专题02 反比例函数与方程、不等式（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

专题02 反比例函数与方程、不等式 常考题型·精准突破 题型1 反比例函数与方程（高频） 题型2反比例函数与不等式（高频） 题型3反比例函数与整体求值（难） 题型4反比例函数与一次函数（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 反比例函数与方程（高频） 1．若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 2．在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 3．若一次函数y＝mx＋6与反比例函数y＝的图象在第一象限有公共点，则有（    ） A．mn≥－9且m≠0，n＞0 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤0 ◆题型2反比例函数与不等式（高频） 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 6．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． ◆题型3反比例函数与整体求值（难） 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式 的值为(    ) A．3 B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． ◆题型4反比例函数与一次函数综合（重） 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线上的一个动点，连接，已知的面积为12，求点P的坐标． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1) ， ， ； (2)根据图象，写出当时，的取值范围 ； (3)一次函数与轴交于点，则点坐标为 ； (4)分别连结和，求的面积． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值（   ） A． B． C．3 D．6 2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 3．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 5．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点．连接，若，则的值为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 8．设函数与函数的图象的公共点个数为，下列四个结论中正确的是（     ） ①若，则； ②存在实数，使；③若，则 ；④若，则 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 10．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 11．已知函数与的图象交于点，则代数式的值是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则_________． 三、解答题 14．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)已知点是线段上一点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点，若，求点的坐标． 15． 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、． (1)求反比例函数的解析式； (2)若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； (3)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图，当时，写出的范围． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出点坐标； (2)根据图象，当时，直接写出时的取值范围； (3)过线段上的动点，作x轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 18．如图，直线（k为正实数）交x轴于点A，交y轴于点B，直线交y轴于点C，直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)点E的横坐标为________． (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A的坐标． (3)连接、，两线段交于点F，当点F在图象L上时， ①求点F的坐标； ②若过点C的直线与图象L的段有交点，直接写出m的取值范围． 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数与方程、不等式 常考题型·精准突破 ◆题型1 反比例函数与方程（高频） 1．C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解． 【详解】解：因为一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 所以方程无解， 原方程可整理为， 则， 即， 设， 结合函数图象得， 所以四个选项中的C选项符合题意． 故选：C． 2．A 【分析】联立可得，再结合题意得出，，计算即可得出结果． 【详解】解：联立可得， ∵直线与反比例函数的图象有两个公共点， ∴，， 解得：且， ∴实数的取值范围是且． 3．A 【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出mn≥-9，再根据一次函数的定义以及反比例函数在第一象限有图象，即可得出m≠0，n＞0，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形，如下图所示． 将y=mx+6代入中， 得：mx+6=， 整理得：mx2+6x-n=0， ∵二者有交点， ∴Δ=62+4mn≥0， ∴mn≥-9． ∵y=mx+6为一次函数，反比例函数在第一象限有图象， ∴m≠0，n＞0． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式，解题的关键由根的判别式得出关于mn的不等式．解决该题型题目时，画出图形，利用数形结合解决问题是关键． ◆题型2反比例函数与不等式（高频） 4．C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 5．A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 6．B 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，当时，，则此项错误，不符合题意． 7．(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． ◆题型3反比例函数与整体求值（难） 8．A 【分析】根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 9．D 【分析】把点 分别代入 与 中， 得 ， 进而求解即可． 【详解】解：函数与的图象交于点， ，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 10．C 【分析】根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：反比例函数的图象经过两点， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． ◆题型4反比例函数与一次函数综合（重） 11．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出反比例函数图象在一次函数图象的上方部分即可； （3）求出，设，再根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：结合图象，不等式的解集为或； （3）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上的一个动点， ∴设， ∵的面积为12，， ∴， 解得或， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 12．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． (2)或． (3)． 【分析】（1）先把点代入反比例函数的表达式求出，由点在其图象上求出点的坐标，再用待定系数法求一次函数的表达式； （2）以两个交点的横坐标为分界，结合图象判断直线在双曲线上方的部分，并注意时双曲线的另一支； （3）先求直线与轴的交点，再把的面积化为两个以为底的三角形面积之差． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在的图象上， ∴， ∴． ∴． 设一次函数的表达式为． ∵点、都在的图象上， ∴． ∵两式相减得， ∴． ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵直线与双曲线交于、， ∴当时，以与为分界，直线在双曲线上方对应． ∵当时，直线在轴上方，双曲线的一支在第三象限， ∴此时恒成立． ∴不等式的解集为或． （3）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得． ∴． ∵点、、都在直线上，且， ∴点在线段上． ∴． ∴． ∴． 13．(1)2，，3 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出，，，，再把代入即可求出； （2）根据一次函数和反比例函数图象的交点即可得到答案； （3）把代入一次函数解析式即可求出答案； （4）根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到，解得， 则； （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ∴根据图象，当时，的取值范围是或； （3）解：当时，，即点坐标为； （4）解：如图，分别连结和， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴的面积 综合攻坚·知能拔高 1．A 【分析】先根据已知横坐标，代入一次函数求出交点纵坐标，再代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴将代入，得，即交点坐标为， 将代入反比例函数，得， ∴解得． 2．B 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 3．D 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 4．C 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 5．B 【分析】本题考查根据函数图像上点的坐标求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法．根据反比例函数和一次函数交点坐标的性质，得到，，利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴代数式的值是， 故选：． 6．D 【详解】试题分析：根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 7．A 【分析】连接，过点C作轴，由题意可设，则有，把代入反比例函数得：，然后可得，则，进而可得，最后可列方程进行求解． 【详解】解：连接，过点C作轴，如图所示： 由题意可设，则有， ∴把代入反比例函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 把代入反比例函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：． 8．A 【分析】将按和去绝对值，联立一次函数方程，分情况讨论交点个数，逐一判断结论即可． 【详解】解：可化为时，时，函数值恒正， 联立与，分两种情况： 时，方程为（记为方程①）；时，方程为（记为方程②）. ①若： 当时，方程①的判别式，两根之积为，有1个正根，即有1个交点，； 当时，方程②的判别式，两根之积为，有1个负根，即有1个交点，； 当时，，与交于，. 故①正确，符合题意； ②存在实数使： 取，， 方程①：，有1个正根，有1个交点； 方程②：，，两根之和为，两根之积为，有2个负根，有2个交点； 总交点数，故②正确，符合题意； ③若，则： 若： 时，，与最多1个交点，； 时， 若，时，无交点，最多1个交点，， 若，时，无交点，最多1个交点，， 故时，不可能为3，因此时，③正确，符合题意； ④若，则： 当时， 若，则方程②有2个不等负根，需，即； 若，则方程①有2个不等正根，需，即， 综上， 取，，满足，此时，但，与结论矛盾，故④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③． 9．或 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 10． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征，提公因式法分解因式，完全平方公式的应用； 根据一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征可得，，求出，，，然后对所求式子变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：把分别代入与得：，， ∴，， ∴，整理得：， ∴ ， 故答案为：． 12．/ 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 13．/0.48 【分析】过作轴于，则，根据一次函数求出点的坐标，然后结合已知可求出，根据平行线分线段成比例求出，根据勾股定理求出，从而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：过作轴于， ， ， ． 由题意，∵一次函数为（）， ∴当时，，则． ． ． ，则． 的纵坐标为． ∵一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点， 的横坐标为：，则，． ． （负值不合题意，舍去）． 14．(1)， (2) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出． （2）设点纵坐标为，先由一次函数表示横坐标，再由反比例函数表示横坐标，利用列方程求出，进而得到坐标． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴． （2）解：设点纵坐标为， ∵在上， ∴， ∴， ∵轴，在上， ∴， ∴， ∵在线段上，结合图象，，，， ∴， ∴， ， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据点，既在反比例函数的图象上，又在二次函数的图象上，得到，，代入代数式进行求值即可； （3）分和两种情况，利用数形结合的思想求出a的取值范围即可． 【详解】（1）将代入函数得 ∴反比例函数解析式是； （2）∵在反比例函数上， ∴， 又二次函数的图象经过点B， ∴即 ∴； （3）由（1）可得：反比例函数解析式为： 设直线与反比例函数交点分别为C、D， 解，得：或， ∴点，点． ①若，如图1， 当抛物线经过点D时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是； ②若，如图2， 当抛物线经过点C时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是． 综上所述，满足条件的a的范围是或． 16．(1)一次函数的表达式是，反比例函数的表达式是 (2) (3)或 【分析】（1）分别把点坐标代入和中计算出和的值即可； （2）先确定点坐标，然后设直线与轴的交点为， 求得点的坐标，再根据三角形面积公式求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入得，解得； 把代入得， ∴一次函数的表达式是，反比例函数的表达式是； （2）解：联立，解得或， ∴点的坐标为， 设直线与轴的交点为， 把代入得， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，在第二象限，时，的范围为或． 17．(1)，，点 (2)或 (3) 【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数，求出，，再联立两个函数解析式解方程，得到另一交点． （2）不等式就是，结合交点、和的图像，读出的取值范围是或． （3）设点横坐标为，得到、，表示出和，代入列方程求解，得到． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， 解得：． ， 解得：． 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 由 解得，． ． （2）解：， ， ， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ， ， 解得：， ． 18．(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）联立与得，，结合k为正实数，求出点E的横坐标； （2）由直线交y轴于点C确定，由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上，确定，得出，联立与得，确定，根据求出，从而确定反比例函数的解析式和直线，并求出点A的坐标； （3）联立与得，由直线（k为正实数）交x轴于点A，得到；由直线交y轴于点C，得到；由待定系数法得直线解析式为：和直线解析式为：，联立得到交点，将点F的坐标代入，结合k为正实数得到，进而确定点F的坐标；由（1）和（3）①得出，，将这两点分别代入得出m的取值范围． 【详解】（1）解：联立与得，， 整理得， ∵k为正实数， ∴， ∴， 即点E的横坐标为； （2）解：∵直线交y轴于点C， ∴， 由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∴， 联立与得，， 解得， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴反比例函数为，直线， 令直线得，， 解得， ∴； （3）解：①联立与得，， 解得， ∴， ∵直线（k为正实数）交x轴于点A， ∴令直线得，， 解得， ∴， ∵直线交y轴于点C， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入得，， 整理得，， ∵k为正实数， ∴， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 将点和代入得，， 解得， ∴直线解析式为：， 联立和得，， 解得， 将代入得，， ∴； 当点F在图象L上时，将代入得，， 解得，， ∵k为正实数， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∵， ∴，过点C的直线， ∵直线与图象L的段有交点， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； ∴m的取值范围：． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数与方程、不等式 常考题型·精准突破 题型1 反比例函数与方程（高频） 题型2反比例函数与不等式（高频） 题型3反比例函数与整体求值（难） 题型4反比例函数与一次函数（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 反比例函数与方程（高频） 1．若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解． 【详解】解：因为一次函数与反比例函数的图象没有公共点， 所以方程无解， 原方程可整理为， 则， 即， 设， 结合函数图象得， 所以四个选项中的C选项符合题意． 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】联立可得，再结合题意得出，，计算即可得出结果． 【详解】解：联立可得， ∵直线与反比例函数的图象有两个公共点， ∴，， 解得：且， ∴实数的取值范围是且． 3．若一次函数y＝mx＋6与反比例函数y＝的图象在第一象限有公共点，则有（    ） A．mn≥－9且m≠0，n＞0 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤0 【答案】A 【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出mn≥-9，再根据一次函数的定义以及反比例函数在第一象限有图象，即可得出m≠0，n＞0，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形，如下图所示． 将y=mx+6代入中， 得：mx+6=， 整理得：mx2+6x-n=0， ∵二者有交点， ∴Δ=62+4mn≥0， ∴mn≥-9． ∵y=mx+6为一次函数，反比例函数在第一象限有图象， ∴m≠0，n＞0． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式，解题的关键由根的判别式得出关于mn的不等式．解决该题型题目时，画出图形，利用数形结合解决问题是关键． ◆题型2反比例函数与不等式（高频） 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 6．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，当时，，则此项错误，不符合题意． 7．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． ◆题型3反比例函数与整体求值（难） 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式 的值为(    ) A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把点 分别代入 与 中， 得 ， 进而求解即可． 【详解】解：函数与的图象交于点， ，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：反比例函数的图象经过两点， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． ◆题型4反比例函数与一次函数综合（重） 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线上的一个动点，连接，已知的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出反比例函数图象在一次函数图象的上方部分即可； （3）求出，设，再根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：结合图象，不等式的解集为或； （3）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上的一个动点， ∴设， ∵的面积为12，， ∴， 解得或， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． (2)或． (3)． 【分析】（1）先把点代入反比例函数的表达式求出，由点在其图象上求出点的坐标，再用待定系数法求一次函数的表达式； （2）以两个交点的横坐标为分界，结合图象判断直线在双曲线上方的部分，并注意时双曲线的另一支； （3）先求直线与轴的交点，再把的面积化为两个以为底的三角形面积之差． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在的图象上， ∴， ∴． ∴． 设一次函数的表达式为． ∵点、都在的图象上， ∴． ∵两式相减得， ∴． ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵直线与双曲线交于、， ∴当时，以与为分界，直线在双曲线上方对应． ∵当时，直线在轴上方，双曲线的一支在第三象限， ∴此时恒成立． ∴不等式的解集为或． （3）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得． ∴． ∵点、、都在直线上，且， ∴点在线段上． ∴． ∴． ∴． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1) ， ， ； (2)根据图象，写出当时，的取值范围 ； (3)一次函数与轴交于点，则点坐标为 ； (4)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)2，，3 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出，，，，再把代入即可求出； （2）根据一次函数和反比例函数图象的交点即可得到答案； （3）把代入一次函数解析式即可求出答案； （4）根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到，解得， 则； （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ∴根据图象，当时，的取值范围是或； （3）解：当时，，即点坐标为； （4）解：如图，分别连结和， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴的面积 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据已知横坐标，代入一次函数求出交点纵坐标，再代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴将代入，得，即交点坐标为， 将代入反比例函数，得， ∴解得． 2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使成立的取值范围是或， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 3．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 4．在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（     ） A．， B．， C．、同号 D．、异号 【答案】C 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 5．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据函数图像上点的坐标求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法．根据反比例函数和一次函数交点坐标的性质，得到，，利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴代数式的值是， 故选：． 6．（2016湖南省株洲市）已知，如图一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5 【答案】D 【详解】试题分析：根据题意得：当时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选D． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点．连接，若，则的值为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接，过点C作轴，由题意可设，则有，把代入反比例函数得：，然后可得，则，进而可得，最后可列方程进行求解． 【详解】解：连接，过点C作轴，如图所示： 由题意可设，则有， ∴把代入反比例函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 把代入反比例函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：． 8．设函数与函数的图象的公共点个数为，下列四个结论中正确的是（     ） ①若，则； ②存在实数，使；③若，则 ；④若，则 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】将按和去绝对值，联立一次函数方程，分情况讨论交点个数，逐一判断结论即可． 【详解】解：可化为时，时，函数值恒正， 联立与，分两种情况： 时，方程为（记为方程①）；时，方程为（记为方程②）. ①若： 当时，方程①的判别式，两根之积为，有1个正根，即有1个交点，； 当时，方程②的判别式，两根之积为，有1个负根，即有1个交点，； 当时，，与交于，. 故①正确，符合题意； ②存在实数使： 取，， 方程①：，有1个正根，有1个交点； 方程②：，，两根之和为，两根之积为，有2个负根，有2个交点； 总交点数，故②正确，符合题意； ③若，则： 若： 时，，与最多1个交点，； 时， 若，时，无交点，最多1个交点，， 若，时，无交点，最多1个交点，， 故时，不可能为3，因此时，③正确，符合题意； ④若，则： 当时， 若，则方程②有2个不等负根，需，即； 若，则方程①有2个不等正根，需，即， 综上， 取，，满足，此时，但，与结论矛盾，故④错误，不符合题意； 综上，正确的是①②③． 二、填空题 9．已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 10．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 11．已知函数与的图象交于点，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征，提公因式法分解因式，完全平方公式的应用； 根据一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征可得，，求出，，，然后对所求式子变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：把分别代入与得：，， ∴，， ∴，整理得：， ∴ ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则_________． 【答案】/0.48 【分析】过作轴于，则，根据一次函数求出点的坐标，然后结合已知可求出，根据平行线分线段成比例求出，根据勾股定理求出，从而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：过作轴于， ， ， ． 由题意，∵一次函数为（）， ∴当时，，则． ． ． ，则． 的纵坐标为． ∵一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点， 的横坐标为：，则，． ． （负值不合题意，舍去）． 三、解答题 14．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)已知点是线段上一点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出． （2）设点纵坐标为，先由一次函数表示横坐标，再由反比例函数表示横坐标，利用列方程求出，进而得到坐标． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴． （2）解：设点纵坐标为， ∵在上， ∴， ∴， ∵轴，在上， ∴， ∴， ∵在线段上，结合图象，，，， ∴， ∴， ， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15． 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、． (1)求反比例函数的解析式； (2)若二次函数的图象经过点B，求代数式的值； (3)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）根据点，既在反比例函数的图象上，又在二次函数的图象上，得到，，代入代数式进行求值即可； （3）分和两种情况，利用数形结合的思想求出a的取值范围即可． 【详解】（1）将代入函数得 ∴反比例函数解析式是； （2）∵在反比例函数上， ∴， 又二次函数的图象经过点B， ∴即 ∴； （3）由（1）可得：反比例函数解析式为： 设直线与反比例函数交点分别为C、D， 解，得：或， ∴点，点． ①若，如图1， 当抛物线经过点D时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是； ②若，如图2， 当抛物线经过点C时， 有，解得：． ∵越大，抛物线的开口越小， ∴结合图象可得，满足条件的a的范围是． 综上所述，满足条件的a的范围是或． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图，当时，写出的范围． 【答案】(1)一次函数的表达式是，反比例函数的表达式是 (2) (3)或 【分析】（1）分别把点坐标代入和中计算出和的值即可； （2）先确定点坐标，然后设直线与轴的交点为， 求得点的坐标，再根据三角形面积公式求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：把代入得，解得； 把代入得， ∴一次函数的表达式是，反比例函数的表达式是； （2）解：联立，解得或， ∴点的坐标为， 设直线与轴的交点为， 把代入得， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，在第二象限，时，的范围为或． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出点坐标； (2)根据图象，当时，直接写出时的取值范围； (3)过线段上的动点，作x轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，，点 (2)或 (3) 【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数，求出，，再联立两个函数解析式解方程，得到另一交点． （2）不等式就是，结合交点、和的图像，读出的取值范围是或． （3）设点横坐标为，得到、，表示出和，代入列方程求解，得到． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， 解得：． ， 解得：． 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 由 解得，． ． （2）解：， ， ， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ， ， 解得：， ． 18．如图，直线（k为正实数）交x轴于点A，交y轴于点B，直线交y轴于点C，直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)点E的横坐标为________． (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A的坐标． (3)连接、，两线段交于点F，当点F在图象L上时， ①求点F的坐标； ②若过点C的直线与图象L的段有交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）联立与得，，结合k为正实数，求出点E的横坐标； （2）由直线交y轴于点C确定，由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上，确定，得出，联立与得，确定，根据求出，从而确定反比例函数的解析式和直线，并求出点A的坐标； （3）联立与得，由直线（k为正实数）交x轴于点A，得到；由直线交y轴于点C，得到；由待定系数法得直线解析式为：和直线解析式为：，联立得到交点，将点F的坐标代入，结合k为正实数得到，进而确定点F的坐标；由（1）和（3）①得出，，将这两点分别代入得出m的取值范围． 【详解】（1）解：联立与得，， 整理得， ∵k为正实数， ∴， ∴， 即点E的横坐标为； （2）解：∵直线交y轴于点C， ∴， 由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∴， 联立与得，， 解得， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴反比例函数为，直线， 令直线得，， 解得， ∴； （3）解：①联立与得，， 解得， ∴， ∵直线（k为正实数）交x轴于点A， ∴令直线得，， 解得， ∴， ∵直线交y轴于点C， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入得，， 整理得，， ∵k为正实数， ∴， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 将点和代入得，， 解得， ∴直线解析式为：， 联立和得，， 解得， 将代入得，， ∴； 当点F在图象L上时，将代入得，， 解得，， ∵k为正实数， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∵， ∴，过点C的直线， ∵直线与图象L的段有交点， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； ∴m的取值范围：． 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $