专题05 分式方程的含参问题（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题05 分式方程的含参问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知分式方程的解或同解求参数 题型二、已知分式方程解的范围求参数范围 题型三、已知分式方程无解求参数 题型四、已知分式方程有增根求参数 题型五、已知分式方程的整数解个数求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式方程含参数问题是初中代数的高频易错点，所有题型均围绕方程的解、解的范围、无解与增根、整数解个数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去分母后必须验根，最简公分母不为零；二是无解与增根并不等同，须分别讨论，不能互相替代。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知分式方程的解或同解求参数 题型模版 1.特征：给出方程的一个具体解，或两个方程同解、有公共解，含参系数待定，求参数的值；所求的解可能使分母为零，须警惕。 2.方法：把已知解直接代入原方程即可，也可先去分母化为整式方程再代入，求出参数；同解问题先解不含参的方程，把所得解代入含参方程；参数求出后代回原方程验根，确认最简公分母不为零。 【例1】若分式方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入原分式方程，转化为关于的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入原方程，得， 解得. 【例2】______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 【变式1-1】若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴， 故选：． 【变式1-2】当______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先把代入方程，求出的值，然后检验即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴． 【变式1-3】已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法和同解方程的应用，掌握解分式方程的步骤，以及利用同解建立等式求参数是解题的关键． 先分别求解两个分式方程，得到它们的解，再根据解相同的条件建立关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：解分式方程，得． 解分式方程，得． 检验：当时，，， 是原方程的有效解． 它们的解相同， ， 解得． 当时，第一个方程为 检验：当时，， 是该方程的解，该解与第二个方程的解相同， 故符合题意． 题型二、已知分式方程解的范围求参数范围 题型模版 1.特征：已知方程的解为正数、负数、大于某个数或落在某区间，含参系数待定，求参数的取值范围；范围条件常与分母约束并存。 2.方法：先去分母，解出用参数表示的解，再按“解的范围”列不等式组；同时加列最简公分母不为零的约束，剔除使分母为零的参数值，最后对两组条件取交集。 【例3】若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围． 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 【例4】已知分式方程的解x满足，m的取值范围______． 【答案】且 【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：分式方程的解为：， ∵分式方程有可能产生增根1或， ∴且， ∴且， ∵分式方程的解x满足， ∴， 解得：， 综上，m的取值范围为：且． 【变式2-1】已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 【变式2-2】已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求解分式方程得到关于的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 【变式2-3】已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 【答案】且 【详解】解：去分母得， ， ∵关于x的方程解为正数， ，， ，且， 且． 题型三、已知分式方程无解求参数 题型模版 1.特征：方程在给定条件下没有解，含参系数待定，求参数的值；无解包含去分母后整式方程本身无解，以及整式方程的解恰为增根两种情形。 2.方法：先化为整式方程，再分两种情况处理：整式方程无解时，令其未知数系数为零且常数项不为零；解为增根时，把使分母为零的增根代入整式方程求参数；两类结果合并即为答案。 【例5】若关于x的分式方程有增根，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先去分母化为一元整式方程，再根据增根的定义求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入上述整式方程，得， 化简得， 解得． 【例6】若关于的分式方程 无解，则 ■ 的值为 __________．（注：■代表被墨迹遮挡的常数） 【答案】 2 【分析】将原分式方程的分母统一，去分母转化为整式方程，结合分式方程增根的条件（使原分母为0的），代入求解被遮挡的常数． 【详解】解：设被墨迹遮挡的常数为，则原方程为． ∵ . ∴ 原方程可变形为． ∵ 分式方程的分母不能为0． ∴ 原方程可能的增根满足，即． 方程两边同时乘以最简公分母（），去分母得 ． 整理得整式方程的解为． ∵ 该整式方程为一元一次方程，未知数的系数为1，不存在整式方程本身无解的情况． ∴ 原方程无解等价于整式方程的解为原方程的增根． 即． 【变式3-1】关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】分式方程无解分两类：去分母后的整式方程无解，或整式方程的解为原方程的增根. 本题整式方程为一元一次方程必有解，只需考虑增根情况． 【详解】解：方程两边同乘（），得， 整理得，即， 原分式方程无解， 是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 【变式3-2】若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程无解的本质是产生增根或去分母后的整式方程无解，本题中整式方程有解，故存在增根，增根会使原分式方程的分母为0，先确定增根的值，再代入去分母后的整式方程即可求出n的值. 【详解】解：若分式方程无解，则方程存在增根， 令原方程分母，得增根， 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得 ， ∵ 原方程无解， ∴ 是上述整式方程的根， 将代入得， 得 ， 解得 . 【变式3-3】题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（    ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】先求解原分式方程，再根据分式方程无解分两种情况讨论，进而判断即可． 【详解】解：去分母得， 合并同类项得． 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解． ∵，即时，整式方程无解， ∴原分式方程无解． ②整式方程的解为增根． 令，得增根． 当时，． ∵为增根， ∴， 解得． 综上，的值为或，两人的答案合起来才对． 题型四、已知分式方程有增根求参数 题型模版 1.特征：方程去分母后产生了使最简公分母为零的根，即增根，题目给出“有增根”的条件，求参数的值。 2.方法：先令最简公分母为零，求出所有可能的增根；再把每个增根代入去分母后的整式方程，解出对应的参数；有多个增根时逐一代入，所得参数值全部保留，不可只取其一。 【例7】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 【例8】若分式方程有增根，则_______． 【答案】1 【分析】先确定分式方程的最简公分母，令最简公分母为确定增根，将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：∵分式方程的最简公分母为，且分式方程有增根， ∴，解得：，即增根为， 原方程变形为， 去分母得：， 把代入整式方程得：，即， 解得：． 【变式4-1】若关于的分式方程有增根，则增根可能是（     ） A．2 B． C．或3 D．2或 【答案】D 【分析】根据分式方程的增根是使分式方程分母为零的根，先找出分母为零的x值，再结合化简后的整式方程验证对应m是否存在，即可得到结论． 【详解】解：∵原分式方程的分母为，令，得或，因此可能的增根为或， 将原方程两边同乘去分母， 得：， 化简得：，整理得， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， ∴增根可能是或． 【变式4-2】解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】A 【分析】先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘去分母，得：， 将增根代入整式方程：， 即，解得． 【变式4-3】已知关于x的方程有增根，则______． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得 ， 方程两边同乘去分母得 ， 整理得， 把代入得， 解得． 题型五、已知分式方程的整数解个数求参数 题型模版 1.特征：方程的解限定为正整数或整数，且解的个数为指定值，含参系数待定，求满足条件的参数取值集合。 2.方法：先解出用参数表示的解，把参数从分式中分离，整理成“整数＋分式”的形式；再由整除性列举分母的因数，逐一确定参数，最后剔除使解为增根或分母为零的值。 【例9】已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 【例10】若关于的分式方程有正整数解，则整数为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， 又∵x为正整数 ∴或， 故答案为：或． 【变式5-1】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 【变式5-2】关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，根据分式方程有解可知，结合方程有整数解、为整数，求出所有符合条件的，再计算的和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， 当，即时，方程无解，不符合题意； 当时，解得， ∵分式方程有整数解，且分母不为零，即， ∴，即，且为的整数约数， ∴的可能取值为， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所有符合条件的整数为，其和为． 【变式5-3】若关于的分式方程有整数解，求整数的值． 【答案】2或4或1或5或6或或9 【分析】先解原方程得到，根据原方程不能有增根得到且，则可推出；再由得到为整数，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 方程两边乘，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 该分式方程有整数解， ∴，即 ∴； ∵该分式方程不能有增根， ∴且， ∴且， ∴； ，为整数，且为整数， ∴为整数， 或或或， 或4或1或5或6或或9． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当____________时，方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】先求得的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解与方程的解相同， 把代入， 得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 当时，方程的解与方程的解相同， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要验根． 2．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 3．已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】此题考查根据分式方程的解求参数，先去分母解方程求出得，根据分式方程的解为负数，得到，且，，即可求出答案． 【详解】解：原式去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且，， ∴且， 故答案为：且． 4．若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据分式方程的解为非负整数以及分母不为0得到且，据此求出符合题意的m的值，再求和即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数，且， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4， ∵， ∴所有符合条件的正整数m的和为， 故答案为：． 5．若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或1 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，结合分式方程无解的两类情形（整式方程无实根、整式方程的解为原方程的增根）计算对应值． 【详解】解：∵ 原分式方程的分母不能为0， ∴ 原方程的隐含取值限制为． 将原方程两边同乘（满足）去分母，得 整理得． 分两种情况讨论方程无解的条件： 当，即时，整式方程变为，无实数解，此时原分式方程无解． 当，即时，解得整式方程的解为． ∵ 原分式方程无解． ∴ 该解为原方程的增根，即． 代入得． 解得． 经检验，时，会使原方程分母为0，是增根，原方程无解． 综上，满足条件的值为或1． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为______________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的最简公分母，因为分式方程有增根的前提是最简公分母为0，所以先令最简公分母等于0，求出增根的可能值，将分式方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，因为增根是去分母后整式方程的根，所以把求得的增根代入整式方程，求解关于m的方程，即可得到m的取值． 【详解】解：原方程的分母为和，令分母为，即，解得， 即该方程的增根只能是， 解分式方程：两边同时乘以， 得： ， 将增根代入上述整式方程： ， 解得． 7．若关于的分式方程有增根，则_______． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义得到使分母为的根，再将分式方程化为整式方程，进而求出参数的值． 【详解】解：令，得增根， 方程两边同乘最简公分母得：， 将代入，得， ， 验证：当时，原方程为， 去分母得， 解得， 让分母，是增根，符合题意． 8．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 9．已知，若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是___________． 【答案】2或6 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法，分式方程的增根进行解答即可． 【详解】解：关于的分式方程两边都乘以得， ， 解得， 而分式方程的增根为， 当时，， 又因为，若关于的分式方程有正整数解， 所以或， 故答案为：2或6 10．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 【答案】 【分析】根据新运算法则得到分式方程，去分母化简求解得，再根据分式方程有增根，得到，即可得解． 【详解】解：由得，， 整理得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 解得：． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 【答案】9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 12．已知关于的方程：，若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】或 【分析】先按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出，再根据方程的解为整数得到是整数，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为1得：， ∵方程的解为整数， ∴是整数， 又∵分式要有意义， ∴， ∴，即 ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确求出是解题的关键． 13．已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验． 【详解】解：在方程的两边同乘，可得：． 解得． 经检验，是方程的解． 把代入方程，得：． 解得． 经检验，是方程的解． ∴的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式方程的含参问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知分式方程的解或同解求参数 题型二、已知分式方程解的范围求参数范围 题型三、已知分式方程无解求参数 题型四、已知分式方程有增根求参数 题型五、已知分式方程的整数解个数求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分式方程含参数问题是初中代数的高频易错点，所有题型均围绕方程的解、解的范围、无解与增根、整数解个数四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是去分母后必须验根，最简公分母不为零；二是无解与增根并不等同，须分别讨论，不能互相替代。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知分式方程的解或同解求参数 题型模版 1.特征：给出方程的一个具体解，或两个方程同解、有公共解，含参系数待定，求参数的值；所求的解可能使分母为零，须警惕。 2.方法：把已知解直接代入原方程即可，也可先去分母化为整式方程再代入，求出参数；同解问题先解不含参的方程，把所得解代入含参方程；参数求出后代回原方程验根，确认最简公分母不为零。 【例1】若分式方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】______时，关于的方程的解为． 【变式1-1】若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】当______时，关于的方程的解为． 【变式1-3】已知关于的分式方程的解与分式方程的解相同，求的值． 题型二、已知分式方程解的范围求参数范围 题型模版 1.特征：已知方程的解为正数、负数、大于某个数或落在某区间，含参系数待定，求参数的取值范围；范围条件常与分母约束并存。 2.方法：先去分母，解出用参数表示的解，再按“解的范围”列不等式组；同时加列最简公分母不为零的约束，剔除使分母为零的参数值，最后对两组条件取交集。 【例3】若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【例4】已知分式方程的解x满足，m的取值范围______． 【变式2-1】已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【变式2-2】已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【变式2-3】已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 题型三、已知分式方程无解求参数 题型模版 1.特征：方程在给定条件下没有解，含参系数待定，求参数的值；无解包含去分母后整式方程本身无解，以及整式方程的解恰为增根两种情形。 2.方法：先化为整式方程，再分两种情况处理：整式方程无解时，令其未知数系数为零且常数项不为零；解为增根时，把使分母为零的增根代入整式方程求参数；两类结果合并即为答案。 【例5】若关于x的分式方程有增根，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】若关于的分式方程 无解，则 ■ 的值为 __________．（注：■代表被墨迹遮挡的常数） 【变式3-1】关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【变式3-2】若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（    ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 题型四、已知分式方程有增根求参数 题型模版 1.特征：方程去分母后产生了使最简公分母为零的根，即增根，题目给出“有增根”的条件，求参数的值。 2.方法：先令最简公分母为零，求出所有可能的增根；再把每个增根代入去分母后的整式方程，解出对应的参数；有多个增根时逐一代入，所得参数值全部保留，不可只取其一。 【例7】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【例8】若分式方程有增根，则_______． 【变式4-1】若关于的分式方程有增根，则增根可能是（     ） A．2 B． C．或3 D．2或 【变式4-2】解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2或 【变式4-3】已知关于x的方程有增根，则______． 题型五、已知分式方程的整数解个数求参数 题型模版 1.特征：方程的解限定为正整数或整数，且解的个数为指定值，含参系数待定，求满足条件的参数取值集合。 2.方法：先解出用参数表示的解，把参数从分式中分离，整理成“整数＋分式”的形式；再由整除性列举分母的因数，逐一确定参数，最后剔除使解为增根或分母为零的值。 【例9】已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【例10】若关于的分式方程有正整数解，则整数为______． 【变式5-1】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【变式5-2】关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【变式5-3】若关于的分式方程有整数解，求整数的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．当____________时，方程的解与方程的解相同． 2．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为_______． 4．若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为______． 5．若关于的分式方程无解，则的值为________． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为______________． 7．若关于的分式方程有增根，则_______． 8．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 9．已知，若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是___________． 10．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 12．已知关于的方程：，若方程的解为整数，求整数的值． 13．已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $