第10章 概率 讲义-2027届高考数学一轮复习

第十章 概率 2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第二册 第一部分 近三年考情分析 1 一、考情总体定位 1 二、近三年真题考点统计 1 三、高频考点与考查频次 1 四、命题趋势与备考策略 2 第二部分 本章知识体系 2 一、本章知识网络总览 2 二、随机事件与样本空间 3 三、事件的关系与运算 3 四、古典概型 3 五、概率的基本性质与运算 4 六、本章知识整合与记忆 4 第三部分 高考真题突破 5 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 5 考点二 古典概型与概率加法公式 6 考点三 事件的独立性与乘法公式 7 第四部分 单元方法总结 8 一、运算技巧 8 二、图象应用 8 三、模型应用 9 四、易错提醒 9 第五部分 变式训练 9 第六部分 变式训练参考答案及解析 11 学业质量水平说明 · 水平一（基础达标）：理解随机事件、样本空间与样本点；掌握事件的关系与运算（互斥、对立）；理解古典概型并会计算；掌握概率的基本性质与加法公式、乘法公式。 · 水平二（综合应用）：能在具体情境中判断事件的互斥与对立，用古典概型、加法公式与乘法公式求概率，能识别两事件的独立性。 核心素养导向 · 数学抽象：把随机试验抽象为样本空间与随机事件，用集合语言刻画概率关系。 · 逻辑推理：由事件的关系与运算推理概率，由独立/互斥选择相应公式。 · 数学运算：准确计算古典概型概率、互斥事件加法与独立事件乘法。 · 直观想象：借助韦恩图、树状图直观理解事件关系。 · 数学建模：把摸球、掷骰子、射击、破译等实际问题抽象为概率模型。 · 数据分析：由频率估计概率，理解概率的统计定义。 第一部分 近三年考情分析 一、考情总体定位 概率是统计的理论基础，研究随机事件发生可能性大小的度量。本章在高考中以选择、填空为主，重点考查互斥事件的概率加法、独立事件的概率乘法与古典概型，常与计数原理、统计交汇，是后续随机变量及其分布的基础。 二、近三年真题考点统计 年份 卷型 题号 核心考点 2026 上海卷 填空 互斥事件的概率加法 2026 上海卷 选择 事件的对立关系 2026 上海春考 解答 分层抽样与事件独立性 2025 上海卷 选择 独立事件的乘法公式 2025 北京卷 解答 互斥加法与独立乘法综合 2024 上海春考 选择 独立事件乘法公式 三、高频考点与考查频次 高频考点 考查频次 典型年份与卷型 难度定位 互斥事件加法与对立 2次 2026上海卷（填空、选择各1题） 中 独立事件乘法 3次 2025上海卷、2024上海春考、2026上海春考 中 互斥加法与独立乘法综合 1次 2025北京卷（解答） 中 四、命题趋势与备考策略 1. 互斥加法常态化：互斥事件概率和，注意与独立区分。 1. 独立乘法工具化：独立事件同时发生用乘法。 1. 互斥与独立辨析：互斥看能否同时发生，独立看是否相互影响。 1. 古典概型基础化：数样本点总数与目标事件数。 1. 交汇综合化：常与计数原理、统计抽样结合出解答题。 第二部分 本章知识体系 本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第十章的知识按“随机事件与样本空间—事件关系与运算—古典概型—概率性质与加法—事件独立性”的内在逻辑组织成完整体系，不按考点罗列，重在呈现如何度量随机事件发生的可能性。 一、本章知识网络总览 （一）知识发生主线 本章以“度量随机事件发生的可能性”为主线：先把随机试验抽象为样本空间与随机事件，再用集合关系刻画互斥、对立、包含等事件关系；进而用古典概型数样本点求概率，用加法公式求互斥事件概率，用乘法公式求独立事件概率。整条主线由定性描述走向定量计算，是概率统计的理论基石。 （二）知识网络一览 知识板块 核心对象 一句话记忆 随机事件 样本空间、样本点 必然/不可能/随机 事件关系 包含、互斥、对立 互斥不同时发生 古典概型 有限等可能 P(A)=事件数/总数 概率运算 加法、乘法 互斥加、独立乘 （三）核心概念与性质的联系 联系类型 具体内容 互斥与对立 对立必互斥，互斥不一定对立 概率性质 0≤P(A)≤1，必然事件P=1 加法公式 互斥时P(A∪B)=P(A)+P(B) 乘法公式 独立时P(AB)=P(A)P(B) 二、随机事件与样本空间 （1）随机试验：条件每实现一次称为一次试验，结果事先不能确定。 （2）样本空间Ω：随机试验每个可能结果称为样本点，全体样本点构成样本空间。 （3）随机事件：样本空间的子集，用大写字母A、B等表示。 记忆技巧：样本空间Ω是所有样本点的集合；随机事件是样本空间的子集。 三、事件的关系与运算 （1）包含：若A发生则B发生，记A⊆B。 （2）并事件A∪B（和事件）：A、B至少一个发生；交事件A∩B（积事件）：A、B同时发生。 （3）互斥事件：A、B不能同时发生，即A∩B=∅；对立事件：A、B有且仅有一个发生。 记忆技巧：互斥=不能同时发生；对立=不能同时发生且必有一个发生；独立=互不影响。 四、古典概型 （1）特征：试验中所有可能出现的样本点只有有限个；每个样本点出现的可能性相等。 （2）概率公式：P(A)=事件A包含的样本点数/样本点总数。 记忆技巧：古典概型两特征：样本点有限个、每个样本点等可能；P(A)=A含样本点数/样本点总数。 五、概率的基本性质与运算 （1）性质：0≤P(A)≤1；必然事件P=1，不可能事件P=0。 （2）加法公式：若A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；对立事件P(A)=1-P(B)。 （3）乘法公式：若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。 记忆技巧：互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)；独立用乘法P(AB)=P(A)P(B)。 六、本章知识整合与记忆 （一）知识网络整合 回顾全章，一条主线贯穿始终：样本空间与事件（集合刻画）→事件关系（互斥/对立/独立）→古典概型（数样本点）→概率运算（互斥加、独立乘）。 （二）核心结论速记 内容 核心结论 记忆要点 互斥 A∩B=∅ P(A∪B)=P(A)+P(B) 对立 互斥且必有一个 P(A)=1-P(B) 古典概型 有限等可能 P(A)= 独立 互不影响 P(AB)=P(A)P(B) （三）思想方法渗透 集合思想：用韦恩图刻画事件关系；分类讨论：互斥事件分情况相加；独立判断：独立≠互斥，独立时可同时发生；建模：把摸球、掷骰、射击抽象为古典概型。 第三部分 高考真题突破 本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现 → 变式训练”编排：每个考点先给出【考点解读】指明考查方向与破解关键，再精选近三年高考真题示例规范示范，最后配套变式训练，答案与解析统一见第六部分。 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 【考点解读】本考点考查互斥事件、对立事件与独立事件的判断与区分。破解关键是互斥看“能否同时发生”，独立看“是否相互影响”。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． 　　B． 　　C． 　　D． 解题步骤： ① “A、B至少有一个发生”即事件A∪B，其对立事件为A、B都不发生，即，即选项C。 【答案】C 【知识点睛】① 考点定位：判断事件的对立关系；② 解题方法：看两事件能否同时发生且是否必有一个发生；③ 易错防范：把互斥当对立。 【核心素养体现】逻辑推理——对立事件判断。 【2024年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 　　B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 　　D．事件与事件相互独立 解题步骤： ① 选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； ② 选项B，，，，，B正确； ③ 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，，，，，与不独立，D错误。 【答案】B 【知识点睛】① 考点定位：互斥与独立的判断；② 解题方法：互斥看交集是否空，独立看P(AB)是否等于P(A)P(B)；③ 易错防范：互斥与独立混淆。 【核心素养体现】逻辑推理——互斥与独立辨析。 考点二 古典概型与概率加法公式 【考点解读】本考点考查古典概型概率与互斥事件加法。破解关键是数清样本点总数与目标事件数，互斥事件概率相加。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知事件，互斥，，，则__________． 解题步骤： ① 因为A、B互斥，故。 【答案】0.7 【知识点睛】① 考点定位：互斥事件概率加法；② 解题方法：判断两事件互斥，概率相加；③ 易错防范：把不互斥事件直接相加。 【核心素养体现】数学运算——互斥加法。 考点三 事件的独立性与乘法公式 【考点解读】本考点考查独立事件的乘法公式，常与抽样、综合题结合。破解关键是判断各试验相互独立后用乘法。 【2025年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． 　　B． 　　C． 　　D．0 解题步骤： ① 因为A、B相互独立，故。 【答案】B 【知识点睛】① 考点定位：独立事件的乘法公式；② 解题方法：判断独立后概率相乘；③ 易错防范：把不独立事件直接相乘。 【核心素养体现】数学运算——独立乘法。 【2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷】（水平二·综合） 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 解题步骤： ① （1）[25，35）岁年龄段人数为45，占总体比例为：；采用分层抽样抽取30人，该年龄段应抽取人。 ② （2）取各年龄段组中值加权，150人的平均年龄为：（岁）。 ③ （3）由题可得，，；注意到，故事件A与事件B不相互独立。 【答案】（1）9；（2）；（3）不相互独立。 【知识点睛】① 考点定位：独立性与分层抽样综合；② 解题方法：在（3）问用独立性判断；③ 易错防范：独立条件误用。 【核心素养体现】数据分析——独立性综合。 第四部分 单元方法总结 一、运算技巧 · 互斥用加法：P(A∪B)=P(A)+P(B)，前提是互斥。 · 独立用乘法：P(AB)=P(A)P(B)，前提是独立。 · 对立用补集：P(A)=1-P(B)。 二、图象应用 · 用韦恩图看事件关系：互斥两圆不相交，对立两圆互补。 · 树状图列举等可能样本点。 三、模型应用 · 古典概型：数样本点，P(A)=。 · 摸球、掷骰、射击先判断等可能与独立。 四、易错提醒 · 互斥≠独立：互斥不能同时发生，独立可同时发生且互不影响。 · 对立必互斥，互斥不一定对立。 · 非互斥直接相加：加法公式前提是互斥。 · 非独立直接相乘：乘法公式前提是独立。 · 古典概型漏数：样本点要等可能且不重不漏。 第五部分 变式训练 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 变式1：掷一枚均匀的骰子，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现偶数点”，则A与B（　　） A．是互斥事件但不是对立事件　　B．是对立事件　　 C．既不互斥也不对立　　D．无法判断 变式2：袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中任取一球，记事件A为“取到红球”，事件B为“取到黄球”，则A与B（　　） A．是互斥事件　　B．是对立事件　　 C．既是互斥又是对立　　D．既不互斥也不对立 考点二 古典概型与概率加法公式 变式3：掷一枚均匀的硬币2次，两次都正面朝上的概率是______。 变式4：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，两人下成和棋的概率为0.4，则甲不输的概率为______。 变式5：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为（　　） A．0.2　　B．0.5　　C．0.8　　D．0.15 考点三 事件的独立性与乘法公式 变式6：甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为0.6，乙破译成功的概率为0.5，则两人都破译成功的概率为______。 变式7：某射击手每次命中目标的概率为0.8，各次射击相互独立，则他射击2次都命中目标的概率为______。 变式8：甲、乙两人独立地破译密码，甲破译成功的概率为0.7，乙破译成功的概率为0.8，则两人都未破译成功的概率为______。 变式9：某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.9，各次罚球相互独立，则他罚球2次都命中的概率为______。 第六部分 变式训练参考答案及解析 变式1　【答案】B 解题步骤： ① 事件A（奇数点）与事件B（偶数点）不能同时发生，且必有一个发生， ② 故A与B是对立事件。 ③ 故选B。 【知识点睛】① 考点定位：对立事件判断；② 解题方法：不能同时发生且必有一个发生即为对立；③ 易错防范：互斥与对立混淆。 变式2　【答案】A 解题步骤： ① 事件A（红球）与事件B（黄球）不能同时发生，但袋中还有蓝球， ② 故事件A与B互斥但不对立。 ③ 故选A。 【知识点睛】① 考点定位：互斥事件判断；② 解题方法：两事件不能同时发生即互斥；③ 易错防范：互斥误判为对立。 变式3　【答案】0.25 解题步骤： ① 掷硬币2次共有4种等可能结果，两次都正面朝上只有1种，概率为1÷4=0.25。 ② 故答案为0.25。 【知识点睛】① 考点定位：古典概型求概率；② 解题方法：数样本点总数与目标事件数相除；③ 易错防范：漏数样本点。 变式4　【答案】0.8 解题步骤： ① 甲不输即甲获胜或和棋，二者互斥，概率为0.4+0.4=0.8。 ② 故答案为0.8。 【知识点睛】① 考点定位：互斥事件概率加法；② 解题方法：甲获胜与和棋互斥，概率相加；③ 易错防范：把不互斥事件相加。 变式5　【答案】C 解题步骤： ① 甲不输即甲获胜或和棋，二者互斥，概率为0.3+0.5=0.8。 ② 故选C。 【知识点睛】① 考点定位：甲不输的概率；② 解题方法：甲获胜或和棋互斥，相加；③ 易错防范：漏和棋。 变式6　【答案】0.3 解题步骤： ① 两人独立，都成功的概率为0.6×0.5=0.3。 ② 故答案为0.3。 【知识点睛】① 考点定位：两独立事件同时发生（甲、乙各成功一次）；② 解题方法：先判定独立，再用P(A)·P(B)=0.6×0.5；③ 易错防范：把独立当互斥误用加法。 变式7　【答案】0.64 解题步骤： ① 两次独立都命中的概率为0.8×0.8=0.64。 ② 故答案为0.64。 【知识点睛】① 考点定位：同一射手两次独立射击都命中（命中率0.8）；② 解题方法：两次独立相乘即0.8×0.8；③ 易错防范：只乘一次、漏掉第二次。 变式8　【答案】0.06 解题步骤： ① 甲未成功概率0.3，乙未成功概率0.2，独立，都未成功概率为0.3×0.2=0.06。 ② 故答案为0.06。 【知识点睛】① 考点定位：两人都未成功的概率；② 解题方法：先求各自未成功概率再相乘；③ 易错防范：补事件概率算错。 变式9　【答案】0.81 解题步骤： ① 两次独立都命中的概率为0.9×0.9=0.81。 ② 故答案为0.81。 【知识点睛】① 考点定位：两次独立试验均成功（单次成功率0.9）；② 解题方法：用0.9×0.9；③ 易错防范：误套0.8命中率，须用本题0.9。 1 学科网（北京）股份有限公司 $第十章 概率 2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第二册 第一部分 近三年考情分析 1 一、考情总体定位 1 二、近三年真题考点统计 1 三、高频考点与考查频次 1 四、命题趋势与备考策略 2 第二部分 本章知识体系 2 一、本章知识网络总览 2 二、随机事件与样本空间 3 三、事件的关系与运算 3 四、古典概型 3 五、概率的基本性质与运算 4 六、本章知识整合与记忆 4 第三部分 高考真题突破 5 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 5 考点二 古典概型与概率加法公式 6 考点三 事件的独立性与乘法公式 7 第四部分 单元方法总结 8 一、运算技巧 8 二、图象应用 8 三、模型应用 9 四、易错提醒 9 第五部分 变式训练 9 学业质量水平说明 · 水平一（基础达标）：理解随机事件、样本空间与样本点；掌握事件的关系与运算（互斥、对立）；理解古典概型并会计算；掌握概率的基本性质与加法公式、乘法公式。 · 水平二（综合应用）：能在具体情境中判断事件的互斥与对立，用古典概型、加法公式与乘法公式求概率，能识别两事件的独立性。 核心素养导向 · 数学抽象：把随机试验抽象为样本空间与随机事件，用集合语言刻画概率关系。 · 逻辑推理：由事件的关系与运算推理概率，由独立/互斥选择相应公式。 · 数学运算：准确计算古典概型概率、互斥事件加法与独立事件乘法。 · 直观想象：借助韦恩图、树状图直观理解事件关系。 · 数学建模：把摸球、掷骰子、射击、破译等实际问题抽象为概率模型。 · 数据分析：由频率估计概率，理解概率的统计定义。 第一部分 近三年考情分析 一、考情总体定位 概率是统计的理论基础，研究随机事件发生可能性大小的度量。本章在高考中以选择、填空为主，重点考查互斥事件的概率加法、独立事件的概率乘法与古典概型，常与计数原理、统计交汇，是后续随机变量及其分布的基础。 二、近三年真题考点统计 年份 卷型 题号 核心考点 2026 上海卷 填空 互斥事件的概率加法 2026 上海卷 选择 事件的对立关系 2026 上海春考 解答 分层抽样与事件独立性 2025 上海卷 选择 独立事件的乘法公式 2025 北京卷 解答 互斥加法与独立乘法综合 2024 上海春考 选择 独立事件乘法公式 三、高频考点与考查频次 高频考点 考查频次 典型年份与卷型 难度定位 互斥事件加法与对立 2次 2026上海卷（填空、选择各1题） 中 独立事件乘法 3次 2025上海卷、2024上海春考、2026上海春考 中 互斥加法与独立乘法综合 1次 2025北京卷（解答） 中 四、命题趋势与备考策略 1. 互斥加法常态化：互斥事件概率和，注意与独立区分。 1. 独立乘法工具化：独立事件同时发生用乘法。 1. 互斥与独立辨析：互斥看能否同时发生，独立看是否相互影响。 1. 古典概型基础化：数样本点总数与目标事件数。 1. 交汇综合化：常与计数原理、统计抽样结合出解答题。 第二部分 本章知识体系 本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第十章的知识按“随机事件与样本空间—事件关系与运算—古典概型—概率性质与加法—事件独立性”的内在逻辑组织成完整体系，不按考点罗列，重在呈现如何度量随机事件发生的可能性。 一、本章知识网络总览 （一）知识发生主线 本章以“度量随机事件发生的可能性”为主线：先把随机试验抽象为样本空间与随机事件，再用集合关系刻画互斥、对立、包含等事件关系；进而用古典概型数样本点求概率，用加法公式求互斥事件概率，用乘法公式求独立事件概率。整条主线由定性描述走向定量计算，是概率统计的理论基石。 （二）知识网络一览 知识板块 核心对象 一句话记忆 随机事件 样本空间、样本点 必然/不可能/随机 事件关系 包含、互斥、对立 互斥不同时发生 古典概型 有限等可能 P(A)=事件数/总数 概率运算 加法、乘法 互斥加、独立乘 （三）核心概念与性质的联系 联系类型 具体内容 互斥与对立 对立必互斥，互斥不一定对立 概率性质 0≤P(A)≤1，必然事件P=1 加法公式 互斥时P(A∪B)=P(A)+P(B) 乘法公式 独立时P(AB)=P(A)P(B) 二、随机事件与样本空间 （1）随机试验：条件每实现一次称为一次试验，结果事先不能确定。 （2）样本空间Ω：随机试验每个可能结果称为样本点，全体样本点构成样本空间。 （3）随机事件：样本空间的子集，用大写字母A、B等表示。 记忆技巧：样本空间Ω是所有样本点的集合；随机事件是样本空间的子集。 三、事件的关系与运算 （1）包含：若A发生则B发生，记A⊆B。 （2）并事件A∪B（和事件）：A、B至少一个发生；交事件A∩B（积事件）：A、B同时发生。 （3）互斥事件：A、B不能同时发生，即A∩B=∅；对立事件：A、B有且仅有一个发生。 记忆技巧：互斥=不能同时发生；对立=不能同时发生且必有一个发生；独立=互不影响。 四、古典概型 （1）特征：试验中所有可能出现的样本点只有有限个；每个样本点出现的可能性相等。 （2）概率公式：P(A)=事件A包含的样本点数/样本点总数。 记忆技巧：古典概型两特征：样本点有限个、每个样本点等可能；P(A)=A含样本点数/样本点总数。 五、概率的基本性质与运算 （1）性质：0≤P(A)≤1；必然事件P=1，不可能事件P=0。 （2）加法公式：若A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；对立事件P(A)=1-P(B)。 （3）乘法公式：若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。 记忆技巧：互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)；独立用乘法P(AB)=P(A)P(B)。 六、本章知识整合与记忆 （一）知识网络整合 回顾全章，一条主线贯穿始终：样本空间与事件（集合刻画）→事件关系（互斥/对立/独立）→古典概型（数样本点）→概率运算（互斥加、独立乘）。 （二）核心结论速记 内容 核心结论 记忆要点 互斥 A∩B=∅ P(A∪B)=P(A)+P(B) 对立 互斥且必有一个 P(A)=1-P(B) 古典概型 有限等可能 P(A)= 独立 互不影响 P(AB)=P(A)P(B) （三）思想方法渗透 集合思想：用韦恩图刻画事件关系；分类讨论：互斥事件分情况相加；独立判断：独立≠互斥，独立时可同时发生；建模：把摸球、掷骰、射击抽象为古典概型。 第三部分 高考真题突破 本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现 → 变式训练”编排：每个考点先给出【考点解读】指明考查方向与破解关键，再精选近三年高考真题示例规范示范，最后配套变式训练，答案与解析统一见第六部分。 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 【考点解读】本考点考查互斥事件、对立事件与独立事件的判断与区分。破解关键是互斥看“能否同时发生”，独立看“是否相互影响”。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． 　　B． 　　C． 　　D． 解题步骤： ① “A、B至少有一个发生”即事件A∪B，其对立事件为A、B都不发生，即，即选项C。 【答案】C 【知识点睛】① 考点定位：判断事件的对立关系；② 解题方法：看两事件能否同时发生且是否必有一个发生；③ 易错防范：把互斥当对立。 【核心素养体现】逻辑推理——对立事件判断。 【2024年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础） 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 　　B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 　　D．事件与事件相互独立 解题步骤： ① 选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； ② 选项B，，，，，B正确； ③ 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，，，，，与不独立，D错误。 【答案】B 【知识点睛】① 考点定位：互斥与独立的判断；② 解题方法：互斥看交集是否空，独立看P(AB)是否等于P(A)P(B)；③ 易错防范：互斥与独立混淆。 【核心素养体现】逻辑推理——互斥与独立辨析。 考点二 古典概型与概率加法公式 【考点解读】本考点考查古典概型概率与互斥事件加法。破解关键是数清样本点总数与目标事件数，互斥事件概率相加。 【2026年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知事件，互斥，，，则__________． 解题步骤： ① 因为A、B互斥，故。 【答案】0.7 【知识点睛】① 考点定位：互斥事件概率加法；② 解题方法：判断两事件互斥，概率相加；③ 易错防范：把不互斥事件直接相加。 【核心素养体现】数学运算——互斥加法。 考点三 事件的独立性与乘法公式 【考点解读】本考点考查独立事件的乘法公式，常与抽样、综合题结合。破解关键是判断各试验相互独立后用乘法。 【2025年高考上海卷数学真题】（水平一·基础） 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． 　　B． 　　C． 　　D．0 解题步骤： ① 因为A、B相互独立，故。 【答案】B 【知识点睛】① 考点定位：独立事件的乘法公式；② 解题方法：判断独立后概率相乘；③ 易错防范：把不独立事件直接相乘。 【核心素养体现】数学运算——独立乘法。 【2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷】（水平二·综合） 某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 解题步骤： ① （1）[25，35）岁年龄段人数为45，占总体比例为：；采用分层抽样抽取30人，该年龄段应抽取人。 ② （2）取各年龄段组中值加权，150人的平均年龄为：（岁）。 ③ （3）由题可得，，；注意到，故事件A与事件B不相互独立。 【答案】（1）9；（2）；（3）不相互独立。 【知识点睛】① 考点定位：独立性与分层抽样综合；② 解题方法：在（3）问用独立性判断；③ 易错防范：独立条件误用。 【核心素养体现】数据分析——独立性综合。 第四部分 单元方法总结 一、运算技巧 · 互斥用加法：P(A∪B)=P(A)+P(B)，前提是互斥。 · 独立用乘法：P(AB)=P(A)P(B)，前提是独立。 · 对立用补集：P(A)=1-P(B)。 二、图象应用 · 用韦恩图看事件关系：互斥两圆不相交，对立两圆互补。 · 树状图列举等可能样本点。 三、模型应用 · 古典概型：数样本点，P(A)=。 · 摸球、掷骰、射击先判断等可能与独立。 四、易错提醒 · 互斥≠独立：互斥不能同时发生，独立可同时发生且互不影响。 · 对立必互斥，互斥不一定对立。 · 非互斥直接相加：加法公式前提是互斥。 · 非独立直接相乘：乘法公式前提是独立。 · 古典概型漏数：样本点要等可能且不重不漏。 第五部分 变式训练 考点一 事件的关系与运算（互斥、对立、独立） 变式1：掷一枚均匀的骰子，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现偶数点”，则A与B（　　） A．是互斥事件但不是对立事件　　B．是对立事件　　 C．既不互斥也不对立　　D．无法判断 变式2：袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中任取一球，记事件A为“取到红球”，事件B为“取到黄球”，则A与B（　　） A．是互斥事件　　B．是对立事件　　 C．既是互斥又是对立　　D．既不互斥也不对立 考点二 古典概型与概率加法公式 变式3：掷一枚均匀的硬币2次，两次都正面朝上的概率是______。 变式4：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，两人下成和棋的概率为0.4，则甲不输的概率为______。 变式5：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为（　　） A．0.2　　B．0.5　　C．0.8　　D．0.15 考点三 事件的独立性与乘法公式 变式6：甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为0.6，乙破译成功的概率为0.5，则两人都破译成功的概率为______。 变式7：某射击手每次命中目标的概率为0.8，各次射击相互独立，则他射击2次都命中目标的概率为______。 变式8：甲、乙两人独立地破译密码，甲破译成功的概率为0.7，乙破译成功的概率为0.8，则两人都未破译成功的概率为______。 变式9：某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.9，各次罚球相互独立，则他罚球2次都命中的概率为______。 1 学科网（北京）股份有限公司 $