专题03 反比例函数与几何综合（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

专题03 反比例函数与几何综合 常考题型·精准突破 ◆题型1 K的几何意义(一)单反比例函数（高频） 1．C 【分析】设，则，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数第一象限内的图象上， ∴设， ∵垂直x轴， ∴， ∴， 解得． 2．C 【分析】根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算． 【详解】解：根据反比例系数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 3．B 【分析】设正方形边长，利用面积割补法及反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， 点，在反比例函数图像上， ， 且，，， ， ， ， ，即（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 正方形的面积为． 4．(1)； (2) 【分析】（1）由的面积可得的值；由的值确定出点的坐标，将点的坐标代入反比例解析式中，即可求出的值； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求解直线的函数解析式，令可得点的坐标，即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵点，，的面积为， ∴， ∴， ∴． 将点代入，得； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为． 将点代入，得， ∴． 设直线的函数解析式为， 将点、代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 当时，得， ∴， ∴． 5．C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． ◆题型2 K的几何意义(二)双反比例函数（高频） 6．C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 7．C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 8．C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 9．(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． ◆题型3反比例函数与横平竖直线（高频） 10．D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设，则，进一步求出，再由进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点C在y轴上， ∴， 故选：D． 11．D 【分析】根据和反比例函数比例系数的几何意义即可求出． 【详解】∵直线l与x轴平行， ∴， ． 又∵，即 ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限． ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解此题的关键． 12．D 【分析】设，，则，利用反比例函数k的几何意义得到，，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算和得到m与n的关系可对③进行判断． 【详解】解：如图，设，，则， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴当，即， ∴m=2n( (舍去)或m=−n， 此时P点为无数个， ∴③正确． 故正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 13．(1)； (2)． 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． ◆题型4 反比例函数与与特殊四边形（难） 14．B 【分析】作于点E，设，根据，建立方程求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点E，设， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即 ∴， ∴ ∴． 15．D 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 16．B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ． 17．B 【分析】设点，，则，根据点，在反比例函数上，推出，，，再根据求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设点，，则， ， ， 点，在反比例函数上， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 18．(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 综合攻坚·知能拔高 1．A 【分析】结合平行四边形的性质求出，即可求解. 【详解】解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 2．D 【分析】连接、，设点C的坐标为，点A的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，即可根据平行四边形的面积列方程求解． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点C 在反比例函数的图像上， 设点C的坐标为， ，， ， 点A在反比例函数的图像上， 设点A的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， 解得：． 3．C 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 4．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 5．C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 6．B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与原点构成的三角形面积等于． 【详解】解：由于A、B均在反比例函数的图象上， 且轴，轴， ，, 故． 7．B 【分析】由平行四边形性质得，，证得，结合及反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，在轴上， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 8．A 【分析】利用线段比例设出边长，结合反比例函数的几何意义，通过割补法求三角形面积，建立关于的方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵， ，，则． 将代入，得． 在上，横坐标为，代入，得， ． 与关于原点对称， ， ． 由割补法可得， ． ， ，解得， ． 9．6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知的面积为，结合图象位于第一象限即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图象位于第一象限， ∴， ∴． 10．6 【分析】由题意，，函数图象在第一象限，可得，因此与的面积都等于，结合两个三角形面积之和为，列出方程即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，轴，轴， ，． ， ， 解得． 11． 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， 又∵B是反比例函数图象上的点，且轴于点C， ∴，解得， ∵该反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴． 12． 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 13． 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再利用反比例函数系数的几何意义列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， ∴． 14． 【分析】连接，根据平行面积转化结合值的几何意义，进行求解即可. 【详解】解：连接，设与轴交于点，如图， ∵轴，P在x轴上，的面积为6， ∴轴，的面积等于的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴. 15． 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 16．(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)6 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）把代入直线的解析式求出，再由求出，最后把代入反比例函数的解析式求； （2）先由直线与两条坐标轴的交点求出、的坐标，再利用矩形的对角线互相平分，由的中点反求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在第一象限，且在的图象上， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴令，得；令，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴对角线与互相平分． 如图，连，设的中点为，则也是的中点． ∵， ∴点的坐标为． ∵是的中点，，设， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 18．(1) (2)将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上 【分析】（1）过点D作轴于点G，证明，得出，求出点D的坐标为，然后代入求出反比例函数解析式即可； （2）过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则，证明，得出，求出点C的坐标为，点P的坐标为，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上． 19．(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 20．(1) (2)的面积不发生变化， 【分析】（1）联立直线与反比例函数，解方程组求出点的坐标，根据线段的比例求解点的坐标，把点的坐标代入反比例函数中即可求解的值； （2）设点的坐标为，再写出， ，用含有的代数式表示出，，即可求解的面积． 【详解】（1）解：令，则， ∴点在第一象限，， 如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即点B的横坐标为3， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：的面积不发生变化，理由如下： 设点的坐标为， 则， ， ∴，， ∴， 即的面积是定值，不发生变化，其面积为． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数与几何综合 常考题型·精准突破 题型1 K的几何意义(一)单反比例函数（高频） 题型2 K的几何意义(二)双反比例函数（高频） 题型3反比例函数与横平竖直线（高频） 题型4 反比例函数与与特殊四边形（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 K的几何意义(一)单反比例函数（高频） 1．反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 2．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点，向两坐标轴作垂线段，已知，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，两个正方形、拼放于直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，已知的面积为，则正方形的面积为（     ） A．1 B． C． D． 4．如图，反比例函数的图象经过点，过点作垂直轴于点，的面积为． (1)求和的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交轴于点，求的面积． ◆题型2 K的几何意义(二)双反比例函数（高频） 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 7．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； ◆题型3反比例函数与横平竖直线（高频） 10．如图，经过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B，C是y轴上一点，连接、．则的值为（    ） A． B．4 C． D．3 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＜0）的图象交于点P和点Q．若△POQ的面积为10，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．﹣10 D．﹣12 12．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y轴，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D． 下面三个结论， ①存在无数个点P使； ②存在无数个点P使； ③存在无数个点P使． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． ◆题型4 反比例函数与与特殊四边形（难） 14．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（     ） A．1 B． C． D．6 15．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 16．如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 18．如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（     ） A．12 B． C．15 D． 2．如图，平行四边形的边在x轴上，点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，若，则k的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 5．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（     ） A． B． C． D．大小关系不能确定 7．如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点上，点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，反比例函数图象交于点D，交于点E，连接并延长，交图象于点F，连接，若，，则k的值等于（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9．如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接，若的面积为3，则k的值为________． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且，）的图象经过点、，轴于点，轴于点，连接、，若与的面积之和为6，则的值为__________． 11．如图，过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，轴于点，的面积为24，则的值为________． 12．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点、点，连接．若轴，则的面积是________． 13．如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为8，则k的值是_______． 14．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 15．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，直接写出的面积． 17．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数()的图象交于点)，矩形的顶点)在第一象限，且在反比例函数图象上． (1)分别求出的值； (2)直接写出点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； 19．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 20．如图（1）直线与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，已知．       (1)求的值； (2)如图（2），点是反比例函数的图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，．随着点的移动，的面积是否会发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的面积． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数与几何综合 常考题型·精准突破 题型1 K的几何意义(一)单反比例函数（高频） 题型2 K的几何意义(二)双反比例函数（高频） 题型3反比例函数与横平竖直线（高频） 题型4 反比例函数与与特殊四边形（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 K的几何意义(一)单反比例函数（高频） 1．反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设，则，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数第一象限内的图象上， ∴设， ∵垂直x轴， ∴， ∴， 解得． 2．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点，向两坐标轴作垂线段，已知，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算． 【详解】解：根据反比例系数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 3．如图，两个正方形、拼放于直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，已知的面积为，则正方形的面积为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形边长，利用面积割补法及反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， 点，在反比例函数图像上， ， 且，，， ， ， ， ，即（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 正方形的面积为． 4．如图，反比例函数的图象经过点，过点作垂直轴于点，的面积为． (1)求和的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交轴于点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的面积可得的值；由的值确定出点的坐标，将点的坐标代入反比例解析式中，即可求出的值； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求解直线的函数解析式，令可得点的坐标，即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵点，，的面积为， ∴， ∴， ∴． 将点代入，得； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为． 将点代入，得， ∴． 设直线的函数解析式为， 将点、代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 当时，得， ∴， ∴． ◆题型2 K的几何意义(二)双反比例函数（高频） 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 6．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 7．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 8．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． ◆题型3反比例函数与横平竖直线（高频） 10．如图，经过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B，C是y轴上一点，连接、．则的值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设，则，进一步求出，再由进行计算求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵点C在y轴上， ∴， 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＜0）的图象交于点P和点Q．若△POQ的面积为10，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．﹣10 D．﹣12 【答案】D 【分析】根据和反比例函数比例系数的几何意义即可求出． 【详解】∵直线l与x轴平行， ∴， ． 又∵，即 ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限． ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解此题的关键． 12．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y轴，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D． 下面三个结论， ①存在无数个点P使； ②存在无数个点P使； ③存在无数个点P使． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】设，，则，利用反比例函数k的几何意义得到，，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算和得到m与n的关系可对③进行判断． 【详解】解：如图，设，，则， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴当，即， ∴m=2n( (舍去)或m=−n， 此时P点为无数个， ∴③正确． 故正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． ◆题型4 反比例函数与与特殊四边形（难） 14．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（     ） A．1 B． C． D．6 【答案】B 【分析】作于点E，设，根据，建立方程求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点E，设， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即 ∴， ∴ ∴． 15．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 16．如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ． 17．如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，，则，根据点，在反比例函数上，推出，，，再根据求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设点，，则， ， ， 点，在反比例函数上， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 18．如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（     ） A．12 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的性质求出，即可求解. 【详解】解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 2．如图，平行四边形的边在x轴上，点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，若，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，设点C的坐标为，点A的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，即可根据平行四边形的面积列方程求解． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点C 在反比例函数的图像上， 设点C的坐标为， ，， ， 点A在反比例函数的图像上， 设点A的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， 解得：． 3．如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 4．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 5．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 6．如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（     ） A． B． C． D．大小关系不能确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与原点构成的三角形面积等于． 【详解】解：由于A、B均在反比例函数的图象上， 且轴，轴， ，, 故． 7．如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由平行四边形性质得，，证得，结合及反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，在轴上， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点上，点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，反比例函数图象交于点D，交于点E，连接并延长，交图象于点F，连接，若，，则k的值等于（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用线段比例设出边长，结合反比例函数的几何意义，通过割补法求三角形面积，建立关于的方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵， ，，则． 将代入，得． 在上，横坐标为，代入，得， ． 与关于原点对称， ， ． 由割补法可得， ． ， ，解得， ． 二、填空题 9．如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接，若的面积为3，则k的值为________． 【答案】6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知的面积为，结合图象位于第一象限即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图象位于第一象限， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且，）的图象经过点、，轴于点，轴于点，连接、，若与的面积之和为6，则的值为__________． 【答案】6 【分析】由题意，，函数图象在第一象限，可得，因此与的面积都等于，结合两个三角形面积之和为，列出方程即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，轴，轴， ，． ， ， 解得． 11．如图，过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，轴于点，的面积为24，则的值为________． 【答案】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， 又∵B是反比例函数图象上的点，且轴于点C， ∴，解得， ∵该反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴． 12．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点、点，连接．若轴，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 13．如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为8，则k的值是_______． 【答案】 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再利用反比例函数系数的几何意义列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， ∴． 14．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据平行面积转化结合值的几何意义，进行求解即可. 【详解】解：连接，设与轴交于点，如图， ∵轴，P在x轴上，的面积为6， ∴轴，的面积等于的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴. 15．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)6 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 17．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数()的图象交于点)，矩形的顶点)在第一象限，且在反比例函数图象上． (1)分别求出的值； (2)直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入直线的解析式求出，再由求出，最后把代入反比例函数的解析式求； （2）先由直线与两条坐标轴的交点求出、的坐标，再利用矩形的对角线互相平分，由的中点反求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在第一象限，且在的图象上， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴令，得；令，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴对角线与互相平分． 如图，连，设的中点为，则也是的中点． ∵， ∴点的坐标为． ∵是的中点，，设， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； 【答案】(1) (2)将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上 【分析】（1）过点D作轴于点G，证明，得出，求出点D的坐标为，然后代入求出反比例函数解析式即可； （2）过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则，证明，得出，求出点C的坐标为，点P的坐标为，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上． 19．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 20．如图（1）直线与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，已知．       (1)求的值； (2)如图（2），点是反比例函数的图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，．随着点的移动，的面积是否会发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的面积． 【答案】(1) (2)的面积不发生变化， 【分析】（1）联立直线与反比例函数，解方程组求出点的坐标，根据线段的比例求解点的坐标，把点的坐标代入反比例函数中即可求解的值； （2）设点的坐标为，再写出， ，用含有的代数式表示出，，即可求解的面积． 【详解】（1）解：令，则， ∴点在第一象限，， 如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即点B的横坐标为3， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：的面积不发生变化，理由如下： 设点的坐标为， 则， ， ∴，， ∴， 即的面积是定值，不发生变化，其面积为． 38 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $