专题07 分式、分式方程中的规律与新定义题型（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册
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内容正文：
专题07 分式、分式方程中的规律与新定义题型
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、分式中的规律探究问题
题型二、分式方程中的规律探究问题
题型三、分式中的新定义问题
题型四、分式方程中的新定义问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
分式与分式方程中的规律探究和新定义问题是初中代数的创新题型，所有题型均围绕结构观察、规律归纳、定义转化、结论验证四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分式有意义的前提是分母不为零，二是新定义必须原样照搬，不得自行引申或改写规则。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、分式中的规律探究问题
题型模版
1.特征：给出一组分式或一列分式的算式，要求发现分子、分母及符号的变化规律，写出第n个式子或求其中某一项的值。
2.方法：先逐项比对分子与分母的结构，把各项拆成“系数＋字母幂”或含序号n的表达式；由此归纳出第n项的通式，注意符号随奇偶变化；最后用特殊项回代，验证通式是否与原式一致。
【例1】已知，，，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】对于实数，在它的允许取值范围内，经过第次变换可得，经过第次变换可得，经过第次变换可得，…，以此类推．当时，________．
【变式1-1】在计算分式的值时，若分别取，求所得各值之和__________．
【变式1-2】在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ）
A． B．2026 C．2027 D．
【变式1-3】按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________．
题型二、分式方程中的规律探究问题
题型模版
1.特征：给出若干个结构相似的分式方程及其解，要求归纳解的共同规律，写出第n个方程的解，或据此求含参数的值。
2.方法：先求出前几个方程的解并列表对照，找出“解与方程序号”的对应关系；据此写出第n个方程解的通式，再用代入法验证；涉及参数时把通式代入，按分母不为零筛选。
【例3】观察下列各式：；；；
请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程：
．该方程的解是____．
【例4】观察：，，，…
依据上述规律，解决下列问题：
(1)计算：；
(2)解方程：．
【变式2-1】下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________．
【变式2-2】如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为__________．
【变式2-3】根据发现的规律回答问题
(1)解下列方程
的解为_____；
的解为_____；
的解为_____；
的解为_____；
(2)根据上述规律和形式继续写出：
________________；_____________；
(3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程．
题型三、分式中的新定义问题
题型模版
1.特征：题目给出新的运算符号、运算法则或新的分式概念，如“新分式”“关联分式”，要求按定义进行计算、化简或判断真假。
2.方法：先把新定义逐字翻译成含字母的等式，明确其中的自变量与对应法则；再照定义原样代入计算，不擅自约分、不改变运算顺序；结果代回验证，确认每一步都在定义允许的范围内。
【例5】对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
【例6】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，．
(1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号）
(2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值．
【变式3-1】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______．
【变式3-2】定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数．
(1)“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由；
(2)求分式所有的巧数；
(3)对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数．
【变式3-3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①； ②； ③；
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
题型四、分式方程中的新定义问题
题型模版
1.特征：以新定义的运算或关系构造分式方程，如规定“a※b＝……”，要求解按此定义列出的方程，或判断某个数是否为该方程的解。
2.方法：先用新定义把方程改写成普通分式方程，再按常规步骤去分母求解；解出后必须验根，排除使原分式分母为零的值；若定义中含参数，还须检验参数取值是否满足定义本身的前提。
【例7】定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________．
【例8】新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则 ， ；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值；
(3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值．
【变式4-1】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式4-2】新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母）
A： B：
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值．
【变式4-3】新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________．
2．对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ．
3．观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式……
按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）．
4．观察下列等式：
；；；
可得：
(1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果）；
(2)利用上述猜想计算：；
(3)探究并计算：．
5．观察下列各式：；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：
(1)________；
(2)请你按利用发现的规律计算：；
(3)利用上面规律解方程：．
6．观察下面的变化规律，解答下列问题：
．
(1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)再探索上述规律并计算：．
7．根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求：
(1)；
(2)仿照上面运算将拆项；
(3)灵活利用规律解方程：．
8．我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”．
(1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”；
(2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
9．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”．
(1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
(2)分式的“可存异分式”是____________；
(3)已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A；
②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值．
10．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”．
(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）；
① ② ③
(2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
(3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值．
11．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
12．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
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专题07 分式、分式方程中的规律与新定义题型
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解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、分式中的规律探究问题
题型二、分式方程中的规律探究问题
题型三、分式中的新定义问题
题型四、分式方程中的新定义问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
分式与分式方程中的规律探究和新定义问题是初中代数的创新题型，所有题型均围绕结构观察、规律归纳、定义转化、结论验证四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分式有意义的前提是分母不为零，二是新定义必须原样照搬，不得自行引申或改写规则。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、分式中的规律探究问题
题型模版
1.特征：给出一组分式或一列分式的算式，要求发现分子、分母及符号的变化规律，写出第n个式子或求其中某一项的值。
2.方法：先逐项比对分子与分母的结构，把各项拆成“系数＋字母幂”或含序号n的表达式；由此归纳出第n项的通式，注意符号随奇偶变化；最后用特殊项回代，验证通式是否与原式一致。
【例1】已知，，，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入计算前几项的值，找到序列的循环周期，结合余数求解第2026项．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴，
∴，
……，
∴ 该序列每3项为一个循环，依次为，，，
∵ ，
∴ ．
【例2】对于实数，在它的允许取值范围内，经过第次变换可得，经过第次变换可得，经过第次变换可得，…，以此类推．当时，________．
【答案】
【分析】按变换规则计算前几次结果，找出循环周期，再根据总项数计算总和即可．
【详解】解：当时，，，，
因此结果每个数为一个循环周期，一个周期内的和为，
从到总共有项，
，即个完整周期，剩余项为和，
因此总和为：．
【变式1-1】在计算分式的值时，若分别取，求所得各值之和__________．
【答案】
【分析】先推导互为倒数的两个对应的分式值之和为，再计算剩余未配对对应的结果之和，即可得到最终总和．
【详解】解：当时，，
当时，，
，
即每对互为倒数的对应的分式值之和为；
题目中与，与，，与共对互为倒数，所有配对的结果之和为，
剩余未配对的为，，，分别计算：
当时，，两个的结果和为；
当时，，
因此所有结果相加得总和为．
【变式1-2】在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（ ）
A． B．2026 C．2027 D．
【答案】A
【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可．
【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，，
∴若x分别取，所得结果相加之和等于，
当时，，
∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于．
【变式1-3】按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________．
【答案】
【分析】根据题干中的分式总结规律即可．
【详解】解：由题可得，符号规律为：奇数项为负、偶数项为正，符号可表示为；
分子的规律为：的指数是连续奇数，可表示为，分子为；
分母规律为：分母恒含，系数依次是，因此分母可表示为；
∴第n个分式是，
则第10个分式是．
题型二、分式方程中的规律探究问题
题型模版
1.特征：给出若干个结构相似的分式方程及其解，要求归纳解的共同规律，写出第n个方程的解，或据此求含参数的值。
2.方法：先求出前几个方程的解并列表对照，找出“解与方程序号”的对应关系；据此写出第n个方程解的通式，再用代入法验证；涉及参数时把通式代入，按分母不为零筛选。
【例3】观察下列各式：；；；
请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程：
．该方程的解是____．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类，解题关键是找出已知条件中各式的规律，熟练掌握解分式方程的一般步骤．根据已知条件中的等式，找出规律，方程两边同时乘2，然后按照规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x,并进行检验即可．
【详解】解：；
；
；
；
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【例4】观察：，，，…
依据上述规律，解决下列问题：
(1)计算：；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据题意可得，据此把所求式子裂项求解即可；
（2）可证明，则可把原方程变形为，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴
，
=
=
=；
（2）解：，
∵，
∴，
整理，得，
即，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
【变式2-1】下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________．
【答案】11或12
【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可．
【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为，
其解为或．
对于方程 ，令，则．
代入原方程得：，整理得：，
此方程形式与已知规律一致，
故其解为或．
∴ 或，
∴或．
∵有一个解为，
∴或，解得或；
故答案为：11或12．
【变式2-2】如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为__________．
【答案】4047
【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出，代入到方程中，再利用所得规律化简即可．
【详解】解：由图形知，，，，
，
可化为：，
，
，
解得：或0（不合题意，舍去），
故答案为：4047．
【变式2-3】根据发现的规律回答问题
(1)解下列方程
的解为_____；
的解为_____；
的解为_____；
的解为_____；
(2)根据上述规律和形式继续写出：
________________；_____________；
(3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程．
【答案】(1)；；；；
(2)的解为；的解为；
(3)第个（为正整数）方程为解为，
，
经检验：是原方程的解，
∴原分式方程的解为：．
【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可；
（）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可；
（）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：；
，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：；
，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：；
，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：；
（2）解：根据上述规律和形式可得
，
经检验：是原方程的解，
故答案为：的解为；
，
经检验：是原方程的解，
故答案为：的解为；
（3）略
题型三、分式中的新定义问题
题型模版
1.特征：题目给出新的运算符号、运算法则或新的分式概念，如“新分式”“关联分式”，要求按定义进行计算、化简或判断真假。
2.方法：先把新定义逐字翻译成含字母的等式，明确其中的自变量与对应法则；再照定义原样代入计算，不擅自约分、不改变运算顺序；结果代回验证，确认每一步都在定义允许的范围内。
【例5】对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
【答案】
【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可．
【详解】解：根据新运算定义可得：，
【例6】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，．
(1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号）
(2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值．
【答案】(1)①③④；③；①④
(2)符合条件的整数的值是0，1，，2
【分析】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可；
（2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解．
【详解】（1）解：式子：①；②；③；④．
其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④；
（2）解：．
∵分式的值为整数，为整数，
，均为整数，
或或或，
又∵为奇数
∴符合条件的整数的值是0，1，，2．
【变式3-1】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______．
【答案】0、2、3
【分析】由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的约数，从而可得答案．
【详解】解：根据“雅中式”的定义，可得，
即，
因式分解得，对等式左边通分得：
，
因此，
展开计算得：
，
因此，
分式有意义，则，即，约分可得，
因为为整数，的值为整数，所以是的约数，即，
解得或或或，
又因为分式有意义需满足，，即且，
故舍去，
因此所有符合条件的的值为0、2、3．
【变式3-2】定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数．
(1)“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由；
(2)求分式所有的巧数；
(3)对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数．
【答案】(1)正确，把代入，得，是整数，所以是分式的巧数
(2)，，，是分式的巧数
(3)分式的巧数为，
【分析】（1）将代入分式计算出结果为整数，结合巧数定义即可判断说法正确；
（2）根据分式值为整数推出分母是分子的因数，找出的所有整数因数，依次算出对应的值即为全部巧数；
（3）先对分式因式分解约分并确定的取值限制，再拆分变形分式，根据分式值为整数得到是1的因数，求出对应值并检验，即可得到该分式所有巧数．
【详解】（1）略
（2）解：∵分式值为整数，
∴是的因数，
∴，，则的值为，，，，
∴，，，是分式的巧数；
（3）解：由题意得：，且且，
又∵，
∵的值为整数，
∴为整数，则是的因数，
∴，
∴或，
∴分式的巧数为，．
【变式3-3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①； ②； ③；
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
【答案】(1)①②③
(2)
(3)整数的值为或或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可；
（2）根据，利用完全平方公式进行化简即可；
（3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
则属于“和谐分式”的是①②③．
（2）解：
．
（3）解：∵为整数，
∴也为整数，
由（2）已得：，
要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数，
∴所有可能的值为，，，，
∴所有可能的值为，，，，
即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数．
题型四、分式方程中的新定义问题
题型模版
1.特征：以新定义的运算或关系构造分式方程，如规定“a※b＝……”，要求解按此定义列出的方程，或判断某个数是否为该方程的解。
2.方法：先用新定义把方程改写成普通分式方程，再按常规步骤去分母求解；解出后必须验根，排除使原分式分母为零的值；若定义中含参数，还须检验参数取值是否满足定义本身的前提。
【例7】定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________．
【答案】2或4/4或2
【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
，
，
，
整理得：，
整理得：，
关于x的方程无解，
当时，原方程无解，
即，
当，时是增根，原方程无解，
即或，
即，
综上实数k的值为2或4．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
【例8】新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则 ， ；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值；
(3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值．
【答案】(1)，（顺序可互换）
(2)
(3)
【分析】（1）令两数之和等于，两数之积等于15即可；
（2）根据定义得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形计算所求代数式；
（3）先将原方程变形凑出十字分式方程的形式，得到，的表达式，代入所求式子约分化简得到结果．
【详解】（1）解：为“十字分式方程”，可化为，
，．（顺序可互换）
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，，
；
（3）解：，
，
，
，且，
，
，，
，，
．
【变式4-1】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵无解，
∴或，
当，，
当，即，将代入，解得：，
∴当无解，则的值为或．
∴根据选项，故选：A．
【变式4-2】新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母）
A： B：
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)A
(2)
(3)1．
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案；
（2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案；
（3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当时，分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
（2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得，
，
解得．
（3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
当时，解得，
将化简得，
，
解得，
关于x的方程，x有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（舍去）或（舍去），
，
．
【变式4-3】新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．
(3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小．
【答案】(1)×，√
(2)有可能，
(3)
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“友好数对”定义分别判断即可；
（2）根据“友好数对”定义计算即可；
（3）根据“友好数对”定义计算即可．
【详解】（1）解：关于x的分式方程，
∵不是方程的解，
∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”；
∵是方程的解，
∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”；
故答案为：×，√；
（2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下：
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”；
（3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”，
∴是关于x的分式方程的解，
∴，
∴，
即，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________．
【答案】4051
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴
2．对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ．
【答案】3
【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果．
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
1.当时，由定义得：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵，符合条件，
故此解有效；
2.当时，由定义得：
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
∵，不符合的条件，
故此解舍去．
综上，x的值为3．
【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键．
3．观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式……
按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）．
【答案】
【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式
【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为；
第2个等式的分母为，拆分形式为；
第3个等式的分母为，拆分形式为；
以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）．
4．观察下列等式：
；；；
可得：
(1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果）；
(2)利用上述猜想计算：；
(3)探究并计算：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）先把所求式子裂项，然后计算求解即可；
（3）先把所求式子裂项，然后计算求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知，；
（2）解：
；
（3）解：
．
5．观察下列各式：；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：
(1)________；
(2)请你按利用发现的规律计算：；
(3)利用上面规律解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类．
（1）根据已知条件中的等式，找出规律即可；
（2）按照（1）中的规律进行计算即可；
（3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解是．
6．观察下面的变化规律，解答下列问题：
．
(1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)再探索上述规律并计算：．
【答案】(1)
解：
验证：右边
左边，
∴猜想成立；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解分式方程；
（1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解；
（2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可；
（3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
，
∴，
去分母得：，
解得：．
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为；
（3）解：
．
7．根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求：
(1)；
(2)仿照上面运算将拆项；
(3)灵活利用规律解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项．
（1）利用计算即可；
（2）先计算，再根据求解即可；
（3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：
，
，
，
，
解得：，经检验是原方程的解，
∴．
8．我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”．
(1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”；
(2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
【答案】(1)不是的“友好分式”，计算如下：
，
∵，
∴C不是D的“友好分式”．
(2)，所有符合条件的的值之和为
【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断；
（2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵P是Q的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，化简得：，
∴，
∵有意义，
∴，
∵是整数，
∴的值为、，
∴或2或或3，
∵，
∴或2或3，
∴所有符合条件的的值之和为．
9．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”．
(1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
(2)分式的“可存异分式”是____________；
(3)已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A；
②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)①；②x的值是1，3，．
【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可；
（2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可；
（3）①由题意易得，然后进行求解即可；
②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴分式是分式的“可存异分式”；
（2）解：设分式的“可存异分式”是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴分式的“可存异分式”是；
（3）解：①由条件可知，
，
；
②，且A为正整数，
∴x为整数，且是3的约数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴x的值是1，3，．
10．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”．
(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）；
① ② ③
(2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
(3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值．
【答案】(1)①③；
(2)
为“勤业式”，理由如下：
∵，
∴，
∴为“勤业式”；
(3)x的值为0或1或．
【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴为“求真式”，故①符合题意，
∵
∴为“勤业式”， 故②不符合题意，
∵，
∴即，
∴为“求真式”， 故③符合题意．
故答案为：①③；
（2）略
（3）解：∵，，且x为整数，
∴
∵为“至善式”，
∴的值为整数，即为整数，
∴为整数，
∴或或或，
解得或（舍去）或或，
∴x的值为0或1或．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键．
11．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
【详解】（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．
12．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)
解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=
解分式方程，解得：x=
检验：当x=时，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程无解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程不是“相似方程”．
(2)m=2或3
【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可．
（2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值．
【详解】（1）略
（2）解：由题意，两个方程有相同的整数解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①当m－1=0时，方程无解；
②当m－1≠0， 即m≠1时， ，即x=4－
∵x，y均为整数
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整数，
∴m=2或3
综上所述，m=2或3．
【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
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