专题07 角和差、角平分线及动角问题（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册
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内容正文：
专题07 角和差、角平分线及动角问题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、角度的和差有关计算
题型二、单条角平分线问题
题型三、双条角平分线问题
题型四、角的n等分线问题
题型五、动角问题求角度
题型六、动角问题求运动时间
题型七、动角问题求定值
题型八、新定义的动角问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
角度计算与动角问题是初中几何由线入形的关键起点，所有题型围绕角的和差、角平分线与等分线、动角运动规律、运动不变量四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是角的边位置不确定须分类讨论，二是动角问题须先划定旋转范围、找准重合与共线的分界时刻。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、角度的和差有关计算
题型模版
1.特征：已知角的度数或两个角之间的和、差、倍关系，射线落在角的内部或外部，求未知角的度数；射线位置不唯一时需要分类。
2.方法：先画图确定各射线的相对位置，利用角的加减关系列式；位置不唯一时分类讨论，算出结果后回到图中检验是否符合角的构成，舍去矛盾解。
【例1】如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的数量关系，本题关键是利用角度的倍数关系与和差关系，通过设未知数消元，简化计算过程，进而求出目标角度差．
【详解】解：设．
由，可得．
，且，
．
，
．
，
．
，
．
故选：B
【例2】如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①③
【分析】根据题意可得，，根据每个选项的假设，逐一判断即可．
【详解】解：，
，即，故①正确；
、分别经过刻度线40和60，
，
与互补，
，
，
，
，即射线经过刻度线160，故②错误；
，，
，
经过刻度线60，射线经过刻度线90，
，
，
和互为余角，故③正确，
所以其中所有正确结论的序号为①③．
【变式1-1】如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的和差关系得出，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，顶点，重合，，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______．
【答案】
或
【分析】根据两边分别平行的两个角的位置关系，分两种情况讨论，利用方程思想求解.
【详解】解：设，则，
分两种情况讨论：
①当时，
由两边分别平行的两个角相等，可得方程：
，
解得，
∴；
②当与互补时，
由两边分别平行的两个角互补，可得方程：
，
解得，
∴，
综上所述，的度数为或.
【变式1-3】如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角板的直角可知，进而根据角度的和差关系即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴．
题型二、单条角平分线问题
题型模版
1.特征：一个角内只有一条角平分线，平分条件与角的度数搭配出现，求相关角的度数，常与角的和差、互余互补结合考查。
2.方法：用角平分线定义得到两个相等的角，把倍分关系转化为角的等式，再结合和差列式；留意平分线在角的内部还是反向延长线上的分类情形。
【例3】如图，已知，，是的平分线，，则（ ）
A．射线的方向为北偏东
B．射线的方向为北偏东
C．射线的方向为南偏西
D．射线的方向为南偏西
【答案】D
【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
，
射线的方向为北偏东，
故A、B选项错误；
，
，
，
，
，
，
射线的方向为南偏西，
故C选项错误，D选项正确．
【例4】如图，已知，平分，在的下方，且．
(1)判断与互余吗？试说明理由．
(2)判断与互补吗？试说明理由．
【答案】(1)与不互余，理由如下：
如图，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与不互余．
(2)与互补，理由如下：
如图，
∵，，
∴，
∴与互补．
【分析】（1）根据条件平分，，结合角平分线性质求出的度数，再根据，即可求出，进而可求出，即可得与不互余．
（2）根据（1）得的度数，再结合，即可计算出的度数，进而可判断与互补．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2-1】如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______．
【答案】
【分析】由可得，将、用表示，列方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
点在直线上，
，
，
是的平分线，
，
，
解得．
【变式2-2】已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________．
【答案】或
【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数．
【详解】解：如图所示，当在的外部时，
则，
为的平分线，
；
如图所示，当在的内部时，
则，
为的平分线，
，
综上所述，的度数为或．
【变式2-3】如图，直线，相交于点，于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可；
（2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴.
题型三、双条角平分线问题
题型模版
1.特征：同一个角内或相邻两角内存在两条角平分线，分别平分两个角，在已知角的度数条件下求两条角平分线所成角的度数。
2.方法：用字母表示各角，两次使用角平分线性质作等量代换；优先套用双角平分线基础结论，即所求角等于两角之和或差的一半，位置不定时画图验算。
【例5】如图，点在同一条直线上，分别平分．
(1)求的度数；
(2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系．
（1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果；
（2）分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
则，
∵，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
当在上方时，
；
当在下方时，
；
综上，为或．
【例6】已知是锐角，以OB为边画锐角，且小于．射线OM和射线ON分别平分和．
(1)如图1，若射线OC在的内部，且，求和的大小；
(2)如图2，若射线OC在的外部，且，，直接写出图中与互余的角：_______；
(3)若，请直接用含有m的式子表示的大小，其结果为_______（度）．
【答案】(1)，
(2)和
(3)
【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和、差、倍、分，是解题的关键；
（1）根据角平分线的定义得到，， 然后利用∠ ， 即可得到 ， 即可求解 ；
（2）OC在的外部求得，再根据角平分线的定义得，即可得出结论；
（3）分别从OC在的内部和外部讨论，根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）∵射线OC在的内部，且，，
∴，
∵射线OM和射线ON分别平分和，
∴，，
∴，
，
，
；
（2）∵射线OC在的外部，且，，
∴，
∴，
∴，
∵射线ON分别平分，
∴，
∴，
∴与互余的角有和，
故答案为：和，
（3）若射线OC在的内部，且小于，
∵射线OM和射线ON分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴
若射线OC在的外部，且小于，
∵射线OM和射线ON分别平分和，
∴，，
∵
，
∵，
∴
故答案为：．
【变式3-1】如图，点O在直线MN上，在上方，、分别平分、，如果，那么_________．
【答案】/88度
【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可．
【详解】解：∵、分别平分、，
∴，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式3-2】如图，在内部转动，，分别平分和．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解；
（）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由，
∵，分别平分和，
∴，，
∴
∴．
【变式3-3】已知，
(1)如图1，平分，平分，若，则是 ；
(2)如图2，分别平分和，若，求的度数．
(3) 若分别平分和，，则的度数是 （直接填空）．
【答案】(1)15
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角度之间的和差关系，进行分类讨论．
（1）根据角平分线的性质求出，求出最后根据即可求解；
（2）根据已知得所求，而，，最后根据，即可求解；
（3）分析两种可能性，当或至少有一个在内部时，当和都在外部时．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
故答案为：15；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵平分和，
∴，，
∴；
（3）解：①当或至少有一个在内部时，如下图，
则
；
②当和都在外部时，如下图，
则，
综上的度数为或．
故答案为：或．
题型四、角的n等分线问题
题型模版
1.特征：一个角被一条或多条射线平均分成n份，给出其中某个角的度数，借助等分关系求整个角或其他小角的度数。
2.方法：n等分线把角分成相等的n份，先求每一份的度数，再按份数乘除计算；注意区分内部分分线与反向延长线上的外分线，跨射线求和时勿漏加中间的角。
【例7】如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________．
【答案】
【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键．
先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答．
【详解】解：∵射线是的三等分线，
∴，
∴，
∵图中所有的锐角之和为，
∴，
即
，
解得．
故答案为：．
【例8】已知．
(1)若，与互余，射线平分，
①如图1，时，若射线在内部，则______；
②时，画出符合题意的图形，并求的度数（用含的式子表示）；
(2)若，与互补，射线平分，射线是的一条三等分线，则的度数为______．
【答案】(1)①；
②如图，当在上方，
如图，当在下方，
或；
(2)或或或．
【分析】本题考查了互余和互补，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）①由互余可得，再根据角平分线的定义，求得，即可得出的度数；
②分两种情况讨论：在上方和在下方，根据互余和角平分线的定义求解即可；
（2）分四种情况讨论：根据互补和角平分线的定义，以及三等分线求解即可；
【详解】（1）解：①，与互余，
，
射线平分，
，
；
②如图，当在上方，
，与互余，
，
射线平分，
，
；
如图，当在下方，
，与互余，
，
射线平分，
，
，
综上可知，的度数为或；
（2）解：①如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线，
，与互补，
，
射线平分，
，
，
，
；
②如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线，
同①可得，，，
，
；
③如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线，
，与互补，
，
射线平分，
，
，
，
；
④如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线，
同③理可得，，
，
；
综上可知，的度数为或或或．
【变式4-1】已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值__________．
【答案】/80度
【分析】本题考查了角的n等分线，先根据五等分线求出，然后分三种情况讨论：选择相邻的两条射线；选择间隔一条射线的两条射线；选择间隔两条射线的两条射线，然后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵、、、将五等分，，
∴，
若选择相邻的两条射线，如、，
则射线、、、表示的角有，，，，
∴，
同理，选择其他相邻两条直线，s的值为；
若选择间隔一条射线的两条射线，如、，
则射线、、、表示的角有，，，，
∴，
同理，选择其他间隔一条射线的两条射线，s的值为；
若选择间隔两条射线的两条射线，如、，
则射线、、、表示的角有，，，，
∴，
综上，s的值为，
故答案为：．
【变式4-2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______．
【答案】或
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论．
分情况讨论，即或时，分别讨论即可．
【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
故答案为：或．
【变式4-3】如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线．
(1)若，为的2分位线，则___________．
(2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线．
①已知，则___________．
②若，求的度数．（用含的式子表示）
(3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】本题主要考查了新定义、几何图形中角度的计算等知识点， 理解新定义的内容是解题的关键．
（1）根据题意可得：，，进而求得即可；
（2）①由题意可得：，，根据，则，再根据列方程求解即可；②根据①的思路解答即可；
（3）由4分位线的定义以及已知条件可得，或，进而求得；然后分、两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵，为的2分位线，
∴，
，
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵分别为与的3分位线．，，
∴，，
∴，
∵点在同一条直线上，为一条射线，
∴，
∵，
∴，即，即．
故答案为：．
②∵分别为与的3分位线．，，
∴，，
∴，
∵点在同一条直线上，为一条射线，
∴，
∵，
∴，即，即．
（3）解：∵射线分别为与的4分位线，且，
∴，或
，
∴，
∴，
①当时，
∵，
∴,解得：，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上，的度数为或．
题型五、动角问题求角度
题型模版
1.特征：角的一边固定、另一边绕顶点按固定速度旋转，给出运动时间，求某时刻两条射线所成的角度，角度随时间改变。
2.方法：用“速度×时间”表示旋转的角度，确定动边当前位置，再与已知角作和差列式；动边越过固定射线或与另一条边重合时分段，分别写出各区间内的表达式。
【例9】将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分．
（1）如图，如果__________．
（2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）．
【答案】 /30度 或
【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可；
（2）分在上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知：，
∵，
∴，
∵射线平分．
∴，
∴．
故答案为：．
（2）①如图：当在上方时，同（1）可得：；
②如图：当在下方时，
∵，
，
∵射线平分．
∴，
∴．
故答案为：或．
【例10】如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．
(1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ；
(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；
(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．
【答案】(1)；；互补
(2)
解：仍具有．理由如下：将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，
有，，
∵，
∴，
即将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补；
(3)或
【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想．
（1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论；
（2）分别用，表示出与，再将两角相加，即可得出结论；
（3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴与的特殊关系是互补．
（2）略
（3）解：在（1）的条件下，，，
当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余；
当和都在外部时，如图，
此时，不可能与互余；
当和都在内部时，如图，
∴，不满足与互余；
当在内部，在外部时，如图，
∴，，
∵与互余，
∴，即，
∴，
∴；
当在外部，在内部时，如图，
∴，，
∵与互余，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【变式5-1】如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和．
（1）当时，的度数为______；
（2）在旋转过程中，的度数始终为______．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线定义，角度的和与差，掌握知识点并应用是解题的关键．
（）由题意可得，因为分别平分和，所以，，则有，然后代入即可求解；
（）由题意可得，因为分别平分和，所以，，则有，然后代入即可求解．
【详解】解：（）∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-2】一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了______．
【答案】或或或
【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为，
∴，，
∴，
如图，当共线时，即反向共线时，
设旋转角度为，即，
解得：；
如图，当共线时，即反向共线时，
设旋转角度为，即，
解得：；
如图，当和重合，即同向共线时，
设旋转角度为，即，
解得：；
如图，当和重合，即同向共线时，
设旋转角度为，即，
解得：；
当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或
故答案为：或或或．
【变式5-3】如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即．
(1)如图1，若平分，求的度数．
(2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度．
【答案】(1)
(2)旋转的最小角度为
【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关定义，是解题的关键．
（1）根据题意得：，根据角平分线定义得出，最后根据角度间的数量关系求出结果即可；
（2）设旋转的最小角度为，则，根据补角定义，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
因为平分，
所以，
所以；
（2）解：设旋转的最小角度为，则，
因为，
所以得，
解得：，
所以，旋转的最小角度为．
题型六、动角问题求运动时间
题型模版
1.特征：动边匀速旋转，给定两角相等、某个角取特定度数等目标条件，反过来求满足条件所对应的运动时间。
2.方法：设运动时间为未知数，表示出动边位置与相关角的度数，依题意列方程求解；位置有多种可能时分类列方程，并检验所得解是否落在有效旋转范围内。
【例11】如图，已知，射线绕点O从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转；同时，射线绕点O从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成角时，与同时停止旋转．_____秒后，与的夹角是．
【答案】或
【分析】设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图，列方程即可得到结论．
【详解】解：设转动秒，与的夹角是，
第一种情况：如图1，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
第二种情况：如图2，
∴，，
∵
∴，即有，
解得：，
综上可知：或，与的夹角是．
【例12】如图1，将一个含角的直角三角板ABC按如图所示摆放，，斜边AB与直线MN重合．将三角板ABC绕点A按每秒的速度逆时针旋转一周，射线AD始终平分．设旋转时间为t秒．
(1)当时，_________；
(2)如图2，旋转的过程中，当在直线MN上方且等于时，请求出t的值；
(3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻t，使得射线AB平分，若存在，求出旋转时间t；若不存在，说明理由．
【答案】(1)75
(2)的值为1.5
(3)存在，t的值为3.5或15.5
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）当时，，然后由角平分线定义即可求解；
（）由题意得，则，，又平分，所以，得，根据题意可得，然后求出的值即可；
（）分当在直线上方时，当在直线下方时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵平分，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵在直线上方且等于时，即，
∴，解得：，
∴的值为；
（3）解：在旋转的过程中，存在某一时刻，使得射线平分，理由如下，
当在直线上方时，如图，
同（）可知，
∵射线平分，
∴，
∴， 解得；
当在直线下方时，如图，
根据题意可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，解得：，
综上可得：的值为或．
【变式6-1】在同一平面内，射线在外，且，射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，旋转一周则停止，当其中一条射线是另外两条射线组成的角的平分线时，旋转时间为______秒．
【答案】6或或
【分析】本题考查角平分线，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
考虑三种情况：设运动后的射线为，当是∠AOB的平分线时，当是的平分线时，当是的平分线时，分别求出射线转过的角度，然后除以旋转速度即可求旋转时间．
【详解】解：由题意，在运动之前如图所示，
设运动后的射线为，
情况1：当是∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=80°，
∴，
∴，
∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，
∴用时为：秒；
情况2：当是的平分线时，
此时，
∴，
∠BOA=80°，故∠BOC=160°，
∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，
∴用时为：秒；
情况3：当是的平分线时，
此时，
∴，
∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，
∴转过的角度为图中阴影角：
∴用时为：秒；
综上，旋转时间为6秒或秒或秒．
故答案为：6或或．
【变式6-2】已知图1图2中．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，射线与重合，若射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合时停止所有旋转．设旋转的时间为秒，请计算在旋转过程中一条射线平分另外两条射线所成夹角时的值．
【答案】(1)；
(2)，或
【分析】（1）根据垂直的定义得，由角平分线的定义得，再利用计算即可；
（2）先确定旋转的总时间为5秒，分三种情况讨论：①平分；②平分；③平分，分别根据角平分线的性质列出方程求解，舍去不符合条件的解．
【详解】（1）解：，
，
平分，，
，
．
（2）解：，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，当与重合时停止，
∴，当时，解得，
∴．
∵射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，
∴．
设旋转时间为秒，分三种情况：
①当平分时，
，平分，
，
，
解得，符合．
②当平分时，，
平分，
，
，
解得，符合．
③当平分时，
平分，
，
，
解得，符合．
综上，的值为，或．
【变式6-3】我们规定新定义：
倍分线：从一个角的顶点出发，在角的内部引一条射线，若这条射线将该角分成两个角，且其中一个角的度数是另一个角的倍，则称这条射线为该角的“倍分线”（例如：若射线分为和，且，则是的3倍分线）；
如图，点为直线上一点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转；射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转（两条射线同时出发，旋转角度均不超过，所有角均小于平角）
(1)求的度数，并直接写出的2倍分线将其分成的两个角的度数；
(2)当射线旋转到与重合时，求旋转时间的值．
(3)设旋转时间为秒，当是的3倍分线时，求的值．
【答案】(1)，两个角的度数分别为和
(2)的值为25秒
(3)的值为秒
【分析】本题考查了“倍分线”的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用．
（1）设被2倍分线分成的两个角分别为和，根据“倍分线”的定义，可得，，进而求得和，即可求解；
（2）根据题意可得旋转角度为，根据角度除以旋转速度，即可求解；
（3）由题可得，，分情况讨论，当时，当时，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：点为直线上一点且
设被2倍分线分成的两个角分别为和，
且，
即
两个角的度数分别为和
（2）解：当射线旋转到重合时，旋转角度为
秒
（3）解：由题可得，
当时，
（不符合，舍去）
当时，
秒
的值为秒
题型七、动角问题求定值
题型模版
1.特征：动角持续旋转的过程中，某两个角的和、差或比值保持不变，要求证明或求出这个固定值。
2.方法：用含时间的式子表示动边位置与目标角，对式子化简消去时间变量，结果不含参数即为定值；一般先取特殊位置猜出定值，再作一般化证明。
【例13】如图，直线相交于点，把分成两个角，且．
(1)若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由．
(2)若平分，平分，求的度数．
【答案】(1)为定值，
(2)
【分析】本题主要考查了角的有关运算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系．
（1）根据已知条件设，，再把和用含有的式子表示出来，然后求出答案即可；
（2）设，，然后根据已知条件把，，用表示出来，再根据列出关于的方程，解方程求出，从而求出即可．
【详解】（1）解：（1）为定值，
，
设，，
，
，
，
，
，
；
（2），
设，，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【例14】（1）如图，两个形状、大小完全相同的含有，的三角板按如图所示放置，、与直线重合，且三角板和三角板均可以绕点逆时针旋转．的度数为_____；
（2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求的度数．
（3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．在两块三角板旋转过程中（转到重合时，两三角板都停止转动），设两块三角板旋转的时间为，试说明为定值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，利用数形结合得出等式是解题关键．
（1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可；
（2）设，，则，进而利用求出即可；
（3）设运动时间为t秒，则，表示出和的度数即可得出答案．
【详解】解：（1），，，
；
（2）∵平分，平分，
∴设，，
则，
，
，
，
．
（3）设运动时间为秒，则，
，．
，
．
【变式7-1】将一直角三角板水平放置，过点作直线，射线，且平分，
(1)如图1，若直线经过点，
①求的大小；
②作射线，，射线平分，若，求的大小；
(2)如图2，若射线在的内部，作射线，，射线在内部，射线平分，且时，是否存在常数，使得的值是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②或
(2)存在使得的值是定值．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）①根据角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数；②分射线在左侧和射线在右侧两种情况，根据角平分线的定义求出和的度数即可得到答案；
（2）分点B在射线下方和点B在射线上方，且在上方两种情况，分别用表示出的度数，进而求出的结果，再根据的值为定值求出对应的m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，平分，
∴
∵直线经过点，
∴；
②如图所示，当射线在左侧时，
∵射线平分，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴；
如图所示，当射线在右侧时，
∵射线平分，，
∴，
∵∵，平分，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或；
（2）解：当点B在射线下方时，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
，
∵射线平分，
∴，
∴
，
∵是常数，
∴，
∴；
如图，当点B在射线上方，且在上方时，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
，
∵射线平分，
∴，
∴
，
∵是常数，
∴，
∴；
综上所述，存在使得的值是定值．
【变式7-2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)
当时（如图3），为定值．
理由如下：
∵是平角，，，
∴，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，定值为．
【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；
（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．
【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，
∴，
又∵平分，
∴．
故答案为：30；
（2）当时，如图2，
∵是平角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）略
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【变式7-3】如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线．
(1)若，即，则________，________．
(2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的度数是一个定值，为．
【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算；
（2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）在的变化过程中，的度数是一个定值．
∵是的平分线，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
即的度数是一个定值，为．
【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算．
题型八、新定义的动角问题
题型模版
1.特征：题目自定义“关联角”“角平分线对”“倍角线”等新概念，在动角背景下按新定义进行计算与探究，理解定义是解题前提。
2.方法：先读懂并拆解新定义，转化为熟悉的角和差、角平分线、动角关系；严格按定义列式，不自行引申条件；多情况分类后逐一检验结果是否满足新定义。
【例15】定义：若两个角的差是，则称这两个角互为 “直差角”，其中一个角叫做另一个角的 “直差角”．
(1)若，，则与______（填 “是” 或 “不是”）互为 “直差角”；
(2)若的“直差角”是，且，求和的度数．
【答案】(1)是
(2)，或，
【分析】本题考查了角度的计算，熟练掌握“直差角”的定义是解此题的关键．
（1）根据“直差角”的定义判断即可得出结果；
（2）由“直差角”的定义可得或，再结合计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴与是互为 “直差角”；
（2）解：∵的“直差角”是，
∴或，
当，时，此时，
当，时，此时，；
综上所述，，或，．
【例16】【概念理解】
新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线．
【数学思考】
（1）如图1，若，则的度数为__________；
【初步应用】
（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数；
【问题解决】
（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了角的计算与新定义“n倍分线”的应用，解题的关键是根据“n倍分线”的定义，将角之间的倍数关系转化为方程或比例关系，再结合角的和差关系求解．
（1）根据“4倍分线”的定义，先求出的度数，再计算；
（2）利用补角的性质和“3倍分线”的定义，分别表示出和，再求和得到；
（3）设，根据“3倍分线”和角平分线的定义，用表示出，列方程求解，进而求出
【详解】（1）解：∵ ，OQ是的4倍分线，
∴ ，
∴ ，
∵ OP是的4倍分线，
∴ ，
∴
故答案为：．
（2）解：∵ 与互为补角，
∴ ，
∵ OP是的3倍分线，且，
∴ ，
∵ OQ是的3倍分线，且，
∴ ，
∴ ．
（3）解：设，
∵ OM是的3倍分线，且，
∴ ，．
设，
∵ ON是的3倍分线，且，
∴ ，．
∵ 点O在直线AB上，
∴ ，，．
∵ ，
∴ ，
联立方程：
解得：，．
∵ OC是的平分线，
∴ ，
∴ ．
答：的度数为．
【变式8-1】新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时．
(1)若，则______．
(2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答；
（2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
如图：
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式8-2】【定义】如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．
(1)如图1，，射线_________的“新生线”．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知，射线在的内部，并且是靠近的“新生线”，平分，求的度数．
(3)如图3，如果（2）中不变，将射线绕点旋转到的外部，且仍为的“新生线”，平分，那么求的度数．
【答案】(1)是
(2)
(3)或
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据题意可得，即射线是的“新生线”；
（2）计算出，再根据角平分线的定义和角的和差即可解答；
（3）分两种情况，即当在左侧或当在右侧，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∴射线是的“新生线”；
故答案为：是；
（2）解：射线在的内部，并且是靠近的“新生线”，
平分，
的大小为；
（3）解：射线在的外部，并且是的“新生线”，有2种情况
当在左侧，即时，
如图所示，
平分，
，
当在右侧，时，如图所示，
，
平分，
，
，
综上所述，的大小为或．
【变式8-3】新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，则与互为“满分角”．
【阅读理解】
（1）如图1，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则__________．
【初步应用】
（2）若为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值．
【解决问题】
（3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．
①作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值．
②若，当__________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”．
【答案】（1）；（2）或；（3），或或．
【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
（1）根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可；
（2）设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解；
（3）①当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可；
因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：与互为“满分角”，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，设，
射线平分角，
，
，
当射线在射线上方时，，
与互为“满分角”，
，
，
解得：，
；
如下图所示，当射线在射线下方时，，
与互为“满分角”，
，
，
解得：，
；
综上所述，的度数为或；
（3）解：，
当时，射线与重合，
当时，，，
平分，
，
与互为“满分角”，
，
,
解得：；
解：由可知当时，射线与重合，
，
当时，射线恰好与重合，
，
当时，射线旋转到的下方，
当时，射线与重合，
如下图所示，当时，，，，
、、三条射线形成的角互为“满分角”，
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：(负值，舍去)；
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：；
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：(不符合题意，舍去)；
如下图所示，当时，，，，
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：；
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：(不符合题意，舍去)；
当和互为“满分角”时，
则有，
解得：；
综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”，
故答案为：或或．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．若一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数是________．
【答案】/40度
【分析】本题考查余角，补角的定义与一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键，设这个角的度数为，根据余角和补角的定义结合题意列出方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，
由题意得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
故这个角的度数是．
2．已知一条射线，在同一平面内从点再作两条射线和，使，，则的度数是______．
【答案】或
【分析】根据题意分情况画出图形，结合图形计算即可得出答案．
【详解】解：①如图一，当在内部时：
∵，，
∴；
②如图二，当在外部时：：
∵，，
∴；
综上所述：的度数为或．
3．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______．
【答案】或或或
【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可．
【详解】解：，，
，
当射线在内部时，则，
，
∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图，
则，
平分，
，
；
②当射线在直线下方时，如图，
则，
平分，
，
；
当射线在外部时，则，
，
∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图，
则，
平分，
，
；
② 当射线在直线下方时，如图，
则，
平分，
，
；
综上所述，的度数为或或或．
4．如图，，，且，．
(1)如图1，已知．
①若平分，与互为余角，求的度数；
②若，分别作和平分线，求的度数；
(2)如图2，若，在平面内绕点旋转，分别作和平分线，则的度数为 ．（直接写出结果）
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】本题考查了与角平分线、角的和差倍分有关计算，掌握角平分线定义与角的和差是解题的关键．
(1) ①由角平分线定义得，再通过与互为余角得到即可求解；
②根据题意可得，再由角平分线的性质得，结合即可求解；
（2）分两种情况，①通过角平分线用含的代数式表示，再通过即可求解；②求出，再根据角平分线的性质，结合即可求解．
【详解】（1）解：①平分，与互为余角，
．
，
，
，
．
②如图，
，
，
分别平分和，
，
，
；
（2）解：①如图，
分别是和的平分线，
，
，
；
②如图，
，
，
分别是和的平分线，
，
，
；
综上，或．
故答案为：或．
5．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．
(1)若平分，求的度数．
(2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由．
【答案】(1)
(2)正确，
∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，
∴，，
∴．
【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差．
（1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案；
（2）正确，按照（1）的思路计算即可．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，
∴，
，
∴；
（2）略
6．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据题意可知，，再根据求解即可；
（2）由（1）同理可知，即可求解；
（3）由（1）同理可知，，再根据即可求解．
【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）解：由（1）可知；
（3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
7．数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转．
(1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明；
(2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，则________．
【答案】(1)
，
证明： 三角尺的两边，都在三角尺的内部，
，
，
；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查了有关三角板中的角度计算；
（1）由角的和差得，即可求解；
（2）如图２，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时，由角的和差得，，将此代入，即可求解；如图３，当、都不在三角尺的内部时，同理可求．
（3）将代入（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图2，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时，
，，
，
，
，
；
如图3，当、都不在三角尺的内部时，
，
，
，
；
（3）解：当时，
或，
解得或．
8．如图，，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)若，当时，求的值．
(3)在旋转过程中，是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，的值为或；
(3)存在，当的值为或或时，．
【分析】本题考查了角的和差关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用分类讨论的思想找角之间的关系．
(1)根据运动的时间，可知当时，，，从而可得；
(2)与相遇时间为秒，与重合时间为秒，与停止运动的时间为秒，根据运动的时间分类讨论；
(3)根据运动的时间和角之间的位置关系，分类讨论求解．
【详解】（1）解：当时，，，
；
（2）与相遇时间为（秒），与重合时间为（秒），
与停止运动的时间为（秒），
①当时，
根据题意得：，
解得：；
②当时，
根据题意得：，
解得：；
综上所述，当时，的值为或；
（3）解：①当时，，，
，
根据题意得：，
解得：；
②当时，，，
根据题意得：，
解得：．
③当时，，，
根据题意得：，
解得：．
综上所述，当的值为或或时，．
9．已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，平分，求的度数；
(3)如图，，此时绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请直接写出和之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先由平角求出，再结合角平分线得到，最后用减去得．
（2）利用角平分线的性质，将转化为，结合是直角计算．
（3）分不同时间段分析的表达式，再结合角平分线求出，进而得到两者的数量关系．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：平分，平分，
，，
，
，
；
（3）解：时，由题意得，
，
；
时，
由题意得，
，
；
时，
，
即；
综上所述，，．
【点睛】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的性质以及动态图形中角的数量关系分析，熟练掌握平角的性质、角平分线的定义，并结合动态情况分类讨论是解题的关键．
10．如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线．
(1)当时， ， ；
(2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的大小是定值为
【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系．
（1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解；
（2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断．
【详解】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
是的平分线，，
，
，
故答案为：，；
（2）的大小是定值，
设，则，
是的平分线，，
，
是的平分线，，
，
，
的大小是定值为．
11．定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．
(1)如图，写出的共边角；
(2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数；
(3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数．
【答案】(1)或
(2)或
(3)
如图1，当在的内部，
如图2，当在的外部，
当在的内部，；当在的外部，．
【分析】本题考查了新定义，角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解题的关键．
（1）根据“共边角”定义进行解答即可；
（2）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可；
【详解】（1）解：的共边角为或；
（2）当在的内部时，如图所示：
；
当在的外部时，如图所示：
，
综上所述，非公共边的两边所夹的角的度数为或；
（3）这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或，
如图1，当在的内部，
分别是，的平分线，
，
，
，
；
如图2，当在的外部，
分别是，的平分线，
，
，
，
，
综上所述，这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或．
12．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是_______（填写序号）：
①；②；③是的角平分线；
(2)如图1，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图2，当时，射线绕点O旋转，每次旋转，可得它的“倍锐角”_______；
(4)当是的“倍锐角”且时，则_______．
【答案】(1)②③
(2)
解：，若，那么，
有以下两种情况：
(3)或或
(4)和
【分析】本题在角的背景下的新定义问题，主要考查角的和差倍分关系，分类讨论思想等相关知识，解题关键是根据题意进行正确的分类讨论．
（1）根据给出的“倍锐角”的定义依次进行判断即可；
（2）根据给出的“倍锐角”的定义求解即可；
（3）根据给出的“倍锐角”的定义求解即可；
（4）根据给出的“倍锐角”的定义分类讨论，画出图形，再求解即可得出结论．
【详解】（1）解：①，
若，那么，两个角不是整数倍关系，
∴不是的倍锐角；
②，
若，那么，，两个角是整数倍关系，
∴是的倍锐角；
③∵平分，
若，那么，两个角是整数倍关系，
∴是的倍锐角；
综上所述，能判断是的倍锐角的是②③；
故答案为：②③；
（2）略
（3）解：∵，且射线绕点O旋转，每次旋转，
∴锐角的取值有，，，，，，，，这几种，对每个可能的值进行分析可知，只有三种情况下，是的倍锐角：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
∴可能的取值有、和这三种情况；
故答案为：或或；
（4）解：∵是的“倍锐角”，
∴，
∴，
几何图示有图中画出的两种情况：
①如图，当在的上方时，
；
②如图，当在的下方时，
；
∴的取值有和这两种情况．
故答案为：和．
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专题07 角和差、角平分线及动角问题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、角度的和差有关计算
题型二、单条角平分线问题
题型三、双条角平分线问题
题型四、角的n等分线问题
题型五、动角问题求角度
题型六、动角问题求运动时间
题型七、动角问题求定值
题型八、新定义的动角问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
角度计算与动角问题是初中几何由线入形的关键起点，所有题型围绕角的和差、角平分线与等分线、动角运动规律、运动不变量四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是角的边位置不确定须分类讨论，二是动角问题须先划定旋转范围、找准重合与共线的分界时刻。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、角度的和差有关计算
题型模版
1.特征：已知角的度数或两个角之间的和、差、倍关系，射线落在角的内部或外部，求未知角的度数；射线位置不唯一时需要分类。
2.方法：先画图确定各射线的相对位置，利用角的加减关系列式；位置不唯一时分类讨论，算出结果后回到图中检验是否符合角的构成，舍去矛盾解。
【例1】如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______．
【变式1-1】如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知和的两边分别互相平行，且比的2倍少，的度数为______．
【变式1-3】如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型二、单条角平分线问题
题型模版
1.特征：一个角内只有一条角平分线，平分条件与角的度数搭配出现，求相关角的度数，常与角的和差、互余互补结合考查。
2.方法：用角平分线定义得到两个相等的角，把倍分关系转化为角的等式，再结合和差列式；留意平分线在角的内部还是反向延长线上的分类情形。
【例3】如图，已知，，是的平分线，，则（ ）
A．射线的方向为北偏东
B．射线的方向为北偏东
C．射线的方向为南偏西
D．射线的方向为南偏西
【例4】如图，已知，平分，在的下方，且．
(1)判断与互余吗？试说明理由．
(2)判断与互补吗？试说明理由．
【变式2-1】如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______．
【变式2-2】已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________．
【变式2-3】如图，直线，相交于点，于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
题型三、双条角平分线问题
题型模版
1.特征：同一个角内或相邻两角内存在两条角平分线，分别平分两个角，在已知角的度数条件下求两条角平分线所成角的度数。
2.方法：用字母表示各角，两次使用角平分线性质作等量代换；优先套用双角平分线基础结论，即所求角等于两角之和或差的一半，位置不定时画图验算。
【例5】如图，点在同一条直线上，分别平分．
(1)求的度数；
(2)如果，为平面内的一条射线，且，求的度数．
【例6】已知是锐角，以OB为边画锐角，且小于．射线OM和射线ON分别平分和．
(1)如图1，若射线OC在的内部，且，求和的大小；
(2)如图2，若射线OC在的外部，且，，直接写出图中与互余的角：_______；
(3)若，请直接用含有m的式子表示的大小，其结果为_______（度）．
【变式3-1】如图，点O在直线MN上，在上方，、分别平分、，如果，那么_________．
【变式3-2】如图，在内部转动，，分别平分和．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）
【变式3-3】已知，
(1)如图1，平分，平分，若，则是 ；
(2)如图2，分别平分和，若，求的度数．
(3) 若分别平分和，，则的度数是 （直接填空）．
题型四、角的n等分线问题
题型模版
1.特征：一个角被一条或多条射线平均分成n份，给出其中某个角的度数，借助等分关系求整个角或其他小角的度数。
2.方法：n等分线把角分成相等的n份，先求每一份的度数，再按份数乘除计算；注意区分内部分分线与反向延长线上的外分线，跨射线求和时勿漏加中间的角。
【例7】如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________．
【例8】已知．
(1)若，与互余，射线平分，
①如图1，时，若射线在内部，则______；
②时，画出符合题意的图形，并求的度数（用含的式子表示）；
(2)若，与互补，射线平分，射线是的一条三等分线，则的度数为______．
【变式4-1】已知，在内部有四条射线，这四条射线、、、将五等分，在其中任选两条射线，并计算能用射线、和这两条射线表示的所有的角之和s，计算并写出所有可能的s的值__________．
【变式4-2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______．
【变式4-3】如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图，，则为的4分位线；，则也是的4分位线．
(1)若，为的2分位线，则___________．
(2)如图2，点在同一条直线上，为一条射线，分别为与的3分位线．
①已知，则___________．
②若，求的度数．（用含的式子表示）
(3)如果点在同一条直线上，为一条射线，已知射线分别为与的4分位线，且，求的度数．
题型五、动角问题求角度
题型模版
1.特征：角的一边固定、另一边绕顶点按固定速度旋转，给出运动时间，求某时刻两条射线所成的角度，角度随时间改变。
2.方法：用“速度×时间”表示旋转的角度，确定动边当前位置，再与已知角作和差列式；动边越过固定射线或与另一条边重合时分段，分别写出各区间内的表达式。
【例9】将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分．
（1）如图，如果__________．
（2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）．
【例10】如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．
(1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ；
(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；
(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．
【变式5-1】如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和．
（1）当时，的度数为______；
（2）在旋转过程中，的度数始终为______．
【变式5-2】一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了______．
【变式5-3】如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即．
(1)如图1，若平分，求的度数．
(2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度．
题型六、动角问题求运动时间
题型模版
1.特征：动边匀速旋转，给定两角相等、某个角取特定度数等目标条件，反过来求满足条件所对应的运动时间。
2.方法：设运动时间为未知数，表示出动边位置与相关角的度数，依题意列方程求解；位置有多种可能时分类列方程，并检验所得解是否落在有效旋转范围内。
【例11】如图，已知，射线绕点O从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转；同时，射线绕点O从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成角时，与同时停止旋转．_____秒后，与的夹角是．
【例12】如图1，将一个含角的直角三角板ABC按如图所示摆放，，斜边AB与直线MN重合．将三角板ABC绕点A按每秒的速度逆时针旋转一周，射线AD始终平分．设旋转时间为t秒．
(1)当时，_________；
(2)如图2，旋转的过程中，当在直线MN上方且等于时，请求出t的值；
(3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻t，使得射线AB平分，若存在，求出旋转时间t；若不存在，说明理由．
【变式6-1】在同一平面内，射线在外，且，射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，旋转一周则停止，当其中一条射线是另外两条射线组成的角的平分线时，旋转时间为______秒．
【变式6-2】已知图1图2中．
(1)如图1，若平分，求的度数；
(2)如图2，射线与重合，若射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合时停止所有旋转．设旋转的时间为秒，请计算在旋转过程中一条射线平分另外两条射线所成夹角时的值．
【变式6-3】我们规定新定义：
倍分线：从一个角的顶点出发，在角的内部引一条射线，若这条射线将该角分成两个角，且其中一个角的度数是另一个角的倍，则称这条射线为该角的“倍分线”（例如：若射线分为和，且，则是的3倍分线）；
如图，点为直线上一点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转；射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转（两条射线同时出发，旋转角度均不超过，所有角均小于平角）
(1)求的度数，并直接写出的2倍分线将其分成的两个角的度数；
(2)当射线旋转到与重合时，求旋转时间的值．
(3)设旋转时间为秒，当是的3倍分线时，求的值．
题型七、动角问题求定值
题型模版
1.特征：动角持续旋转的过程中，某两个角的和、差或比值保持不变，要求证明或求出这个固定值。
2.方法：用含时间的式子表示动边位置与目标角，对式子化简消去时间变量，结果不含参数即为定值；一般先取特殊位置猜出定值，再作一般化证明。
【例13】如图，直线相交于点，把分成两个角，且．
(1)若，则是否为定值？若是，请求出定值；若不是，求说明理由．
(2)若平分，平分，求的度数．
【例14】（1）如图，两个形状、大小完全相同的含有，的三角板按如图所示放置，、与直线重合，且三角板和三角板均可以绕点逆时针旋转．的度数为_____；
（2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求的度数．
（3）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．在两块三角板旋转过程中（转到重合时，两三角板都停止转动），设两块三角板旋转的时间为，试说明为定值．
【变式7-1】将一直角三角板水平放置，过点作直线，射线，且平分，
(1)如图1，若直线经过点，
①求的大小；
②作射线，，射线平分，若，求的大小；
(2)如图2，若射线在的内部，作射线，，射线在内部，射线平分，且时，是否存在常数，使得的值是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【变式7-3】如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线．
(1)若，即，则________，________．
(2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
题型八、新定义的动角问题
题型模版
1.特征：题目自定义“关联角”“角平分线对”“倍角线”等新概念，在动角背景下按新定义进行计算与探究，理解定义是解题前提。
2.方法：先读懂并拆解新定义，转化为熟悉的角和差、角平分线、动角关系；严格按定义列式，不自行引申条件；多情况分类后逐一检验结果是否满足新定义。
【例15】定义：若两个角的差是，则称这两个角互为 “直差角”，其中一个角叫做另一个角的 “直差角”．
(1)若，，则与______（填 “是” 或 “不是”）互为 “直差角”；
(2)若的“直差角”是，且，求和的度数．
【例16】【概念理解】
新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线．
【数学思考】
（1）如图1，若，则的度数为__________；
【初步应用】
（2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数；
【问题解决】
（3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数．
【变式8-1】新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时．
(1)若，则______．
(2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）．
【变式8-2】【定义】如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．
(1)如图1，，射线_________的“新生线”．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知，射线在的内部，并且是靠近的“新生线”，平分，求的度数．
(3)如图3，如果（2）中不变，将射线绕点旋转到的外部，且仍为的“新生线”，平分，那么求的度数．
【变式8-3】新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，则与互为“满分角”．
【阅读理解】
（1）如图1，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则__________．
【初步应用】
（2）若为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值．
【解决问题】
（3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒．
①作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值．
②若，当__________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．若一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数是________．
2．已知一条射线，在同一平面内从点再作两条射线和，使，，则的度数是______．
3．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______．
4．如图，，，且，．
(1)如图1，已知．
①若平分，与互为余角，求的度数；
②若，分别作和平分线，求的度数；
(2)如图2，若，在平面内绕点旋转，分别作和平分线，则的度数为 ．（直接写出结果）
5．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．
(1)若平分，求的度数．
(2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由．
6．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
7．数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转．
(1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明；
(2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，则________．
8．如图，，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)若，当时，求的值．
(3)在旋转过程中，是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9．已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)如图，平分，求的度数；
(3)如图，，此时绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请直接写出和之间的数量关系．
10．如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线．
(1)当时， ， ；
(2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
11．定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．
(1)如图，写出的共边角；
(2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数；
(3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数．
12．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．
(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是_______（填写序号）：
①；②；③是的角平分线；
(2)如图1，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
(3)如图2，当时，射线绕点O旋转，每次旋转，可得它的“倍锐角”_______；
(4)当是的“倍锐角”且时，则_______．
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