加了，结果比原定时间提前了3个月完成任务．求工厂原来每月能包装多少万片显卡？ 9．水晶糕是我市特色美食，游客常选．水晶糕店有A，B两款水晶糕，其中A款每杯售价比B款每杯售价多2元，花费80元购得A款水晶糕的杯数与花费60元购得B款水晶糕的杯数相同． (1)求A，B两款水晶糕的每杯售价． (2)一个旅行团中，有男游客5人，女游客40人．每位游客都从A，B两款水晶糕中选购一杯（每人只买一杯），则全团购买A款水晶糕的费用是购买B款水晶糕的费用的2倍． ①分析：为厘清数量关系，可用列表法．设这一旅游团中，男游客购买了A款水晶糕杯，女游客购买了A款水晶糕杯，请填写表格： A款 B款 杯数 购买费用 杯数 购买费用 男游客 女游客 ②根据表格，列出方程，求这一个旅行团中，购买A款水晶糕的总杯数． (3)下一个旅行团每人也购买一杯水晶糕，其中男游客购买两款水晶糕的总费用是106元，女游客购买两款水晶糕的总费用是136元．已知该旅行团中，女游客购买A，B两款水晶糕的杯数，均多于男游客，问：该团中，女游客购买B款水晶糕的杯数比男游客购买B款水晶糕的杯数多几杯？ 10．素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 11．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 12．列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 13．元宵节长泰区益宏广场举办文化嘉年华活动，小明一家从家出发去活动现场，导航显示有两个方案可供选择，求方案二的平均车速． 方案一 方案二 路程 全程千米 全程千米 优缺点分析 距离短，但交通比较拥堵，用时长 距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟 14．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $