专题01 反比例函数的图象和性质（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 ◆题型1 增减性(一) 知横坐标，比纵坐标 1．B 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 2．D 【分析】根据k的符号判断反比例函数图象所在象限，结合点的横坐标符号判断函数值正负． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． ∵点的横坐标， ∴点A在第二象限，． ∵点的横坐标， ∴点B在第四象限，． ∴． 3．C 【分析】由反比例函数的值符号确定图象所在象限与增减性，结合横坐标范围分象限比较值大小. 【详解】解：反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ， 点、在第二象限，点在第四象限． ，，． ， ， ． ◆题型2增减性(二) 知纵坐标，比横坐标 4．C 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴. 5．D 【分析】根据反比例函数的系数符号确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的正负与大小比较横坐标的大小. 【详解】解：∵中，， ∴图象在二、四象限，在各象限内，随的增大而增大， ∵，，， ∴点，在第二象限，点在第四象限， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 6．A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵a是一个正数， ∴，，， 又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴． 故选：A． ◆题型3增减性(三) 求变量X或Y的范围 7．D 【分析】将各点代入反比例函数解析式，用含的式子表示,,，结合比较大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴，又， ∴， ∴． 8．B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 9．A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 10．D 【分析】先根据时的最大值推导与的关系，再结合反比例函数的增减性求解时的最值． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， ∴时，取最大值，即，得； 当时，， ∴时，取最大值，最大值为． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）利用反比例函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出大致图象，观察图象即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴在函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∵， ∴； （3）解：函数的大致图象如图所示， 当时，， 根据函数图象可得，当时，x的取值范围是或． ◆题型4增减性(四)求参数的取值范围 12．A 【分析】反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，本题中，列出不等式即可求出范围． 【详解】解：反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小， ，解得． 13．D 【分析】将两点坐标代入双曲线解析式，得到、关于的表达式，结合列不等式求解． 【详解】解：将，代入，得 ，， ， ， 两边同乘得 ， 移项得 ， 解得 ． 14．C 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 反比例函数的图象（一）图象共存 16．A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 17．C 【分析】根据二次函数的图象与其系数的关系判断出的符号，再判断反比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴只有C选项中的函数图象符合题意． 18．D 【详解】解：由题意可分：当时，则，反比例函数的图象在第一、三象限，而二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，所以A、B选项不符合； 当时，则，反比例函数的图象在第二、四象限，而二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，所以C选项不符合，D选项符合题意． ◆题型6 反比例函数的图象（二）交点分析 19．B 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴两个函数的交点关于原点对称， ∵一个交点为， ∴另一个交点为． 20．C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 21．D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的性质，根据、的正负判断函数图象经过的象限即可求解． 【详解】解：当时，正比例函数图象经过第一、三象限，当时，反比例函数图象经过第二、四象限； 当时，反比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限． 故该两个函数的图象没有交点，则、一定异号． ∴， 故选：D． 22．C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 综合攻坚·知能拔高 1．A 【分析】根据反比例函数图象所在象限的条件列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 2．B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 3．B 【分析】根据反比例函数的增减性求得最大值和最小值，进而可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ∵且， ∴当时，取得最小值，最小值； 当时，取得最大值，最大值， ∴最大值与最小值之差为． 4．A 【分析】先根据的取值范围确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性比较的大小． 【详解】点，在反比例函数的图象上，且， 点，均在第二象限，，， ∵ ， 在每个象限内，随的增大而增大， ， ， ． 5．D 【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性得两交点关于原点对称，结合反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值计算． 【详解】解：∵直线与双曲线均关于原点对称， ∴交点与关于原点对称， ∴，． ∵点在双曲线上， ∴． 将，代入，得． 6．C 【分析】因为反比例函数图象关于原点中心对称，所以过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数．设点A的坐标为，由点A在反比例函数上，可得，同时可得点B的坐标为．因为平行于y轴、平行于x轴，所以点C的横坐标与A相同、纵坐标与B相同，即，由此可求出的长度．由是直角三角形，利用直角三角形面积公式代入的长度和的关系即可计算面积． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点中心对称， 设点A的坐标为，则点B的坐标为． ∵A、B在反比例函数上， ∴代入解析式得：，即． ∵平行于y轴， ∴C的横坐标和A相同为； ∵平行于x轴， ∴C的纵坐标和B相同为， 即． 由图可知是直角三角形， ∵，， ∴ ． 7．A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 8．B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论． 【详解】根据题意， 解：当时，，， ； 当时 直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和 要使，则直线要在反比例函数图象上面， 的取值范围是； 综上所述的取值范围是或． 故选B． 9．/ 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数、反比例函数图象与性质等知识，先由待定系数法求出反比例函数的表达式为，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，从而得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ，则反比例函数的表达式为， 反比例函数图象在第二、四象限， 当时，；当时，； 反比例函数图象在第四象限中，值随着值的增大而增大， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 10．/2.25/ 【分析】根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘方，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且， 时，的最大值是，时，的最大值是2， ∴， ∴． 11． 【分析】结合反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，根据给定的时的函数变化规律列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而增大， ∴， 解得：． 12． 【分析】利用交点同时在两个函数图象上的性质，先结合已知的交点纵坐标，通过正比例函数解析式求出交点横坐标，得到完整交点坐标，再代入反比例函数解析式计算k值 【详解】解：∵两函数图象的交点在正比例函数上，且该交点的纵坐标为． ∴将代入，得． 解得． ∴该交点的坐标为． ∵该交点同时在反比例函数的图象上． ∴将代入，得． 解得． 13． 【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标为负数， ∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数， ∵，且在第三象限内，随的增大而减小， ∴， ∵点的横坐标为正数， ∴该点位于第一象限，对应的函数值， 综上可得． 14． 3 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入反比例解析式，直接求出； （2）利用反比例函数的增减性，由的范围推出的范围； （3）分类讨论的正负，时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小，只需保证处满足不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 则． （2）解：， 则当时，随的增大而减小， 当时， 的取值范围为，即． （3）解：过点， 将代入，可得， 将代入可得， 当时，随着的增大而减小， 若足够大，为负数，，， 不满足题意； 当时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小， 若时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值， 可得， 解得． 16．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点的坐标代入正比例函数，求出，可以得到点的坐标是，把点的坐标是，代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）根据点、关于原点中心对称，直接写出点的坐标即可； （3）由函数图象可知当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，所以的取值范围是或． 【详解】（1）解：把点的坐标代入正比例函数， 可得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， ； （2）解：反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，对称中心是原点， 点、关于原点中心对称， 点的坐标为； （3）解：由反比例函数的图象可知， 当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方， 的取值范围是或． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标列方程求解的值． （2）根据反比例函数的增减性列不等式求的取值范围． （3）结合反比例函数的图象位置与增减性比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上． ∴将，代入解析式， 得 解得 ． （2）∵反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大． ∴ ． 解得 ． （3）当时，． ∴该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ． ∴点、在第四象限，，，且． ∵ ． ∴点在第二象限，． ∴ ． 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）把，代入求，，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定反比例函数的解析式即可； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得． （3）根据题意，求线段的解析式与反比例函数解析式消元得到的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则， 解得， 故点，； ∴， 解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P， 此时的值最小， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 解得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 解方程，得， ∵， 故另一个交点的横坐标为， 此时， 故另一个交点的坐标为． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 增减性(一) 知横坐标，比纵坐标（高频） 题型2增减性(二) 知纵坐标，比横坐标（高频） 题型3增减性(三) 求变量X或Y的范围（重） 题型4增减性(四)求参数的取值范围（高频） 题型5 反比例函数的图象（一）图象共存（高频） 题型6 反比例函数的图象（二）交点分析（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 增减性(一) 知横坐标，比纵坐标 1．点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数（为常数，且），若点，都在该函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． ◆题型2增减性(二) 知纵坐标，比横坐标 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型3增减性(三) 求变量X或Y的范围 8．在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 10．已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 11．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． (3)当时，求x的取值范围； ◆题型4增减性(四)求参数的取值范围 12．反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 15．已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ ◆题型5 反比例函数的图象（一）图象共存 16．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A．B．C．D． 17．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 18．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 反比例函数的图象（二）交点分析 19．反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 20．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 21．在同一直角坐标平面内，函数与函数的图象没有交点，那么和的关系是（　　） A．， B．， C． D． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为（     ） A． B．1 C． D． 4．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．双曲线与直线交于两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C．D． 8．已知直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 9．已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是______． 10．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 11．已知反比例函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 12．正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 13．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 14．如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点． (1)求，的值； (2)直接写出点的坐标：__________； (3)过点作轴的垂线，交的图象于点，交的图象于点．若点始终在点的下方，直接写出的取值范围：__________． 17．已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出点P坐标； (3)在（2）的条件下，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 增减性(一) 知横坐标，比纵坐标（高频） 题型2增减性(二) 知纵坐标，比横坐标（高频） 题型3增减性(三) 求变量X或Y的范围（重） 题型4增减性(四)求参数的取值范围（高频） 题型5 反比例函数的图象（一）图象共存（高频） 题型6 反比例函数的图象（二）交点分析（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 增减性(一) 知横坐标，比纵坐标 1．点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 2．已知反比例函数（为常数，且），若点，都在该函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据k的符号判断反比例函数图象所在象限，结合点的横坐标符号判断函数值正负． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． ∵点的横坐标， ∴点A在第二象限，． ∵点的横坐标， ∴点B在第四象限，． ∴． 3．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的值符号确定图象所在象限与增减性，结合横坐标范围分象限比较值大小. 【详解】解：反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ， 点、在第二象限，点在第四象限． ，，． ， ， ． ◆题型2增减性(二) 知纵坐标，比横坐标 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴. 5．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的系数符号确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的正负与大小比较横坐标的大小. 【详解】解：∵中，， ∴图象在二、四象限，在各象限内，随的增大而增大， ∵，，， ∴点，在第二象限，点在第四象限， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 6．已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵a是一个正数， ∴，，， 又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴． 故选：A． 7．已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点代入反比例函数解析式，用含的式子表示,,，结合比较大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴，又， ∴， ∴． ◆题型3增减性(三) 求变量X或Y的范围 8．在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 9．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 10．已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先根据时的最大值推导与的关系，再结合反比例函数的增减性求解时的最值． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， ∴时，取最大值，即，得； 当时，， ∴时，取最大值，最大值为． 11．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． (3)当时，求x的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）利用反比例函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出大致图象，观察图象即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴在函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∵， ∴； （3）解：函数的大致图象如图所示， 当时，， 根据函数图象可得，当时，x的取值范围是或． ◆题型4增减性(四)求参数的取值范围（高频） 12．反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，本题中，列出不等式即可求出范围． 【详解】解：反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小， ，解得． 13．已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两点坐标代入双曲线解析式，得到、关于的表达式，结合列不等式求解． 【详解】解：将，代入，得 ，， ， ， 两边同乘得 ， 移项得 ， 解得 ． 14．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 15．已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 反比例函数的图象（一）图象共存（难） 16．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 17．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与其系数的关系判断出的符号，再判断反比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴只有C选项中的函数图象符合题意． 18．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可分：当时，则，反比例函数的图象在第一、三象限，而二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，所以A、B选项不符合； 当时，则，反比例函数的图象在第二、四象限，而二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，所以C选项不符合，D选项符合题意． 19．反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴两个函数的交点关于原点对称， ∵一个交点为， ∴另一个交点为． ◆题型6 反比例函数的图象（二）交点分析 20．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 21．在同一直角坐标平面内，函数与函数的图象没有交点，那么和的关系是（　　） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的性质，根据、的正负判断函数图象经过的象限即可求解． 【详解】解：当时，正比例函数图象经过第一、三象限，当时，反比例函数图象经过第二、四象限； 当时，反比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限． 故该两个函数的图象没有交点，则、一定异号． ∴， 故选：D． 22．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限的条件列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 2．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 3．已知反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求得最大值和最小值，进而可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ∵且， ∴当时，取得最小值，最小值； 当时，取得最大值，最大值， ∴最大值与最小值之差为． 4．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的取值范围确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性比较的大小． 【详解】点，在反比例函数的图象上，且， 点，均在第二象限，，， ∵ ， 在每个象限内，随的增大而增大， ， ， ． 5．双曲线与直线交于两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性得两交点关于原点对称，结合反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值计算． 【详解】解：∵直线与双曲线均关于原点对称， ∴交点与关于原点对称， ∴，． ∵点在双曲线上， ∴． 将，代入，得． 6．如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为反比例函数图象关于原点中心对称，所以过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数．设点A的坐标为，由点A在反比例函数上，可得，同时可得点B的坐标为．因为平行于y轴、平行于x轴，所以点C的横坐标与A相同、纵坐标与B相同，即，由此可求出的长度．由是直角三角形，利用直角三角形面积公式代入的长度和的关系即可计算面积． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点中心对称， 设点A的坐标为，则点B的坐标为． ∵A、B在反比例函数上， ∴代入解析式得：，即． ∵平行于y轴， ∴C的横坐标和A相同为； ∵平行于x轴， ∴C的纵坐标和B相同为， 即． 由图可知是直角三角形， ∵，， ∴ ． 7．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 8．已知直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论． 【详解】根据题意， 解：当时，，， ； 当时 直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和 要使，则直线要在反比例函数图象上面， 的取值范围是； 综上所述的取值范围是或． 故选B． 二、填空题 9．已知点在反比例函数的图像上．当时，的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数、反比例函数图象与性质等知识，先由待定系数法求出反比例函数的表达式为，从而得到反比例函数图象在第二、四象限，则在第四象限中，值随着值的增大而增大，从而得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ，则反比例函数的表达式为， 反比例函数图象在第二、四象限， 当时，；当时，； 反比例函数图象在第四象限中，值随着值的增大而增大， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 10．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】/2.25/ 【分析】根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘方，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且， 时，的最大值是，时，的最大值是2， ∴， ∴． 11．已知反比例函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，根据给定的时的函数变化规律列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而增大， ∴， 解得：． 12．正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用交点同时在两个函数图象上的性质，先结合已知的交点纵坐标，通过正比例函数解析式求出交点横坐标，得到完整交点坐标，再代入反比例函数解析式计算k值 【详解】解：∵两函数图象的交点在正比例函数上，且该交点的纵坐标为． ∴将代入，得． 解得． ∴该交点的坐标为． ∵该交点同时在反比例函数的图象上． ∴将代入，得． 解得． 13．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 【答案】 【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标为负数， ∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数， ∵，且在第三象限内，随的增大而减小， ∴， ∵点的横坐标为正数， ∴该点位于第一象限，对应的函数值， 综上可得． 14．如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【答案】 3 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入反比例解析式，直接求出； （2）利用反比例函数的增减性，由的范围推出的范围； （3）分类讨论的正负，时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小，只需保证处满足不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 则． （2）解：， 则当时，随的增大而减小， 当时， 的取值范围为，即． （3）解：过点， 将代入，可得， 将代入可得， 当时，随着的增大而减小， 若足够大，为负数，，， 不满足题意； 当时，随着的增大而增大，在时随着的增大而减小， 若时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值， 可得， 解得． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点． (1)求，的值； (2)直接写出点的坐标：__________； (3)过点作轴的垂线，交的图象于点，交的图象于点．若点始终在点的下方，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点的坐标代入正比例函数，求出，可以得到点的坐标是，把点的坐标是，代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）根据点、关于原点中心对称，直接写出点的坐标即可； （3）由函数图象可知当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，所以的取值范围是或． 【详解】（1）解：把点的坐标代入正比例函数， 可得：， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， ； （2）解：反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，对称中心是原点， 点、关于原点中心对称， 点的坐标为； （3）解：由反比例函数的图象可知， 当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的下方， 的取值范围是或． 17．已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标列方程求解的值． （2）根据反比例函数的增减性列不等式求的取值范围． （3）结合反比例函数的图象位置与增减性比较函数值大小． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上． ∴将，代入解析式， 得 解得 ． （2）∵反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大． ∴ ． 解得 ． （3）当时，． ∴该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ． ∴点、在第四象限，，，且． ∵ ． ∴点在第二象限，． ∴ ． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出点P坐标； (3)在（2）的条件下，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把，代入求，，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定反比例函数的解析式即可； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得． （3）根据题意，求线段的解析式与反比例函数解析式消元得到的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则， 解得， 故点，； ∴， 解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P， 此时的值最小， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 解得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 解方程，得， ∵， 故另一个交点的横坐标为， 此时， 故另一个交点的坐标为． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $