3.2 双曲线同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

【2026年】【高中数学】【苏教版】
【3.2 双曲线】【课后练习】

苏教版（2019）选择性必修第一册　第3章 圆锥曲线与方程

建议用时：45 分钟　｜　满分：100 分

班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿

一、考点说明

本练习对应苏教版（2019）选择性必修第一册第 3 章第 2 节。教材先由“平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数”给出双曲线的定义：设 、 为两定点，，动点 满足 （），则 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线；若式中的绝对值去掉，所得轨迹只是双曲线的一支；当 时轨迹退化为两条射线，当 时轨迹不存在。标准方程分两种情形：焦点在 轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ，其中 ，，且 ，这与椭圆中 恰好相反，是本章最易混淆之处。

焦点在 轴上的双曲线，顶点为 ，实轴长 ，虚轴长 ，焦距 ，渐近线 ；焦点在 轴上时顶点为 ，渐近线变为 ——渐近线斜率总是“焦点所在轴对应的坐标比”。离心率 刻画开口宽窄，恒有 ，且 越大开口越开阔。焦点三角形 中，由定义与余弦定理可导得面积公式 （），这一结论在第 7、13 题中反复用到。

（一）知识点布列

表1　知识点布列与考查要求

（二）难度梯度规划

全卷按“定义与方程的基本运算 → 渐近线与离心率的互化 → 焦点三角形与中点弦的综合推理”三档递进，按分值统计易∶中∶难＝61∶29∶10（约合 6∶3∶1）。

第一梯度（基础巩固，61 分）：第 1—5 题、第 6 题、第 8—9 题、第 11 题及第 12(1) 题。要求能由定义判断题干所给轨迹的类型，能由标准方程直接写出 、、、顶点、焦距、渐近线与离心率，能由渐近线斜率与离心率中的一个反求另一个，能由过点条件与渐近线（或公共焦点）待定系数写出标准方程。

第二梯度（性质联用，29 分）：第 10 题、第 12(2) 题及第 13(1)(2) 题。第 10 题须先由椭圆方程求出公共焦点坐标，再用实轴长定 ，最后由 定 ，中间任何一步方向弄反都会前功尽弃；第 12(2) 题要用点差法由中点坐标反解斜率，并回到方程验证交点确实存在；第 13(1) 题须由定义先定另一条焦半径，再判断三角形为直角三角形以求面积。

第三梯度（综合探究，10 分）：第 7 题的完整判断与第 13(3) 题。第 7 题要逐项检验：定义式带绝对值恒成立， 时由定义得 ，周长最小值处 落在实轴顶点上，垂直情形要用 或余弦定理重算；第 13(3) 题须设两条焦半径，联立定义式与余弦定理消去和式，先求出两焦半径之积再求面积，只记结论而不推导容易在取值上出错。

（三）题量与分值分布

单选 1—5 题（ 分，全易）、多选 6—7 题（ 分，易 6 分、难 6 分）、填空 8—10 题（ 分，易 10 分、中 5 分）、解答 11—13 题（ 分，易 25 分、中 24 分、难 4 分），合计 13 题 100 分，易∶中∶难＝61∶29∶10。建议客观题 18—20 分钟、解答题 22—25 分钟，余下时间用于检查。

二、试题

（一）单选题：共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　）

A．一条射线　　B．双曲线　　C．双曲线的一支　　D．两条射线

2．双曲线 的焦距是（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

3．双曲线 的渐近线方程是（　　）

A．　　B．

C．　　D．

4．若双曲线 （，）的一条渐近线的斜率为 ，则该双曲线的离心率为（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

5．如图 1，双曲线的两个顶点为 、，两个焦点为 、，虚线为它的渐近线，则该双曲线的离心率为（　　）

图1　双曲线的顶点、焦点与渐近线

A．　　B．　　C．　　D．