31.4（第2课时）平面直角坐标系中的位似图形（分层作业，3大类型）数学新教材人教版九年级下册
|
2份
|
95页
|
3人阅读
|
0人下载
内容正文：
31.4（第2课时）平面直角坐标系中的位似图形（解析版）
目 录
类型一、求位似图形的对应坐标 1
类型二、在坐标系中求相似比 18
类型三、在坐标系中画位似图形 29
类型一、求位似图形的对应坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为2，
∴点的对应点的坐标为，即．
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，
∴点的坐标为，即.
3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据与以原点为位似中心，以及，得出位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标．
【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴与位似比为，
∵点A的坐标为，点D在第一象限，
∴点D的坐标是，即．
4．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，再根据点、点的坐标计算即可得点和的坐标.
【详解】解：如图，
根据题意得：线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，
∵，，
∴点和的坐标分别为，.
5．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可．
【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，
，
∴，
∴，
∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，
∴，
∴，
设，
，
，
，
，
∴，
解得，
故．
6．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可．
【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小．
∴ 点的对应点的坐标为或．
即或．
7．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标.
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为，
∴位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即.
8．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可．
【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，点
∴点的对应点为的坐标为，
则点的坐标为．
9．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（ ）
A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的
【答案】C
【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可．
【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意；
B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意；
C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意；
D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意．
10．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，，
，，
，
．
，
，
．
四边形为正方形，
，
．
四边形为正方形，
，
，
点的坐标为．
11．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍．
【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小，
∴点A的对应点的坐标为或，
即或．
12．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可．
【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即，
当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即，
综上所述，点C的对应点的坐标为或．
13．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可；
【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到，
将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点，
再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为；
14．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或．
【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况，
∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为；
当与在原点异侧时，点的坐标为．
∴点的坐标为或．
15．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段，
线段和线段的位似比为，
点的坐标为，即．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心，若位似比为，则对应点的坐标等于原坐标乘以或．
【详解】解： 与关于点位似，且位似比为 ，
∴点的坐标是点的坐标乘以 ，
∵ ，
∴点的横坐标为 ，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标是．
17．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，都与轴平行，点，均在轴上．点的坐标是，点的横坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
18．如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心的两个图形，对应点的坐标比等于位似比．由点和点的坐标求出位似比，再利用位似比计算点的对应点的坐标．
【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，
位似比．
点的坐标为，且点是点的对应点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
19．如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，由可得位似比，结合点、在原点两侧，即可求出点坐标．
【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，
，
，
点与点是对应点，且位于原点两侧，
点的坐标是点坐标的倍，
点的坐标为，
点的坐标为，即 ．
20．的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________
【答案】或
【分析】以原点为位似中心的位似变换中，对应点存在与原图形同侧、异侧两种位置关系，需结合相似比分别计算，避免漏解．
【详解】解：∵ 位似中心为坐标原点，原图形与放大后图形的相似比为，即放大后图形的对应边长为原图形的倍．
∴ 点的对应点的坐标分两种情况．
当与点在原点同侧时，坐标为原坐标乘以．
代入，得的坐标为．
当与点在原点异侧时，坐标为原坐标乘以．
代入，得的坐标为．
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________．
【答案】或
【分析】根据位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得对应边的比，再找到位似中心，根据位似变换的性质求解即可．
【详解】∵在矩形中，
∴原矩形长为3、宽为2，面积为，
∵位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，且新矩形面积是原矩形的9倍
∴面积比为，
∴相似比（即位似比）为，
∵位似中心是原点，
∴平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，位似比为时，
原坐标对应的位似点坐标为或，
当位似图形和原图形在原点同侧时，坐标为；
当位似图形和原图形在原点异侧时，坐标为．
22．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的对应点D的坐标为．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________．
【答案】或
【分析】把的坐标分别乘以2或，解答即可．
【详解】解：根据题意，得，且与的位似比为，
当与在位似中心的同侧时，；
当与在位似中心的两侧时，．
24．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】以原点为位似中心的位似变换，位似图形与原图形的相似比为时，原图形上一点的对应点坐标为或，分两种情况计算即可．
【详解】解：∵ 以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形可在原点同侧或异侧．
∴ 当与在原点同侧时，的横坐标为，纵坐标为，即．
∴ 当与在原点异侧时，的横坐标为，纵坐标为，即．
因此点的坐标为或．
25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为．
(2)在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据位似图形的定义画出点，，再顺次连接点，，即可得；
（2）根据位似图形的性质即可得．
【详解】（1）略．
（2）解：在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为．
26．如图，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________．（不用写画图过程，但要写出结论）
【答案】，
如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、；
如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、
【分析】分两种情况，分别作出图形，写出对应点坐标即可．
【详解】略
27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出的位似图形，使与的相似比为；
(2)直接写出点的坐标为________，点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________；
(3)在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为________．
【答案】(1)如下图，即为所求；
(2)，，
(3)
【分析】（1）分别找到的位似对应点，再顺次连接即可；
（2）结合图形，即可获得答案；
（3）根据位似比，位似图形所在象限确定点的坐标即可．
【详解】（1）略
（2）由图可知，的坐标为，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为；
（3）∵与的位似比为，且在第二象限，
∴若点为线段上任一点，变化后点的对应点的坐标为．
类型二、在坐标系中求相似比
28．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，
∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为，
∴与的位似比为，
∴与的周长之比为．
29．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形，
∴，即，
∴．
30．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，
∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为，
∴与的位似比为，
∴与的周长之比为．
31．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，的坐标分别为，，
．
，
，
．
，
．
32．如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，，，由可得，代入计算即可．
【详解】解：∵，轴，
∴，，
根据题意可得，，
∴，即，
解得．
33．如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解．
【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，
若，
四边形和的相似比为，
相似多边形的周长之比等于相似比，
四边形和的周长比为．
34．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（ ）
A．15 B．10 C．40 D．45
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可．
【详解】解：与是位似图形，
，
，
相似比为，即，
，
，
．
故选：B．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．36 D．48
【答案】C
【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵与位似，原点O是位似中心，
∴与相似，相似比为，
∴，
∵的面积为4，
∴的面积为．
36．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长．
【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形，
，
．
点的坐标为，点的坐标为 ，
， ．
，
，
．
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据点、的坐标利用勾股定理求出的长，再根据点、的坐标求出位似比，最后利用位似图形的性质求解即可 ．
【详解】解；
在中，由勾股定理得
四边形与四边形位似，位似中心是原点，且
位似比为
．
38．如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
【答案】B
【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴与的位似比为，
∵的周长为4，
∴的周长为．
39．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比．
40．如图，在平面直角坐标系中，位似于是以原点O为位似中心，若点的对应点C的坐标， 则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对应点的坐标求出位似比．
【详解】解：，
，
．
41．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：，
∴，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴．
42．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，其面积比等于相似比的平方，由对应点 和 的坐标求出相似比即可求解．
【详解】解：四边形与四边形关于原点位似 ，
四边形四边形 ，
点的坐标为，点的坐标为 ，
相似比为 ，
，
四边形的面积为 ，
四边形的面积．
43．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴五边形与五边形的位似比为，
∵五边形的面积为S，
∴五边形的面积为．
44．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，位似比的绝对值即为相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与关于原点O位似，
∴，
∵位似比是，
∴相似比为，
∴与的面积比为．
45．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________．
【答案】
【分析】根据题意得出与的位似比，再由位似图形的周长比等于位似比求解即可．
【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，，
，即将放大倍后得到，
与的位似比为，
则由位似图形的性质可知，与的周长比是．
46．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________．
【答案】
【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，
，
∴
又∵两个图形在位似中心异侧，
∴与的位似比为.
47．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的；
(2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________；
(3)与的面积比是________．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)
(3)
【分析】（1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可；
（2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标；
（3）根据相似三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）解：点P在内部的对应点的坐标为；
（3）解：∵放大2倍得到
∴和的相似比为
∴与的面积比是．
类型三、在坐标系中画位似图形
48．如图的顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为；
(2)在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标．
【答案】(1)与位似，且相似比为的和，如图即为所求；
(2)或
【分析】（1）分同侧和异侧两种情况画出位似图形；
（2）根据位似的性质对应横、纵坐标分别乘以或，即可求解．
【详解】（1）略
（2）根据题意，点对应的点的坐标为或．
49．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）；
(2)直接写出点、的坐标．
【答案】(1)如图所示，即为所求．
(2)点、的坐标分别为和
【详解】（1）略
（2）解：点、的坐标分别为和．
50．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．在轴的左侧以原点为位似中心作的位似图形，使与的相似比为．
【答案】如图所示即为所求作：
【分析】延长到，使，延长到，使，连接，即为所求．
【详解】略
51．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)以O点为位似中心，位似比为2，将放大为，请在网格图中画出；
(2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
【答案】(1)解：如图所示：即为所求；
(2)
【分析】（1）根据位似可直接进行作图；
（2）由题意易得和相似比为，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为，
∴和相似比为，
∴
即：．
52．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
【答案】(1)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(2)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(3)解：根据题意，画图如下：
则点即为所求．且点的坐标为．
【分析】（1）根据平移的原则，画图解答即可；
（2）根据位似的性质，确定，，顺次连接三个点得到即可．
（3）根据位似的性质，对应点连线的交点即为所求，解答即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
（3）解：略．
53．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【答案】(1)
(2)
(3)
位似中心的坐标为．
【分析】（1）因为点平移后对应点为，所以可确定平移规则为向左平移3个单位、向上平移1个单位；将的三个顶点按此规则平移，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出平移后的．
（2）因为以为位似中心、在轴右侧作相似比为2的位似图形，所以可利用位似变换的坐标规律，将原三角形各顶点的横、纵坐标同时乘以2，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出．
（3）因为位似中心是两组对应顶点连线的交点，所以连接与两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心，再根据坐标系读出的坐标．
【详解】（1）解：由点平移后得到，
可知平移规则是：所有点向左平移3个单位，向上平移1个单位．
根据原顶点坐标、、，
计算平移后对应点坐标：
，，，
在坐标系中描出三点并顺次连接，就得到．
（2）解：以原点为位似中心，在轴右侧作相似比为2的位似图形，
位似变换规则是将原图形各点横、纵坐标都乘2：
可得，
，
点坐标保持不变，
描出三点顺次连接，就得到符合要求的．
（3）解：位似图形的位似中心是两组对应顶点连线的交点：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴延长到Q使，
再延长，，
这三条线交于点Q，点就是位似中心，
∵，
∴轴，，
∴，
∴．
54．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为．
(2)在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点，再顺次连接即可得出答案；
（2）由（1）知把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
【详解】（1）略
（2）解：点为内一点，则点在内的对应点坐标为．
55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出；
(2)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)与的面积比为________．
【答案】(1)如图所示：
(2)如图所示：
；
(3)．
【分析】（1）分别作出点，点绕点逆时针旋转得到的对应点，依次连接即可；
（2）分别连接，，并延长到，，，依次连接即可；
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：由（2）可知，相似比为，
．
56．在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】（1）根据原点为位似中心、相似比、在轴左侧的条件，将点、点横纵坐标同时乘，得到，，再画出．
（2）先利用向右平移 5 个单位，横坐标加 5 纵坐标不变求出，，再延长两组对应顶点连线，交点就是位似中心．
【详解】（1）解：∵ 以原点为位似中心，在轴左侧作位似图形，相似比为，
∴ 对应点的横、纵坐标都乘．
∵ ，，，
∴ ，．
在方格中描出，，，连接得到．
（2）解：∵ 向右平移个单位长度得到，
平移规律：横坐标加，纵坐标不变．
连接对应顶点，对应直线交于一点，
∴ 与是以点为位似中心的位似图形，
据图可知，位似中心的坐标为．
57．已知，在平面直角坐标系中的位置如图-所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形．
(1)直接写出点的坐标____________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；
(3)请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（保留作图痕迹）．
【答案】(1)
(2)如图，即为所求；
(3)如图，的中位线即为所作：
【分析】（1）连接对应点并延长，交点就是点P，写出坐标即可得到答案；
（2）连接点O与的三个顶点并反向延长，使，连接三个顶点即可得到；
（3）根据三角形中位线的定义作出图形即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，并延长交于点P，
∴点P的坐标为；
（2）略
（3）略
58．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2．
(2)点的坐标是_______．
【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)
【分析】（1）把三个点的横纵坐标都乘以2得到三个点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得，点F的坐标为．
59．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．
(1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为，
(2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可；
（2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点．
【详解】（1）略
（2）略
60．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
(1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；
(2)设与的周长分别为，，则______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据位似的定义作图；
（2）根据位似的性质解题．
【详解】（1）略
（2）解：由位似的性质知，，相似比为，
∴周长比为．
1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．与的周长之比为
D．与的面积之比为
【答案】D
【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键．
根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：如图，
A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意；
B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意；
C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意；
D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意．
故选：．
2．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
3．如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据位似比，解答即可．
【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，
故相似比为，
故把各坐标分别乘以得得到，，．
4．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________．
【答案】
【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点A，的坐标分别为，，
，，
五边形，的相似比为：，
，
．
5．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______．
【答案】10
【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
四边形与四边形相似，，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
6．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，即可解答．
【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，为位似中心；
∴，，，且三点共线，三点共线，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
7．如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________．
【答案】9
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由图可知，，，三点在同一条直线上，
∴．
8．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似多边形的周长比等于相似比，据此求解即可．
【详解】解：，且点在线段上，
，
四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，
四边形与四边形的相似比为，
相似多边形的周长比等于相似比，
四边形和四边形的周长之比为．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】先通过点A、B的坐标，利用全等三角形的方法推导点D的坐标，再根据位似图形的坐标变化规律，结合已求得的点D的坐标，得到符合条件的点的坐标．
【详解】过D作轴于E，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，即D点坐标为．
∵两个正方形以原点O为位似中心，位似比，且位似图形在第三象限，
∴ ．
10．已知方程的一个根是．
(1)求方程的另一个根及k的值；
(2)在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k．
【答案】(1)，
(2)即为所作
【分析】（1）将代入原方程即可求出k，再将k代入原方程，整理后利用因式分解法即可求出另外一个根；
（2）利用平行线分线段成比例，作答即可．
【详解】（1）解：∵方程的一个根是，
∴，
∴，
即，
，
即，或者，
∴，，
∴方程的另一个根为：；
（2）根据（1）可知，即相似比为，
如图，取格点，再连线，构造两组平行线，即：，，
直线与线段交于点E，直线与线段交于点F，连接，
即为所作．
证明：∵，
∴结合网格有：，
∴，
同理：，
∴是以点A为位似中心与位似，相似比为．
11．如图，已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在轴右侧画出以点为位似中心，放大到原来的2倍的，所作图中顶点坐标分别为_____________，_____________，_____________；
(2)请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得（保留作图痕迹）
【答案】(1)；，，
(2)
【分析】（1）作出位似图形，再写出顶点坐标即可；
（2）取格点，连接，交于点，根据相似三角形的性质可得．
【详解】（1）解：作图略，
根据位似图形，可得，，；
（2）略
12．如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
(2)点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________
(3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________．
【答案】(1)解：如图，为所作；
(2)，
(3)的坐标为
【分析】（1）（2）把B、C点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点即可；
（3）把P点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
【详解】（1）略
（2）解：，，
，，
点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是；
（3）解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，因为的坐标为，
所以点的坐标为．
13．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P；
(2)求点P的坐标及与的相似比．
【答案】(1)如答图所示，点P即为位似中心．
(2)，相似比为
【分析】（1）连接，交点即为点；
（2）由网格作图可直接写出点P的坐标，再由两点之间距离公式求解对应边，即可求解相似比．
【详解】（1）略
（2）解：由答图可得，点P的坐标为．
，，，．
，
，
与的相似比为．
14．如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)请在图中标出位似中心O的位置，并以点O为原点建立平面直角坐标系；
(2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到，画出图形，此时点的坐标为______；
(3)请以点O为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为．
【答案】(1)位似中心O的位置及平面直角坐标系如图所示：
(2)如图所示；
(3)如图所示：
【分析】（1）连接、、，交点即为点；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据相似比为，确定新三角形顶点、、的位置，再顺次连接即可．
【详解】（1）略；
（2）图略，
由图可得点的坐标为；
（3）略．
1．如图，在中，为平面内的一点，连接、、，若，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以以点为旋转点，顺时针旋转，且点为位似中心作位似比为的放大变换，得到，连接，，根据勾股定理，线段的数量关系，求出，推出，当点，，，四点共线时，，最小值为，根据勾股定理求出，即可．
【详解】解：以以点为旋转点，顺时针旋转，且点为位似中心作位似比为的放大变换，得到，连接，，
∴，
∵，相似比为，
∴，，，
过点作于点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点，，，四点共线时，，最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
2．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为，
与的相似比为，
，
，
，
当时，．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧．
【详解】解：正方形中、，
∴边长为，
∴，，
正方形中、，
∴边长为，
∴，，
分两种情况讨论：
情况1：两个正方形在位似中心的异侧
连接对应顶点和、和，
设直线和的解析式分别为，，
则，，
解得：，，
则直线和的解析式分别为，，
联立，，
解得：，
∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为；
情况2：两个正方形在位似中心的同侧
连接对应顶点和、和并延长，
设直线和的解析式分别为，，
则，，
解得：，，
则直线和的解析式分别为，，
联立，，
解得：，
∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为；
综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或．
4．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________．
【答案】
【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由位似可知：，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴的面积是．
5．剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁．
(1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______．
(2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）．
(3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长．
【答案】(1)且
(2)
(3)线段的长为，的长为，的长为
【分析】（1）根据三角形中位线即可证明关系；（2）根据证明，得出，即，即可求解；（3）求得，，证明，，利用三角函数可求得，进而根据已知求出，．
【详解】（1）解：分别是的中点，
是的中位线，
且；
（2）由（1）知，，
，，
即，；
（3）在中，，，
．
易知为的中位线，，，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
线段的长为9，的长为，的长为3．
【点睛】本题考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，锐角三角函数等，正确利用知识点解决问题是关键．
6．【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义：
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
图1
【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”．
【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究：
上的点
…
…
对应“倍位似点”
…
…
对应“倍位似点”
…
…
（1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____；
②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中；
③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”．
【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____；
③验证：请用证明验证你的猜想．
【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围．
【答案】（1）①；
②③描点与连线如下图
（2）①；；
②；
③证明：设为二次函数对应的“倍位似曲线”上的任意一点，
则在二次函数图像上，
，
；
（3）或
【分析】（1）①根据题意将的横纵坐标分别乘以即可；
②根据题中表格给出的坐标，分别在图和图中描出即可；
③在②的基础上分别用光滑的曲线顺次连接各点即可得到两个二次函数的图像．
（2）①根据题中给出的点，利用待定系数法，先设出表达式，代入即可解得解析式；
②利用①得出的两个解析式，与进行对比，找到相同之处与不同之处，即可得出猜想结论；
③利用待定系数法，设的“倍位似曲线”的对应点为，代入中，整理即可得出结论．
（3）先由推出两点的坐标，结合顶点的坐标表示出的表达式，最后根据题中给出的范围解出即可．
【详解】（1）解：①过点，
对应“倍位似点” 为，
故答案为：；
（2）解：①设的表达式为，
把点、点、点代入得
，解得，
的表达式为，
同理：的表达式为，
②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为；
③略
（3）解：令，
或，即图像与轴交点为，
分别为，故，
又顶点为，即，
，
，即，
解得或，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，位似图形的坐标变化规律，二次函数的顶点式，二次函数的实际应用，掌握函数图像的画法及图形变换的规律等知识点是解题的关键．
7．下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分．
(2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为．
【答案】(1)
如图所示，点即为所求；
(2)
如图所示，即为所求；
【分析】本题考查了三角形中线的性质，画位似图形．
（1）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解；
（2）根据题意找到上的靠近点的三等分点，连接即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，取格点，连接交于点，根据网格作
∵
∴
∴
∴，
同理可得，则
∴
又∵，
∴．
∴与位似，且相似比为．
1 / 1
学科网（北京）股份有限公司
$
31.4（第2课时）平面直角坐标系中的位似图形（原卷版）
目 录
类型一、求位似图形的对应坐标 1
类型二、在坐标系中求相似比 8
类型三、在坐标系中画位似图形 14
类型一、求位似图形的对应坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（ ）
A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的
10．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
12．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
13．如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
15．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________．
18．如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为___________．
19．如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为___________．
20．的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________．
22．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________．
24．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________．
25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为．
(2)在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________．
26．如图，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________．（不用写画图过程，但要写出结论）
27．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出的位似图形，使与的相似比为；
(2)直接写出点的坐标为________，点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________；
(3)在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为________．
类型二、在坐标系中求相似比
28．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
30．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（ ）
A．15 B．10 C．40 D．45
35．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．36 D．48
36．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
38．如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
39．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
40．如图，在平面直角坐标系中，位似于是以原点O为位似中心，若点的对应点C的坐标， 则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
41．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（ ）
A． B． C． D．
42．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____．
43．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）．
44．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______．
45．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________．
46．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________．
47．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的；
(2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________；
(3)与的面积比是________．
类型三、在坐标系中画位似图形
48．如图的顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为；
(2)在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标．
49．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）；
(2)直接写出点、的坐标．
50．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．在轴的左侧以原点为位似中心作的位似图形，使与的相似比为．
51．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)以O点为位似中心，位似比为2，将放大为，请在网格图中画出；
(2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
52．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
53．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
54．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为．
(2)在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标．
55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出；
(2)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)与的面积比为________．
56．在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
57．已知，在平面直角坐标系中的位置如图-所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形．
(1)直接写出点的坐标____________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；
(3)请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（保留作图痕迹）．
58．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2．
(2)点的坐标是_______．
59．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．
(1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为，
(2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中)
60．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
(1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；
(2)设与的周长分别为，，则______．
1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．与的周长之比为
D．与的面积之比为
2．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________．
4．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________．
5．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______．
6．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________．
7．如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________．
8．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______．
10．已知方程的一个根是．
(1)求方程的另一个根及k的值；
(2)在如图所示的网格中有，用无刻度直尺画一个，以点A为位似中心使它与位似，且相似比为k．
11．如图，已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在轴右侧画出以点为位似中心，放大到原来的2倍的，所作图中顶点坐标分别为_____________，_____________，_____________；
(2)请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得（保留作图痕迹）
12．如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
(2)点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________
(3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P；
(2)求点P的坐标及与的相似比．
14．如图，在由边长都是1的小正方形组成的网格中，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)请在图中标出位似中心O的位置，并以点O为原点建立平面直角坐标系；
(2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到，画出图形，此时点的坐标为______；
(3)请以点O为位似中心，在网格内再画一个，使它与的相似比为．
1．如图，在中，为平面内的一点，连接、、，若，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________．
4．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________．
5．剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁．
(1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______．
(2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）．
(3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长．
6．【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义：
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
图1
【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”．
【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究：
上的点
…
…
对应“倍位似点”
…
…
对应“倍位似点”
…
…
（1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____；
②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中；
③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”．
【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
的“倍位似曲线” 的表达式为：_____；
②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____；
③验证：请用证明验证你的猜想．
【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围．
7．下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分．
(2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为．
1 / 1
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
