专题02 解直角三角形及其应用（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题二 解直角三角形及其应用
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作高化归：斜三角形拆成两个直角三角形
题型二、构造与补形：不规则图形的边长与面积
题型三、仰角俯角与多步测量方案
题型四、方位角与航行定位
题型五、坡度坡比与工程实际
题型六、生活器具与路径长问题
题型七、连杆机构与可调装置
题型八、工程装置中的平行与拉线
题型九、连续两次求解与方案比较
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题解直角三角形实际应用的核心是构造直角、转化边角：通过作高、补形把实际情景抽象为直角三角形，理清仰角俯角、方位角、坡度的含义，借助三角函数建立线段关系，分步列式求解并做好方案对比。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 折叠题不标折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分；
2. 旋转题忘记旋转角相等，导致对应边找错；
3. 圆里求三角函数值时，直接在非直角三角形中套定义；
4. 菱形、正多边形题不先算出内角，就去列边角关系。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作高化归：斜三角形拆成两个直角三角形
典例1 （2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上的中点．
(1)求线段的长．
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）过点A作于点E，利用三角函数可计算出，，计算出，利用勾股定理计算出即可；
（2）利用正切函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
在中，
，，
∵，点D是边上的中点，
∴，
∴
在中，
．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
在中，．
解题模板
1.斜三角形一律作高拆成两个直角三角形，高落在形内；钝角三角形作在形外，用补角;
2.设高为 h，在两个直角三角形里各写一次，用同一个 h 列方程解出;
3.钝角情形记住 sin(180°－α)＝sinα，cos(180°－α)＝－cosα，此为额外补充公式。
变式1-1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______．
【答案】或
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识点．
分情况讨论，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质得到，通过证明，得到，通过证明是的中位线得到，根据勾股定理得到，进而得到，，继而得到；当点在之间时，同理得到．
【详解】解：情况一，如图，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
情况二，如图，当点在之间时，过点作于点，过点作于点，
由情况一可知，，，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
变式1-2 （2026·浙江杭州·二模）小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．）
【答案】1.2
【分析】利用得到，，分别用正切求出、，线段差．
【详解】解：已知，米，
在中，，
，
米，
在中，，
，
米，
米．
变式1-3 （2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．
如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图．
图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为．
(1)求盲区中线段的长．
(2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）．
【答案】(1)盲区中线段的长约为
(2)
解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下：
如图，过点作交于点，
根据题意可得四边形为矩形，
，
在直角三角形中，，
，
在直角三角形中，，
，
驾驶员不能看到障碍物．
【分析】（1）解直角三角形即可解答；
（2）过点作交于点，计算的长度，比较即可．
【详解】（1）解：在直角三角形中，，
答：盲区中线段的长约为；
（2）略
题型二、构造与补形：不规则图形的边长与面积
典例2 （2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，．
(1)求点到的距离．
(2)求的长．
（，，，结果精确到0.1）
【答案】(1)点到的距离米
(2)的长米
【分析】（1）过点作，然后根据三角函数进行求解即可；
（2）由（1）可知：米，进而根据三角函数进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作，如图所示：
在中，，米，
∴（米）；
答：点到的距离米．
（2）解：由（1）可知：米，
在中，，
∴米，
在中，，米，
∴米，
∴米；
答：的长米．
解题模板
1.不规则图形先补成矩形或直角三角形，用"大面积－小面积"求;
2.求线段长优先作垂线造直角，把已知角放进直角三角形;
3.面积别忘了两边夹一角：S＝ab·sinC。
变式2-1 （25-26九年级上·浙江舟山·期末）为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息．
信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称．
信息2：经测量得到，，，．
任务（1）：求文化长廊最大宽度的长；
任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离．
（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，轴对称的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形．
（1）作，，垂足分别为F，H，可得，由，求出，证明 ，则，再证明四边形是矩形，则，故；
（2）作于点G，则，可求得，由，求出，由，求出，再由文化长廊最高点E到地面的距离求解即可．
【详解】解：（1）作，，垂足分别为F，H，
由题意得，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴文化长廊最大宽度的长．
（2）作于点G，由题意得，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴文化长廊最高点E到地面的距离．
变式2-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用等知识点．
根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形，由已知得，过A作于E，由勾股定理可求的长度，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，记为菱形，则，
过A作于E，则，
设，
∵，
∴，
∴，
∴重叠部分的面积是：．
故选：D．
变式2-3 （24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，等腰三角形中，，记顶角为，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点
(1)若，求的度数．
(2)若，，求直径的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．
（1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，根据圆周角定理求得，进而求得，即可求解；
（2）设，则，根据勾股定理可得，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解．
【详解】（1）解：连接，，
以腰为直径作半圆，
，
为，，
，
，
的度数为；
（2）解：，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，解得负值舍去，
，
直径的长为
题型三、仰角俯角与多步测量方案
典例3 （2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．）
【答案】744米
【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题．
【详解】解：在中，（米），
在中，（米），
由题意可知，四边形为矩形，
∴米，
∴（米）
答：山高为744米．
解题模板
1.先画示意图：水平线、视线、铅垂线三件套，仰角在水平线上方、俯角在下方;
2.两个观测点在同一铅垂线上时，两段高共用一个直角边，据此列方程;
3.结果按题目要求取近似值并带单位（如精确到 0.1 m）。
变式3-1 （25-26九年级下·浙江·单元复习）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量镇远楼的高度
测量示意图
如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且
测量数据
的度数
的度数
的长度
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，，
【答案】镇远楼的高度为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出、的长，从而可以计算出的长．
【详解】解：，，，，
，，
，
答：镇远楼的高度为．
变式3-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题．
小组名称
勤学小组
思辨小组
测量工具
自制测倾仪，皮尺
皮尺
测量示意图
测量方案及数据
如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为
如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合
计算
……
……
(1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：）
(2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可得四边形为矩形，，，可以求解；
（2）可得四边形为矩形，证明，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设交于H点，如图1，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
答：灯笼的高度为；
（2）解：过E点作于M点，延长交于N点，如图，
，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
变式3-3 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图所示，在浙江磐安海拔米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动．图为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角为，随后沿着坡度的斜坡行走了米到达地面点，接着沿水平方向向左行走约米，抵达摩天轮最低点的正下方点处．经测量，约为米．
(1)求观景台到地面的高度．
(2)求摩天轮的直径．（参考数据：，，，，结果精确到米．）
【答案】(1)观景台高度为米；
(2)摩天轮直径为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题、坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（）过作于，则，由的坡比是，则，设，则，由勾股定理得，即，求出即可；
（）过作于，于，则，则有四边形是矩形，所以，由，即，求得米，最后通过线段的和与差即可求解．
【详解】（1）解：过作于，则，
∵的坡比是，
∴，
设，则，
由勾股定理得，得，
解得，
∴（米），
答：观景台高度为米；
（2）解：过作于，于，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，即，
∴，
所以，
所以（米），
答：所以摩天轮直径为米．
题型四、方位角与航行定位
典例4 （24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．
(1)求处到灯塔的距离；
(2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
【答案】(1)海里
(2)
有触礁的危险，理由如下：
过作交的延长线于点，
（海里），，
（海里），
，
若该船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，，
（海里），
，
，
（海里），
故处到灯塔的距离为海里；
（2）略
解题模板
1.方位角从正北或正南起算，先画十字准星再标角;
2.航行问题先把"速度×时间"换成距离，再进三角形;
3.判断是否触礁，比较点到航线的最短距离（垂线段）与危险半径。
变式4-1 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达岛完成任务．已知军舰位于市的南偏东方向上的处，且在岛的北偏东方向上，市在岛的北偏东方向上，且距离岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行．（参考数据：，，，）
(1)求出和的大小；
(2)我方军舰大约需要多长时间到达岛？
【答案】(1)，
(2)我方军舰大约需要小时到达岛
【分析】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据方向角的定义，角的和差即可求解．
（2）过点作于点，设，利用正切的定义表示出、，列出方程，解方程即可得，再根据所对的直角边为斜边的一半．
【详解】（1）解：∵在岛的北偏东方向上，市在岛的北偏东方向上，
∴，岛在市的南偏西方向上，
又∵处位于市的南偏东方向上的，
∴，
（2）解：过点作于点，设，
在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：我方军舰大约需要小时到达岛．
题型五、坡度坡比与工程实际
典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中．
(1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？
(2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）．
【答案】(1)上升了厘米
(2)厘米
【分析】（1）根据坡比的定义进行计算即可；
（2）设楔子从P点开始前进的距离为，表示出两个木桩上升的高度，然后建立方程并求解即可．
【详解】（1）解：，
答：木桩①上升了2厘米．
（2）解：设楔子从P点开始前进的距离为，
根据题意，可得：，
解得，
答：两个木桩之间的施工预留水平间隙为厘米．
解题模板
1.坡度 i＝铅直高∶水平宽，坡角 α 满足 tanα＝i;
2.加宽、削坡题要画两个截面对比，用同一高度列方程;
3.注意"坡长"是斜面长度，需由勾股定理算出。
变式5-1 （2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米．
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质以及已知条件得到，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，然后根据线段的和差求出，再解直角三角形求出，最后求得即可．
【详解】解：正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
变式5-2 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）．
【答案】古树的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则，
，即，
设，则，
在中，，
，
∵，
．
，，
，
，
，
．
答：古树的高度约为．
变式5-3 （24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行，通道水平宽度为米，，通道斜面的长为米，通道斜面的坡度．
(1)求通道斜面的长；
(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，根据已知得出，则，再解，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出即可解答；
（2）先解，求出，得出，再根据即可求解．
【详解】（1）解：如下图，过点作于点，过点作于点，
，
，
在中，，，
，
，
通道斜面的坡度，
，
，
，
所以通道斜面的长为米；
（2）解：在中，，，，
，
，
，
所以此时的长为米．
题型六、生活器具与路径长问题
典例6 （2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
【答案】
【分析】作，根据三角函数计算即可．
【详解】解：如图，作，
∵，，
∴．
解题模板
1.把实物抽象成三角形或圆：扶手、楼梯、晾衣架先找直角;
2.路径长分段计算，每段都要说明在哪个直角三角形里;
3.结果按题目要求保留有效数字。
变式6-1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，．
(1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
(2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为．
（2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为．
【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形．
在中，，，．
，
．
在中，，，．
，
．
．
（2）解：在中，，，．
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，
．
由题可知．
在中，，，
，
．
琴码垫高的高度为．
变式6-2 （2026·浙江杭州·二模）摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】过点B作于点C，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，再根据计算即可．
【详解】解：过点B作于点C，
，
在中，，，
，
点A为最低点，
为竖直方向半径，
小慧在竖直方向上升的高度为：．
变式6-3 （2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)米
(2)此儿童在“安全高度”范围内
【分析】（1）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出h；
（2）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出，再判断是否安全范围．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米．
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内．
题型七、连杆机构与可调装置
典例7 （2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，．
(1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度．
(2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）．
（参考值：，，）
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）根据三角函数求出的值，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可；
（2）过点A作于点M，根据三角函数求出，
，进而求出，即可求出桌面的倾斜度．
【详解】（1）解：由题意可知：在中，，
．
，，
，
；
（2）解：过点A作于点M．
在中，，，
，
，
，
．
解题模板
1.连杆题先标固定点与转轴，把可动部分看成绕定点旋转;
2.用"杆长不变"列等量关系，把角度变化翻译成边长变化;
3.求最值时看角取端点值时线段最长或最短。
变式7-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1是某公司年度销售量第一的婴儿车实物图，主要由拉杆、底座和座椅三部分组成，图2是该款婴儿车的侧面简化示意图，其中为拉杆部分，拉杆长度有三档可调节，即拉杆顶端可以伸缩至A点、B点或C点（A、B、C三处的位置分别对应A档、B档和C档），以适应不同高度的推车者，已知与水平面的夹角为，点O距离水平地面l的高度为，，，．
(1)当拉杆长度调节至C档时，求拉杆顶端距离水平地面l的高度．
(2)当推车者的手掌高度与腰部平齐时，是推车者最舒适的姿态．已知朵朵妈妈的腰部距离地面高度为，那么她在使用该款婴儿车时，应将拉杆长度调节至哪一档最舒适？请回答并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
应调节至B档最舒适，
理由：设拉杆顶端距离O点的长度为，对应的顶端距离地面高度为，
同理可得，
当时，，
解得，
计算各档拉杆顶端到O点的长度：
C档：，
B档：，
A档：，
其中B档的最接近，
∴应调节至B档最舒适．
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质及实际问题中的数学建模．
（1）过点C作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，得出四边形是矩形，从而得到，，利用解直角三角形得出的值，进而求得拉杆顶端C距离水平地面的高度；
（2）设拉杆顶端距离O点的长度为，对应的顶端距离地面高度为，得出表达式，将代入求得x的值，再分别计算A档、B档时拉杆顶端距离地面的高度，最后通过比较x的值得出结果．
【详解】（1）解：如图，过点C作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴拉杆顶端C距离水平地面的高度为：
．
（2）略
变式7-2 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．）
(1)求的长．
(2)如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）求出的大小，根据解题即可；
（2）延长交于点M，当，，所画圆的半径最小，进而解题．
【详解】（1）解：∵，F为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点M，
，，，
，，
在中，，
当，，所画圆的半径最小，
∴，
即所画圆半径最小为．
变式7-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架厘米，支架底座，灯杆厘米，灯管厘米，灯杆可绕点D旋转，灯管可绕点E旋转（参考数据：，．
(1)当，，求点F到桌面的距离（结果精确到厘米）．
(2)当灯杆绕点D旋转时，保持，求点F到桌面的最大距离和此时的度数．
【答案】(1)cm；
(2)点F到桌面的最大距离是cm，此时的度数．
【分析】（1）由题可知四边形是矩形，进而可知，根据锐角三角函数可知，的长度；
（2）当F，D，C三点共线时，点F到桌面的距离最大，可知，即可求出．
【详解】（1）延长交于点G，过点F作，M为垂足，过点D作，与，交于点N，H，
∵支架底座，厘米，灯杆厘米，灯管厘米，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴点F到桌面的距离是cm；
（2）连接，
当F，D，C三点共线时，点F到桌面的距离最大，
∵，，
∴，根据勾股定理得，
∴当F，D，C三点共线时，，此时，
故点F到桌面的最大距离是cm，
此时的度数．
题型八、工程装置中的平行与拉线
典例8 （2026·浙江·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上．
【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6）
图③是某小组的设计示意图，其中，，米．
【问题解决】
(1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
(2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）因为，已知长度和的值，所以过B作的垂线，利用直角三角形三角函数关系和勾股定理求出的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知长度为矩形另一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积；
（2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B点且落在O点，据此建立几何关系，过B作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角，利用直角三角形三角函数求出B点到地面的高度，再求出A点的最大高度；
【详解】（1）解：过点作于点，
∵，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴在中，，
∴，
∴，
∴所需挡雨板的面积为（平方米）．
（2）连接，
若，
∵与平行，
则在中，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∴点A离地面距离不能超过米．
解题模板
1.题目说"平行"就立刻找内错角、同位角把角搬过去;
2.拉线、支撑杆看成直角三角形的斜边，用 sin、cos 求长度;
3.多根杆件时逐个三角形求解，不要一次列过长的式子。
变式8-1 （2026·浙江·模拟预测）如图是一个窗户开窗时的简易示意图，其中矩形为窗框，矩形为窗户，．为了限制窗户开合，小明在，两点间装了一条长为细软钢丝绳（可拉直但不能弹性拉伸），则窗户打开角的度数最大可为_____．（结果保留两位小数，参考数(据：，，，）
【答案】/11.48度
【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
过点作交于点，由三线合一可得为中点，且平分，结合边长关系，可求出，得出的近似度数，再求出的近似度数即可．
【详解】解：当的度数最大时，
应最长，即，过点作交于点，如下图所示：
∵，，
∴点为中点，且平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
变式8-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在一些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具，（的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求：
(1)这次绘制的两条平行线与间的距离（结果精确到）．
(2)连接，若，求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形：
（1）作于点，解，求出的长即可；
（2）解，求出的长，解，求出的长，线段的和差关系求出的长即可．
【详解】（1）解：作于点，
在中，，，
∴；
故两条平行线与间的距离为；
（2）解：在中，，，
∴，
由（1）知：，
在中，，
∴；
故的长度为．
变式8-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米．
(1)求的长．
(2)为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，，
【答案】(1)6米
(2)
解：该设计满足要求，理由如下：
过点C作CH⊥DG交于点H，
由题意，得四边形
为矩形，
∴（米），（米），
∵在中，，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴该设计满足要求．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）根据题意，在中求出，在中求出，即可得到长；
（2）根据题意，在中求出长，即可得到长，判断结果．
【详解】（1）解：如图，过点C作，
设（米），
∵在中，，，
∴（米），
∵在中，，，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴在中，（米），
答：的长为6米；
（2）略
题型九、连续两次求解与方案比较
典例9 （2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
(1)若与的距离为66米，求线段、、的长．
(2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，）
【答案】(1)，，
(2)解：方案一的造价更便宜，理由：
方案一造价：（万元），
方案二造价：（万元），
∵，
∴方案一的造价更便宜．
【分析】（1）作，垂足为，由已知可得为矩形，则，解直角三角形分别求出、、、，再根据，即可得解；
（2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：如图：作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）略
解题模板
1.分两步走：先定位置，再算长度，不要混在一起;
2.方案比较题把每种方案的结果列成表格再比大小;
3.结论要回到实际问题作答（够不够、省不省、是否安全）。
变式9-1 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，．
(1)当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．（结果保留）；
(2)在转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到，参考数据：）
【答案】(1)当从最小角转动到最大角时，点运动的路径长
(2)在线段转动过程中，点到地面的最大距离为
【分析】本题考查轨迹，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）利用弧长公式求解即可；
（2）如图2中，当时，点H到地面的距离最大．过点作于，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，分别解直角三角形求出，，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴旋转角为，
∵中，
∴当从最小角转动到最大角时，点运动的路径长；
（2）解：如图2中，当时，点到地面的距离最大，
过点作于，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴在线段转动过程中，点到地面的最大距离为．
变式9-2 （24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，，起始点D处看点C，仰角，继续向前行走，在点E处看点B，仰角，且D到E走了米，作．（，，）
(1)______；______．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
【答案】(1)米，米
(2)4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数是解题的关键．
（1）根据锐角三角函数即可解答；
（2）先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质可知，，设，再利用锐角三角函数即可解答．
【详解】（1）解：，
，
在中，，，
米，米，
故答案为：米，米；
（2）解：过点C作，垂足为F，
，，
，
∴四边形是矩形，
米，
由题意知：米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
，
，
在中，米，
，
，
解得：，
米，
匾额下端距离地面的高度约为4米．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】勾股定理求出的长，利用平移的性质，推出，得到，求出的长，延长交的延长线于点，作于点，证明，得到，求出的长，进而得到的长，证明，得到，求出的长，再利用坡度等于，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
延长交的延长线于点，作于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即：斜坡的坡比为；
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理以及平移的性质，本题的难度较大，属于压轴题，解题的关键是构造相似三角形．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点作交于，根据矩形的性质推出，结合求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于，
由题意知，，
由矩形的性质，，，
∵，，
∴，
∴．
故选：A ．
4．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）如果等腰三角形一边上的中线等于这边长，则它的底角的正切值为________．
【答案】或．
【分析】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，能根据题意画出示意图并熟知正切的定义是解题的关键．根据中线在腰上和底边上进行分类，画出图形即可解决问题．
【详解】解：当底边上的中线等于底边长时，如图所示，
令，则，
，且为边上的中线，
，．
在中，
．
当腰上的中线等于腰长时，如图所示，
分别过点，作的垂线，垂足分别为和，
令，，
为边上的中线，
．
，，
，
，
，
则，
．
在中，
，
在中，
．
，
．
在中，
，
，
．
综上所述，底角的正切值为：或．
故答案为：或．
5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图1是一路灯，图2为该路灯在铅锤面内的示意图，为灯柱，点B为灯所在的位置，路灯采用锥形灯罩，为路灯在地面的照射范围，光线与灯柱交于点G．现测得灯的高度，，，则在地面上的影长为________m．若，则路灯的照射范围长为________m．
【答案】 3 7.5
【分析】作于点H，由勾股定理求出，在中求出，由可求出，然后利用勾股定理列方程求出，进而可求出的长．
【详解】作于点H，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3，7.5．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
6．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB=20cm，AD=cm，DE=60cm，BF=30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：
（1）若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，AFJ的面积是______cm2．
（2）若，EF与地面的夹角为α，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】（1）先证明△FAJ∽△EDJ，得到，进一步得，求得AJ，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，求得FN，进而求得AFJ的面积；
（2）分tan∠EDI＝和tan∠EDI＝2两种情况，求解，由EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，求得的取值范围．
【详解】解：若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，如图1所示，
由题意可知，ABCD，
∴ ∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°，
∴△FAJ∽△EDJ，
∴，
∵AF＝AB＋BF＝50cm，DE＝60cm，
∴
∴AJ＝AD＝cm，
过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，
在Rt△AFN中，∠FAN＝180°－∠FAJ＝60°，AF＝50cm，
∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin60°＝25，
∴AFJ的面积＝×AJ×FN＝cm2；
当tan∠EDI＝时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点Q，
由题意可知，ABCD，
∴ ∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE，
∴△FAQ∽△EDQ，
∴，
∵AF＝AB＋BF＝50cm，DE＝60cm，
∴
∴DQ＝AD＝cm，
设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得
，
∴，
解得x＝12 cm，
∴EP＝12cm，DP＝24cm，PQ＝DP＋DQ＝cm，
∴＝tan∠EQP＝；
当tan∠EDI＝2时，如图3所示，
同理可求得DQ＝cm，DP＝12 cm，EP＝24cm，
∴PQ＝DP＋DQ＝cm，
∴＝tan∠EQP＝；
∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：cm2；．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，读懂题意，分情况画出图形是解题的关键．
7．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结．
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答；
（2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，．
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
．
8．（2025·浙江金华·二模）如图所示，在中，，是边上的高线，是的中点，连接，已知，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．
（1）利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，再利用余弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，
；
（2）解：是的中点，，
，
在中，．
9．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：）
(1)车窗底部到地面的高度（即的长=___________）；
(2)求盲区中的长度；
(3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能观察到物体
【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键．
（1）在中，利用正弦定义求解即可；
（2）先得到四边形是矩形，则，再在中，
利用正切定义求解即可；
（3）证明，利用相似三角形的性质求得，则可得结论．
【详解】（1）解：在中，
故答案为：；
（2）解：由题意：四边形是矩形，
，
在中，
，
答：盲区中的长度为；
（3）解：过点作与交于点，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
10．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，，．
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
（1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解；
（2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
又，，
，
；
（2）解：，，，
，
．
11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)5
(2)2
【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到；
（2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于，如图所示：
设，
在中，，则，
即，解得，
，
，解得，
∴，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，则，
，
∴，
∴；
（2）解：∵为中线，，
∴，
，
∴，
在中，，，则．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键．
12．（2022·浙江宁波·模拟预测）图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，）
【答案】
【分析】由，，推导出，在中求出；再在中求出；由求得最终长度．
【详解】解：，
∴，
∵，
．
在中，，，，
．
在中，，，，
．
，
答：运动员头部到斜坡的距离的长度为．
13．（2025·浙江绍兴·二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
(1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离；
(2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)可行
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于，根据代入数据求出的值即可；
（2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
14．（25-26九年级下·浙江·单元复习）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下：
方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)．
数据收集：通过测量：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为．
问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据：
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】米
【分析】本题考查了三角函数的实际应用，解决本题的关键是能作出正确的辅助线．过作于，过作于，则利用三角函数知识在中，算出与，在中，算出，从而可得的长，最后在中，算出，由此可得．
【详解】解：过作于，过作于．
在中，，．
在中，，
．
在中，．
．
答：屏幕下边沿离教室顶部的高度约为米．
15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解: 由题意得: 米,
设 米,
在 中, ,则 米
米,
在 中, ,
解得: ，
经检验， 是方程的解，且符合题意．
答: 建筑物 的高度约为 21 米．
16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师铜像．五一期间，酷爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这座铜像的高度．于是，他们找来测量工具如图所示进行测量．小明站在点处，用侧倾器测得大雁塔的塔顶的仰角为，接着小明向前走了4米至点处，此时视线正好被铜像挡住了大雁塔（即点、、三点共线），小亮测得此时小明距铜像21米．通过手机查阅大雁塔的高度约为64米，小明的眼睛距地面高度约米，请根据以上数据求出玄奘法师铜像的高度．（参考数据：，，）
【答案】10米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形判定及性质等．根据题意延长交于点，交于点，继而得到米，再求出米，再证明，继而求出米，即可得到本题答案．
【详解】解：延长交于点，交于点，
，
∵米，米，米，米，，
∴米，
在中，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
答：玄奘法师铜像的高度为米．
17．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度
【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小．
【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小．
【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的代数式表示）．
【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】
【数学证明】由题意可得，
四边形是矩形，
，
由题意可得，
；
【理论设计】；
【实践操作】旗杆的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数进行线段的转换是解题的关键．
（1）利用矩形的性质，进行角度的转换，即可解答；
（2）利用三角函数表示出，可得，即可解答；
（3）设，利用三角函数，列方程，即可求得，即可解答．
【详解】解：（1）略
（2），
，
，
四边形是矩形
；
（3）设，
，
，
，
，即
解得
，
答：旗杆的高度约为．
18．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，）
(1) ； ．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
【答案】(1)，
(2)匾额悬挂高度为米
【分析】（）根据垂直的定义可得，再利用锐角三角函数即可解答；
（）利用矩形的判定与性质可知，，设再利用锐角三角函数即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵米，，，，
∴，
∴，
故答案为，0.8；
（2）解：过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴解得：，
∴，
答：额下端距离地面的高度约为米；
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直的定义，锐角三角函数，垂直的定义，直角三角形的判定与性质，正切，余弦，正弦，掌握锐角三角函数是解题的关键．
19．（2023·浙江温州·二模）如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为________．若，则所在圆的半径为________．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握仰俯角的定义，灵活运用锐角三角函数是解题关键．连接，，则四边形为矩形，则，由是等腰直角三角形，得到，再利用特殊角的三角函数值，求出，即可求出点C距离地面的高度；延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，利用特殊角的三角函数值，求出，进而求出，设劣弧所在的圆的圆心为，，则，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，，则四边形为矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
测角仪沿着向灯杆方向水平前进达到，
，
，
，
，
，
即点C距离地面的高度为；
如图，延长交于点，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
设劣弧所在的圆的圆心为，，则，
，
，
解得：，
，即所在圆的半径为，
故答案为：；．
20．（23-24八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，所示一河道准备建造一条长600米的防水堤坝，横截面是梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡的坡度，斜坡的坡度．
(1)求斜坡和坝底的长度；
(2)求建造该堤坝需要多少土石方？
(3)若要把背水坡坝顶宽增加2米，同时背水坡的坡度由原来的变为，如图2所示，请求出建造大坝的所需的土石方增加了多少立方米？
【答案】(1)斜坡的长度是米，坝底的长度50米；
(2)立方米
(3)增加了48000立方米
【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
（1）过点B作于点G，过点C作于点H，利用坡度定义求出，，利用勾股定理求出，即可求解；
（2）先求出梯形的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答；
（3）过点E作于M，过点B作于点G，利用坡度的定义求出，进而求出，然后求出梯形的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要增加的土方，即可解答．
【详解】（1）解：过点B作于点G，过点C作于点H，
由题意，得，，
∵，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，，
∴斜坡的长度是米，坝底的长度50米；
（2）解：梯形的面积为，
，
∴修筑这个堤坝需要土方为立方米；
（3）解：过点E作于M，过点B作于点G，
根据题意，得，，
∴，
∵背水坡的坡度由原来的变为，
∴，即，
∴，
∴，
∴梯形的面积为，
米，
∴建造大坝的所需的土石方增加了48000立方米．
21．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度．
(1)当时，求到的距离．
(2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？
【答案】(1)
(2)能
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）连接，过点作于点，运用等腰三角形的性质，得，再列式计算，求出的长度，
（2）与（1）同理得，，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：连接，过点作于点，
，
，，
，
，
即到的距离为；
（2）解：连接，过点作于点，
，
∵，的最大张角为75度．
此时，，
在中，，
∴，
则，
∴此时能用取碗夹夹起这个盘子．
22．（2025·浙江杭州·二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
(1)若，，求的长；
(2)若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．
（1）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（2）在中，利用三角函数的定义求得，，根据
，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
（2）解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
23．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）某幼儿园新建了一个滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
【答案】她经过的总路程为．
【分析】根据扶梯的坡比为求出，根据勾股定理求出，再根据滑梯的坡比为求出，根据勾股定理求出，根据题意计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
，
在中，，，
∴，
∴，
∴她经过的总路程为：．
24．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅如图1所示，如图2是它的侧面示意图，坐高，宽，背长，总高．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键；延长交于点M，则得四边形是矩形，则可求得的长度，由勾股定理求得的长度，在中利用正切函数定义即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点M，
由题意知，，
则四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
25．（2021·浙江嘉兴·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm．
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；
（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【详解】解：（1）如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点转动到点的路径长．
（2）如图，
过点作于点，过点作于点．
在中，
．
在中，
．
∴．
又∵，
∴点到直线的距离约为7.3cm．
【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．
26．（2025·浙江·模拟预测）小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）．
(1)求支点离桌面的高度．
(2)当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形是矩形，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，解答即可求解；
（2）过点CC作，过E作于点H，则，分别求出所成的角为和时，的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即支点C离桌面l的高度为；；
（2）解：如图，过点C作，过E作于点H，
则，
∵，
∴，
当时，
；
当时，；
∴当面板绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是．
27．（2023·浙江绍兴·一模）清明节是中国传统的节日.在嵊州的一些乡村，每到清明时节还保留着古法锤打手工艾年糕的习俗（如图1），如图2是一次艾年糕锤打过程的示意图，连杆垂直于木桩，垂足为点（不计连杆与木桩的直径），.在放置年糕的石臼中，其截面为四边形，DG∥EF，石臼的高度，.若在这次锤打过程中的某一时刻，木桩平行于，此时，，三点恰好在同一直线上（石臼放在地面上）.
(1)求连杆与所成锐角的度数.
(2)记连杆的最高点到地面的高度为，求的长.（结果精确到.参考数据：，，）
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的意义计算即可．
（２）利用平行线的性质，正弦函数计算即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵，
∴.
∵，
∴.
∴．
（2）延长交于.
∵，，，
∴，.
∵，
即，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正弦函数，熟练掌握正弦函数是解题的关键．
28．（22-23九年级下·浙江台州·期中）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，在某个工作状态时，．求机械臂端点C到工作台的距离．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，于点H，先证明四边形和四边形是矩形，再根据三角函数值求出，，即可求出的距离．
【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F，于点H，
，，
，，
四边形和四边形是矩形，
，，，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用三角函数是解题关键．
29．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．
(1)如图，当，时，求视线距离的长；
(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）
【答案】(1)视线距离的长为；
(2)需要将支架调整到．
【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解；
（）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解；
本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，
根据题意可得四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴视线距离的长为；
（2）解：如图，连接，延长交于点，
由题意可得：，，，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴需要将支架调整到．
30．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米，
(1)求电线杆上部分的长；
(2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）．
【答案】(1)电杆上部分的长为米
(2)拉线的长为米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时通过转化思想构造矩形与直角三角形，利用三角函数定义求解，关键是将已知条件转化到直角三角形中，易错点是忽略测角仪高度或混淆三角函数对应边；
（1）过点作，垂足为构造矩形，用仰角的正切求 与测角仪高度的差得 ；
（2）在 中用 的正弦求．
【详解】（1）解：过点作，垂足为
由题意可知四边形为矩形，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在，，，
∴米，
所以拉线的长约米．
31．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】物体上升的高度约为
【分析】在中，根据求出、的长，再在中，利用锐角三角函数求出的长，根据绳子总长不变可求得的长，最后根据求的长即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，，
，
即，
，
，
，
，
物体上升的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握各自的性质是解题关键．
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专题二 解直角三角形及其应用
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作高化归：斜三角形拆成两个直角三角形
题型二、构造与补形：不规则图形的边长与面积
题型三、仰角俯角与多步测量方案
题型四、方位角与航行定位
题型五、坡度坡比与工程实际
题型六、生活器具与路径长问题
题型七、连杆机构与可调装置
题型八、工程装置中的平行与拉线
题型九、连续两次求解与方案比较
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题解直角三角形实际应用的核心是构造直角、转化边角：通过作高、补形把实际情景抽象为直角三角形，理清仰角俯角、方位角、坡度的含义，借助三角函数建立线段关系，分步列式求解并做好方案对比。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 折叠题不标折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分；
2. 旋转题忘记旋转角相等，导致对应边找错；
3. 圆里求三角函数值时，直接在非直角三角形中套定义；
4. 菱形、正多边形题不先算出内角，就去列边角关系。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、作高化归：斜三角形拆成两个直角三角形
典例1 （2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上的中点．
(1)求线段的长．
(2)求的值．
解题模板
1.斜三角形一律作高拆成两个直角三角形，高落在形内；钝角三角形作在形外，用补角;
2.设高为 h，在两个直角三角形里各写一次，用同一个 h 列方程解出;
3.钝角情形记住 sin(180°－α)＝sinα，cos(180°－α)＝－cosα，此为额外补充公式。
变式1-1 （2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______．
变式1-2 （2026·浙江杭州·二模）小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．）
变式1-3 （2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．
如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图．
图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为．
(1)求盲区中线段的长．
(2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）．
题型二、构造与补形：不规则图形的边长与面积
典例2 （2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，．
(1)求点到的距离．
(2)求的长．
（，，，结果精确到0.1）
解题模板
1.不规则图形先补成矩形或直角三角形，用"大面积－小面积"求;
2.求线段长优先作垂线造直角，把已知角放进直角三角形;
3.面积别忘了两边夹一角：S＝ab·sinC。
变式2-1 （25-26九年级上·浙江舟山·期末）为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息．
信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称．
信息2：经测量得到，，，．
任务（1）：求文化长廊最大宽度的长；
任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离．
（参考数据：，，，结果精确到）
变式2-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2-3 （24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，等腰三角形中，，记顶角为，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点
(1)若，求的度数．
(2)若，，求直径的长．
题型三、仰角俯角与多步测量方案
典例3 （2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．）
解题模板
1.先画示意图：水平线、视线、铅垂线三件套，仰角在水平线上方、俯角在下方;
2.两个观测点在同一铅垂线上时，两段高共用一个直角边，据此列方程;
3.结果按题目要求取近似值并带单位（如精确到 0.1 m）。
变式3-1 （25-26九年级下·浙江·单元复习）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量镇远楼的高度
测量示意图
如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且
测量数据
的度数
的度数
的长度
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，，
变式3-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题．
小组名称
勤学小组
思辨小组
测量工具
自制测倾仪，皮尺
皮尺
测量示意图
测量方案及数据
如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为
如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合
计算
……
……
(1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：）
(2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）．
变式3-3 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图所示，在浙江磐安海拔米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动．图为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角为，随后沿着坡度的斜坡行走了米到达地面点，接着沿水平方向向左行走约米，抵达摩天轮最低点的正下方点处．经测量，约为米．
(1)求观景台到地面的高度．
(2)求摩天轮的直径．（参考数据：，，，，结果精确到米．）
题型四、方位角与航行定位
典例4 （24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．
(1)求处到灯塔的距离；
(2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
解题模板
1.方位角从正北或正南起算，先画十字准星再标角;
2.航行问题先把"速度×时间"换成距离，再进三角形;
3.判断是否触礁，比较点到航线的最短距离（垂线段）与危险半径。
变式4-1 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达岛完成任务．已知军舰位于市的南偏东方向上的处，且在岛的北偏东方向上，市在岛的北偏东方向上，且距离岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行．（参考数据：，，，）
(1)求出和的大小；
(2)我方军舰大约需要多长时间到达岛？
题型五、坡度坡比与工程实际
典例5 （2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中．
(1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？
(2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）．
解题模板
1.坡度 i＝铅直高∶水平宽，坡角 α 满足 tanα＝i;
2.加宽、削坡题要画两个截面对比，用同一高度列方程;
3.注意"坡长"是斜面长度，需由勾股定理算出。
变式5-1 （2026·浙江金华·一模）已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（ ）米．
A．6 B． C． D．
变式5-2 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）．
变式5-3 （24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行，通道水平宽度为米，，通道斜面的长为米，通道斜面的坡度．
(1)求通道斜面的长；
(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长．
题型六、生活器具与路径长问题
典例6 （2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
解题模板
1.把实物抽象成三角形或圆：扶手、楼梯、晾衣架先找直角;
2.路径长分段计算，每段都要说明在哪个直角三角形里;
3.结果按题目要求保留有效数字。
变式6-1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，．
(1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
(2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度．
变式6-2 （2026·浙江杭州·二模）摩天轮是一种大型垂直转轮式机械游乐设施，由巨大转轮、悬挂座舱与支撑结构组成，供游客高空观景．如图，某摩天轮半径长，小慧从摩天轮的上客点（即最低点）进入座舱，当摩天轮匀速旋转时座舱运动至点处，即，则小慧在竖直方向上升了______m．（参考数据：，，）
变式6-3 （2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
题型七、连杆机构与可调装置
典例7 （2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，．
(1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度．
(2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）．
（参考值：，，）
解题模板
1.连杆题先标固定点与转轴，把可动部分看成绕定点旋转;
2.用"杆长不变"列等量关系，把角度变化翻译成边长变化;
3.求最值时看角取端点值时线段最长或最短。
变式7-1 （25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1是某公司年度销售量第一的婴儿车实物图，主要由拉杆、底座和座椅三部分组成，图2是该款婴儿车的侧面简化示意图，其中为拉杆部分，拉杆长度有三档可调节，即拉杆顶端可以伸缩至A点、B点或C点（A、B、C三处的位置分别对应A档、B档和C档），以适应不同高度的推车者，已知与水平面的夹角为，点O距离水平地面l的高度为，，，．
(1)当拉杆长度调节至C档时，求拉杆顶端距离水平地面l的高度．
(2)当推车者的手掌高度与腰部平齐时，是推车者最舒适的姿态．已知朵朵妈妈的腰部距离地面高度为，那么她在使用该款婴儿车时，应将拉杆长度调节至哪一档最舒适？请回答并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，）
变式7-2 （25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知，，．在调整铅笔位置时始终垂直平分，和交于点F．如图3，当圆规的两个脚和闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合．（计算结果均精确到0.1，参考数据：；；．）
(1)求的长．
(2)如图4，调节圆规的两个脚和，使得．调整铅笔的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径的长．（注：假设足够长．）
变式7-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架厘米，支架底座，灯杆厘米，灯管厘米，灯杆可绕点D旋转，灯管可绕点E旋转（参考数据：，．
(1)当，，求点F到桌面的距离（结果精确到厘米）．
(2)当灯杆绕点D旋转时，保持，求点F到桌面的最大距离和此时的度数．
题型八、工程装置中的平行与拉线
典例8 （2026·浙江·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架、、及的端点、、、固定在外墙上，、，与平行，米．图②是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上．
【数学活动】数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点、的距离以及支架与的夹角（），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：取0．8，取0．6）
图③是某小组的设计示意图，其中，，米．
【问题解决】
(1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
(2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面（不包括）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点离地面距离不能超过多少米？
解题模板
1.题目说"平行"就立刻找内错角、同位角把角搬过去;
2.拉线、支撑杆看成直角三角形的斜边，用 sin、cos 求长度;
3.多根杆件时逐个三角形求解，不要一次列过长的式子。
变式8-1 （2026·浙江·模拟预测）如图是一个窗户开窗时的简易示意图，其中矩形为窗框，矩形为窗户，．为了限制窗户开合，小明在，两点间装了一条长为细软钢丝绳（可拉直但不能弹性拉伸），则窗户打开角的度数最大可为_____．（结果保留两位小数，参考数(据：，，，）
变式8-2 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在一些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具，（的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求：
(1)这次绘制的两条平行线与间的距离（结果精确到）．
(2)连接，若，求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
变式8-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米．
(1)求的长．
(2)为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，，
题型九、连续两次求解与方案比较
典例9 （2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
(1)若与的距离为66米，求线段、、的长．
(2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，）
解题模板
1.分两步走：先定位置，再算长度，不要混在一起;
2.方案比较题把每种方案的结果列成表格再比大小;
3.结论要回到实际问题作答（够不够、省不省、是否安全）。
变式9-1 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，．
(1)当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．（结果保留）；
(2)在转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到，参考数据：）
变式9-2 （24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，，起始点D处看点C，仰角，继续向前行走，在点E处看点B，仰角，且D到E走了米，作．（，，）
(1)______；______．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）如果等腰三角形一边上的中线等于这边长，则它的底角的正切值为________．
5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图1是一路灯，图2为该路灯在铅锤面内的示意图，为灯柱，点B为灯所在的位置，路灯采用锥形灯罩，为路灯在地面的照射范围，光线与灯柱交于点G．现测得灯的高度，，，则在地面上的影长为________m．若，则路灯的照射范围长为________m．
6．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB=20cm，AD=cm，DE=60cm，BF=30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：
（1）若直线EF过点J，当∠ADE=120°时，AFJ的面积是______cm2．
（2）若，EF与地面的夹角为α，则的取值范围是_____．
7．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结．
(1)求的长．
(2)求的值．
8．（2025·浙江金华·二模）如图所示，在中，，是边上的高线，是的中点，连接，已知，．
(1)求的长；
(2)求的值．
9．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：）
(1)车窗底部到地面的高度（即的长=___________）；
(2)求盲区中的长度；
(3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
10．（24-25九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，，，，．
(1)求的长．
(2)求的值．
11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
12．（2022·浙江宁波·模拟预测）图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，）
13．（2025·浙江绍兴·二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
(1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离；
(2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，）
14．（25-26九年级下·浙江·单元复习）随着多媒体教学的普及，很多教学场景都引入了投影仪(如图1)，如图2是投影仪安装截面图，某数学课题研究小组打算对投影屏幕下边沿离教室顶部的高度进行测量，具体过程如下：
方案设计：投影仪垂直于地面，先测量出吊臂、投影屏幕的长度，再选取点，两处分别测得和的度数(，，，在同一条直线上)．
数据收集：通过测量：投影仪的光线夹角，，吊臂为，投影屏幕的高为．
问题解决：求屏幕下边沿离教室顶部的高度(结果保留一位小数)．参考数据：
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）大雁塔是西安的标志性建筑，也是世界文化遗产，在大雁塔南广场有一座玄奘法师铜像．五一期间，酷爱数学的小明和小亮来西安游玩，他俩站在玄奘法师的铜像前，想利用数学知识测量这座铜像的高度．于是，他们找来测量工具如图所示进行测量．小明站在点处，用侧倾器测得大雁塔的塔顶的仰角为，接着小明向前走了4米至点处，此时视线正好被铜像挡住了大雁塔（即点、、三点共线），小亮测得此时小明距铜像21米．通过手机查阅大雁塔的高度约为64米，小明的眼睛距地面高度约米，请根据以上数据求出玄奘法师铜像的高度．（参考数据：，，）
17．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度
【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小．
【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小．
【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的代数式表示）．
【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）
18．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，）
(1) ； ．
(2)求匾额下端距离地面的高度．
19．（2023·浙江温州·二模）如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为________．若，则所在圆的半径为________．
20．（23-24八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，所示一河道准备建造一条长600米的防水堤坝，横截面是梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡的坡度，斜坡的坡度．
(1)求斜坡和坝底的长度；
(2)求建造该堤坝需要多少土石方？
(3)若要把背水坡坝顶宽增加2米，同时背水坡的坡度由原来的变为，如图2所示，请求出建造大坝的所需的土石方增加了多少立方米？
21．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度．
(1)当时，求到的距离．
(2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？
22．（2025·浙江杭州·二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
(1)若，，求的长；
(2)若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
23．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）某幼儿园新建了一个滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
24．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）你还记得小时候的竹椅子么？一款老式竹编靠背椅如图1所示，如图2是它的侧面示意图，坐高，宽，背长，总高．求的值．
25．（2021·浙江嘉兴·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
26．（2025·浙江·模拟预测）小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）．
(1)求支点离桌面的高度．
(2)当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号）
27．（2023·浙江绍兴·一模）清明节是中国传统的节日.在嵊州的一些乡村，每到清明时节还保留着古法锤打手工艾年糕的习俗（如图1），如图2是一次艾年糕锤打过程的示意图，连杆垂直于木桩，垂足为点（不计连杆与木桩的直径），.在放置年糕的石臼中，其截面为四边形，DG∥EF，石臼的高度，.若在这次锤打过程中的某一时刻，木桩平行于，此时，，三点恰好在同一直线上（石臼放在地面上）.
(1)求连杆与所成锐角的度数.
(2)记连杆的最高点到地面的高度为，求的长.（结果精确到.参考数据：，，）
28．（22-23九年级下·浙江台州·期中）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，在某个工作状态时，．求机械臂端点C到工作台的距离．
（结果精确到，参考数据：，，，）
29．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．
(1)如图，当，时，求视线距离的长；
(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）
30．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米，
(1)求电线杆上部分的长；
(2)求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）．
31．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
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