专题02 表面展开图与圆锥（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题02 表面展开图与圆锥
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 1
题型一、圆锥的侧面积与全面积 1
题型二、反求底面半径与母线 3
题型三、由展开图求圆锥的高 5
题型四、由弧长求圆心角 7
题型五、圆锥的实际应用 10
题型六、圆锥侧面的最短路径 17
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 22
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕圆锥侧面展开为扇形，展开前后弧长相等，以此关联底面半径、母线、圆心角，结合勾股定理求高；圆锥侧面积、全面积分清有无底面；曲面最短路径需沿母线铺平，转化为扇形内两点之间线段求解。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 混淆扇形半径（母线）与圆锥底面半径，代错公式；
2. 计算全面积时，多算或漏掉底面圆；
3. 错用弧长关系，导致底面半径计算出错；
4. 求侧面最短路径不展开，直接在立体图上连线。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、圆锥的侧面积与全面积
典例1（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式，其中是底面半径，是母线长，计算即可得出结果．
【详解】解：圆锥的侧面积为．
解题模板
1．侧面积 S侧＝πrl，全面积 S全＝πrl＋πr²，r 是底面半径、l 是母线长；
2．母线、高、底面半径构成直角三角形，缺哪个先用勾股定理求哪个；
3．题目只给轴截面时，先由轴截面读出 r 与 l，再回到公式，别把轴截面的腰当直径．
变式1-1（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________
【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为，
由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得
解得，
圆锥侧面积为：，
圆锥底面积为：，
因此圆锥的全面积为：．
变式1-2（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：，
则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面积为
，
该圆锥的表面积是．
故答案为：．
变式1-3已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故选：A．
题型二、反求底面半径与母线
典例2（2025·广东广州·一模）如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质和扇形的面积公式．
先根据正方形的性质和扇形面积公式求出扇形的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长即可求出r，再用正方形的面积减去扇形的面积和圆的面积即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴扇形的面积为，
设围成圆锥的底面圆的半径为r，则
，
解得：，
∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为．
故答案为：．
解题模板
1．展开前后弧长不变：扇形弧长＝底面圆周长，即 ＝2πr；
2．展开前后面积不变：扇形面积＝侧面积，即 ＝πrl；
3．从纸片上剪扇形与圆“恰好”围成圆锥，意味着扇形的弧长正好等于圆的周长，据此列方程．
变式2-1（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为___________．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】设圆锥底面半径，，
又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
所以，解得，即圆锥母线长，
所以该圆锥的高，
解得．
故答案为：．
变式2-2（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．12 C．6 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长，依此列出方程即可．
【详解】解：设母线长为，
根据题意得，，
解得，
该圆锥的母线长为12．
故选：B．
变式2-3已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查圆锥，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆周长，以及侧面扇形公式列方程求解即可．
【详解】解：设底面半径为r，圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
∵圆锥的侧面积为，母线长为4，
∴侧面弧长为：，整理得，
圆锥的侧面积为，
解得：，
故选：A．
题型三、由展开图求圆锥的高
典例3（25-26九年级上·浙江杭州·期末）将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________．
【答案】
【分析】先利用扇形面积公式求出扇形弧长，该弧长等于圆锥底面圆周长，据此求出底面圆半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可．
【详解】设展开后扇形的弧长为，已知圆锥母线长，扇形面积，
根据扇形面积公式，代入得：
，
解得．
扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则
，
解得．
圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为：
．
解题模板
1．由展开图读出扇形半径（即母线 l）与圆心角，先由弧长公式求 r；
2．再用 l²＝r²＋h² 求高，注意高是“立体量”，不能直接在展开图上量；
3．体积不变类问题（锻造、熔铸）先由 V＝ 建立等量关系，再反求高．
变式3-1（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？
【答案】这个圆锥的高是分米
【分析】此题考查了圆锥与正方体的体积；根据正方体的体积公式求出正方体的体积，又因为把正方体熔铸成圆锥，说明体积是相等的；再根据圆锥的体积公式，代入数据求出高即可．
【详解】由题意知，圆锥体积正方体体积：
(分米)
答：这个圆锥的高是分米．
变式3-2如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可．
【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
∴ ．
变式3-3用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的高跟底面圆半径以及母线构成直角三角形，即可求解．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得，
圆锥的母线长为，
圆锥的高为．
故答案为：．
题型四、由弧长求圆心角
典例4（2026·浙江台州·三模）底面半径为1的圆锥母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角为________．
【答案】90
【分析】圆锥底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长，结合扇形弧长公式即可求解圆心角度数．
【详解】解：设侧面展开图扇形的圆心角为，圆锥底面半径，母线长．
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，可得弧长．
由扇形弧长公式，代入得：
约去后整理得，
解得．
解题模板
1．由 2πr＝ 得 n＝，n 的单位是度，别与弧度混用；
2．绕直角边旋转成圆锥时，先判断绕哪条边转，再定 r 与 l 分别是哪条边；
3．展开图上求两点距离，先算圆心角，再把这三点放进同一个扇形中用勾股或余弦定理．
变式4-1（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为，
圆锥侧面展开图的扇形的弧长是，
圆锥底面圆的半径的长为，
圆锥底面圆的周长是，
由题意可得：，
解得：．
故选：D．
变式4-2（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为，
由题意得，，
∴，
如图所示，在扇形中，，
过点M作于D，
∴，
∴，
∴，
∴在展开图中，之间的距离为，
故选：D．
变式4-3如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为____________°．
【答案】/度
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．设其侧面展开扇形的圆心角为度，则，代入数据即可求解．
【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，
由题知，，
解得，
其侧面展开扇形的圆心角为．
题型五、圆锥的实际应用
典例5（2026·浙江杭州·二模）假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围．
【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高，
∴圆锥的底面积：，
∴圆锥体积：，
圆锥体积不变，
，
整理得，
是关于的反比例函数，比例系数，
当时，随的增大而减小，
∵，
当时，取得最大值，为，
当时，取得最大值，为，
此底面积的取值范围为．
解题模板
1．先判断“要不要底”：帽子、灯罩、纸杯一般无底，粮堆、凉亭、帐篷还要加底面圆；
2．实际数据先统一单位，再代入公式，最后按题意取近似值并写清单位；
3．“体积不变、用料最省”一类，先写出等量关系再求最值，别急着套公式．
变式5-1（2026·广东珠海·一模）综合与实践
【主题】探究圆与扇形关系．
【材料】半径为的纸片若干．
【探索】
(1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______；
(2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形．
①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积；
②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，由，得到为直径，，再根据，则，解直角三角形即可求解；
（2）①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r，根据，求出，结合，求出，利用勾股定理求出，最后由圆锥的体积公式代入数据计算即可；②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J，利用切线的性质证明，求出，设半径为，则，根据，建立方程求解，并检验即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∴，
∴为直径，则，
在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的扇形，
∴，则，
在中，，
∴，
∴扇形的半径为；
（2）解：①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J，
∵与扇形两边相切于I，J，，
∵，
∴，
∴，
设半径为，则，
∵，
∴，
解得，检验，当时，原分式方程有意义，
∴的半径为．
变式5-2（25-26九年级上·北京昌平·期末）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是______．
①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；
②；
③点到的距离为；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．
【答案】①②③
【分析】①设圆心为O，连接，，根据切线的性质求出的度数，再根据圆周角定理可得出的度数，则可判断正误；②先证得平分，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得的长度；③利用垂径定理求得点O到的距离，取的中点Q，的中点为M，点到的距离为，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断．
【详解】解：①如图1，设圆心为O，连接，，，，，
由切线性质，得，，故．
在四边形中，，，则圆心角．
由图可知点一直在优弧上，∴．∴①正确．
②∵，，，
∴平分，
∴，
在中，，则，
同理，．
∴，故②正确．
③如图2，取的中点Q，的中点为M，
∵，，
∴，
正方形边长为，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点都在对称轴上，
∴点P到的距离即的长度，
∵，
∴．
∴．
故③正确．
④如图3，
圆锥的母线长，
设圆锥底面圆心为，且在上，
在直角三角形中，．
∴圆锥底面周长，
根据弧长公式，，即
因此展开图是圆心角为的扇形，不是．
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，勾股定理等，综合性很强，清楚各线段之间的关系是解题的关键．
变式5-3在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)
如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，
则围成的圆锥形的侧面积．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：，
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
(2)
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
（2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）略
（2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，
圆心角为，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积．
题型六、圆锥侧面的最短路径
典例6（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出扇形的圆心角，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长．
【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，设，
根据题意得，
解得 ，
∴，
∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为．
解题模板
1．把侧面沿母线剪开展成扇形，曲面上的最短路径就化为扇形中两点间的线段；
2．先由 n＝ 求圆心角，再把起点、终点放到同一扇形里，注意“绕一周”要加上整圈；
3．展开后两点分居扇形两侧时，用勾股定理或余弦定理求弦长，最后回到原题写单位．
变式6-1综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点．
(1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ．
(2)问题提出：求证：．
(3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）
【答案】(1)
(2)
证明：由（1）得：，
；
(3)彩带长度的最小值为．
【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角；
（2）根据（1）即可证明结论；
（3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值．
【详解】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
，
，
，，
，
经过的中点，
，
，
与OB的夹角为，
故答案为：，；
（2）略
（3），，
，
圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图，
，
，
连接，即为彩带长度的最小值，
，，
由勾股定理得：，
彩带长度的最小值为．
【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
变式6-2已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．
【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
∵点B是母线PA的中点，，
∴，
∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
又∵圆锥底面半径为1，
∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，
由弧长公式可得：
∴扇形的圆心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：C．
【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．
变式6-3如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________．
【答案】
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
∵点C为圆锥母线的中点，
∴，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故答案为：．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
压轴1如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体积、圆锥侧面积和勾股定理，根据大圆柱柱的底面周长为和可求得圆柱的高，再结合小圆柱的体积为可求得小圆柱的底面半径，从而求得圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式解题即可．
【详解】解：大圆柱的底面周长为，
大圆柱的底面半径，
，
大圆柱的高，
又小圆柱的体积为，
小圆柱的底面面积为，
小圆柱的底面半径，
小圆柱中放了一个最大的圆锥，
圆锥的母线长，
该圆锥的侧面积为，
故选：A．
压轴2（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体以及勾股定理，将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长，
所以圆锥的侧面积．
故选：B．
压轴3如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形弧长及圆锥底面半径，掌握扇形弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．
压轴4已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm2
A．130π B．120π C．65π D．60π
【答案】C
【分析】由圆锥的面积公式(表示圆锥的母线长，表示圆锥的底面周长)计算可以得到答案．
【详解】解：∵圆锥的底面半径r为，高线长为，
∴圆锥的母线长为，
圆锥的底面周长为，
∵圆锥的侧面积，
∴圆锥的侧面积．
故选：C．
【点睛】本题考查的圆锥的侧面积计算，掌握圆锥的侧面积是圆锥的侧面展开图－扇形的面积是解题的关键．
压轴5（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：．
压轴6（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，．
(1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
【答案】(1)答案见解析
(2)①；② 2
【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C；
（2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可．
【详解】（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求；
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
压轴7从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的母线、底面半径和高的关系，圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，圆锥的体积，熟练掌握圆锥的相关计算公式是解题的关键．圆锥的母线、底面半径和高的关系：；圆锥侧面展开图的圆心角计算公式：；圆锥的体积是．连结，，证明是等边三角形，继而求得的长，然后利用圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，求出底面半径，根据母线、底面半径和高的关系，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可作答．
【详解】连结，，
，为半径，
，
是等边三角形，
，
即圆锥的母线长，
，
，
，
，
，
解得，
，
即该圆锥的体积为．
故答案为：．
压轴8（2026·浙江温州·模拟预测）《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形，，点O为底面圆心，直径为6，高为．过点O作交于点D，沿的方向切割圆锥会得到形状为抛物线的截线，该截线交底面于，D为抛物线顶点．
(1)求的长．
(2)正方形的顶点G，H在该抛物线上，点M，N在上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形的面积．
【答案】(1)
(2)，9
【分析】（1）根据题意可得，，，勾股定理求出，证明，即可得．
（2）以的中点O为原点，为x轴，垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则顶点，求出抛物线的表达式，设，则点，代入抛物线表达式中，求出，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得，，，
，
，，
，
，
．
（2）解：以的中点O为原点，为x轴，垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，
，
∴顶点，
设抛物线的表达式为，
将点代入得，，解得，
．
设，则点，代入抛物线表达式中，得，
解得（舍去负值），
∴，，
∴正方形的面积为9．
压轴9（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面．
(1)该圆锥的底面圆的半径为______cm；
(2)已知矩形纸片的边长分别为，
（i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．
①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；
②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．
（ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)5
(2)
（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，
理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点
，
是等边三角形
在中，
在四边形中，
四边形是矩形
、
能剪出作为圆锥底面的圆形纸片；
②示意图如图所示，
；
（ii）
【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可；
（2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可；
②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可；
（ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，，
解得
故答案为：；
（2）（i）①略
②此时；
如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G，
则，，
在中，
；
（ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图，
此时，
此时；
情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图，
、
此时
．
【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键．
压轴10（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽．
(1)求该纸帽的底面半径．
(2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可；
（2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为，
设该纸帽的底面半径为，
∴，
解得；
（2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，
此时，，，
∴丝带的最短长度为的长度，
∵，
∴为等边三角形，
∴根据三线合一得，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴丝带的最短长度为．
【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质．
压轴11（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；
故答案为两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为，
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，
圆锥的底面周长为，
，
解得：，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
蚂蚁爬行的最短距离为．
压轴12【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；
（2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解．
【详解】（1），，
，
，
扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
,
彩带长度的最小值为．
压轴13（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高，
∴母线长，
∴该模型的侧面积为．
故选：B．
压轴14如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____cm．
【答案】3．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：n＝180，
即展开后∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：BP＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
压轴15（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为______．
【答案】
【分析】先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质求得，然后利用线段差求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出，接着利用邻补角的意义求得，再利用弧长公式求得圆锥的底面的半径．
【详解】解：连结，设该圆锥的底面圆半径为，
∵与边相切，切点为，
∴，，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，求圆锥底面半径，含有30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，根据切线性质利用含有30度角的直角三角形的性质求出是解题关键．
压轴16（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______．
【答案】
【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．
【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ，
∴，
连接、设的中点为，连接，根据题意知 ，
∵,
∴是直径，
∴，
在中，，
即扇形的对应半径，
弧长，
设圆锥底面圆半径为r，则有，
解得：．
压轴17（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键．
（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积；
（2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
在中，，，，
则由勾股定理可得；
圆锥底面圆的周长为，
圆锥侧面积为；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知侧面积为，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数，
，
解得，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为．
压轴18如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有．
如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3．
(1)求该圆锥侧面展开图的面积；
(2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比．
【答案】(1)
(2)上下两部分体积的比为
【分析】本题考查了勾股定理、扇形面积、圆锥体积，关键是勾股定理及面积相等关系的应用．
（1）由得：，代入数值即可求解；
（2）绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，由勾股定理及面积关系可求得；由勾股定理求得，进而求得，再由面积关系可求得；绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥，下面部分用大圆锥体积减去这两个圆锥体积的和，即可求得两部分体积比．
【详解】（1）解：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长为，
由，得；
即该圆锥侧面展开图的面积为；
（2）解：绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，如图，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴；
由勾股定理得，则；
∵，
∴；
∵绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥，
∴上面部分体积为：，
下面部分体积为：，
∴
．
压轴19（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径，
(1)求圆锥的侧面积；
(2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________；
(3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________；
【答案】(1)
(2)8，
(3)
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理，熟练掌握圆锥的侧面展开图、弧长公式及勾股定理是解题的关键；
（1）根据圆锥的侧面积公式可进行求解；
（2）根据弧长公式及圆锥的侧面展开图的特征可进行求解；
（3）根据圆锥的侧面展开图及两点之间线段最短可进行求解．
【详解】（1）解：根据圆锥侧面积公式可得：；
（2）解：由圆锥侧面展开图可知：圆锥侧面展开图所在扇形的半径即为圆锥母线长，即为8；
弧长为底面圆的周长，即为；
故答案为8，；
（3）解：圆锥侧面展开图如下所示：
连接，交于点C，连接，如图所示：
∴即为小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B的最小路径长，
设侧面展开图的圆心角为，根据（2）可得：，
解得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
压轴20（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接．
(1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留）
(2)求的长度；
(3)直接写出的外接圆半径的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知识，添加适当的辅助线是关键．
（1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案；
（2）利用勾股定理求出，再根据垂径定理得到是的中位线，即可求出答案；
（3）证明在以为直径的圆上，即可求出的外接圆半径的值．
【详解】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是
（2）连接，
∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（3）连接，
∵于点，于点，
∴，
∴在以为直径的圆上，
∴的外接圆半径的值为．
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专题02 表面展开图与圆锥
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 1
题型一、圆锥的侧面积与全面积 1
题型二、反求底面半径与母线 2
题型三、由展开图求圆锥的高 3
题型四、由弧长求圆心角 4
题型五、圆锥的实际应用 5
题型六、圆锥侧面的最短路径 6
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 8
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕圆锥侧面展开为扇形，展开前后弧长相等，以此关联底面半径、母线、圆心角，结合勾股定理求高；圆锥侧面积、全面积分清有无底面；曲面最短路径需沿母线铺平，转化为扇形内两点之间线段求解。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 混淆扇形半径（母线）与圆锥底面半径，代错公式；
2. 计算全面积时，多算或漏掉底面圆；
3. 错用弧长关系，导致底面半径计算出错；
4. 求侧面最短路径不展开，直接在立体图上连线。
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、圆锥的侧面积与全面积
典例1（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________．
解题模板
1．侧面积 S侧＝πrl，全面积 S全＝πrl＋πr²，r 是底面半径、l 是母线长；
2．母线、高、底面半径构成直角三角形，缺哪个先用勾股定理求哪个；
3．题目只给轴截面时，先由轴截面读出 r 与 l，再回到公式，别把轴截面的腰当直径．
变式1-1（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________
变式1-2（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____．
变式1-3已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
题型二、反求底面半径与母线
典例2（2025·广东广州·一模）如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π）
解题模板
1．展开前后弧长不变：扇形弧长＝底面圆周长，即 ＝2πr；
2．展开前后面积不变：扇形面积＝侧面积，即 ＝πrl；
3．从纸片上剪扇形与圆“恰好”围成圆锥，意味着扇形的弧长正好等于圆的周长，据此列方程．
变式2-1（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为___________．
变式2-2（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．12 C．6 D．18
变式2-3已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
题型三、由展开图求圆锥的高
典例3（25-26九年级上·浙江杭州·期末）将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________．
解题模板
1．由展开图读出扇形半径（即母线 l）与圆心角，先由弧长公式求 r；
2．再用 l²＝r²＋h² 求高，注意高是“立体量”，不能直接在展开图上量；
3．体积不变类问题（锻造、熔铸）先由 V＝ 建立等量关系，再反求高．
变式3-1（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？
变式3-2如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
变式3-3用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
题型四、由弧长求圆心角
典例4（2026·浙江台州·三模）底面半径为1的圆锥母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角为________．
解题模板
1．由 2πr＝ 得 n＝，n 的单位是度，别与弧度混用；
2．绕直角边旋转成圆锥时，先判断绕哪条边转，再定 r 与 l 分别是哪条边；
3．展开图上求两点距离，先算圆心角，再把这三点放进同一个扇形中用勾股或余弦定理．
变式4-1（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
变式4-2（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
变式4-3如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为____________°．
题型五、圆锥的实际应用
典例5（2026·浙江杭州·二模）假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______．
解题模板
1．先判断“要不要底”：帽子、灯罩、纸杯一般无底，粮堆、凉亭、帐篷还要加底面圆；
2．实际数据先统一单位，再代入公式，最后按题意取近似值并写清单位；
3．“体积不变、用料最省”一类，先写出等量关系再求最值，别急着套公式．
变式5-1（2026·广东珠海·一模）综合与实践
【主题】探究圆与扇形关系．
【材料】半径为的纸片若干．
【探索】
(1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______；
(2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形．
①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积；
②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径．
变式5-2（25-26九年级上·北京昌平·期末）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是______．
①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；
②；
③点到的距离为；
④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．
变式5-3在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
题型六、圆锥侧面的最短路径
典例6（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
解题模板
1．把侧面沿母线剪开展成扇形，曲面上的最短路径就化为扇形中两点间的线段；
2．先由 n＝ 求圆心角，再把起点、终点放到同一扇形里，注意“绕一周”要加上整圈；
3．展开后两点分居扇形两侧时，用勾股定理或余弦定理求弦长，最后回到原题写单位．
变式6-1综合与实践
问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点．
(1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ．
(2)问题提出：求证：．
(3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图）
变式6-2已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
变式6-3如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
压轴1如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
压轴2（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
压轴3如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
压轴4已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm2
A．130π B．120π C．65π D．60π
压轴5（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______．
压轴6（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，．
(1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
压轴7从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为____________．
压轴8（2026·浙江温州·模拟预测）《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形，，点O为底面圆心，直径为6，高为．过点O作交于点D，沿的方向切割圆锥会得到形状为抛物线的截线，该截线交底面于，D为抛物线顶点．
(1)求的长．
(2)正方形的顶点G，H在该抛物线上，点M，N在上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形的面积．
压轴9（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面．
(1)该圆锥的底面圆的半径为______cm；
(2)已知矩形纸片的边长分别为，
（i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．
①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；
②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．
（ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围．
压轴10（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽．
(1)求该纸帽的底面半径．
(2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度．
压轴11（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
压轴12【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
压轴13（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
压轴14如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____cm．
压轴15（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为______．
压轴16（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______．
压轴17（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
压轴18如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有．
如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3．
(1)求该圆锥侧面展开图的面积；
(2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比．
压轴19（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，已知圆锥母线长，底面圆的半径，
(1)求圆锥的侧面积；
(2)该圆锥侧面展开扇形的半径___________；扇形的弧长___________；
(3)若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长为___________；
压轴20（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接．
(1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留）
(2)求的长度；
(3)直接写出的外接圆半径的值．
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