5.3诱导公式（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.3诱导公式 🔷知识点一 诱导公式的推导依据 在平面直角坐标系中，设任意角的终边与单位圆交于点。借助角的终边对称关系，我们可以推导出不同角的三角函数之间的等量关系，这就是诱导公式。 诱导公式的本质：任意角做对称变换后，终边呈现对称关系；单位圆上交点横、纵坐标随之对称、翻转、互换，三角函数对应两种变化：①函数名不变，仅符号改变；②正弦、余弦互换名称，同时附带符号变化。 简单概括：角的终边具备对称关系，对应单位圆上点的坐标随之对称，进而带来三角函数值的符号变化。 角的关系 图示 对称特点 与 终边重合 与 终边关于原点对称 与 终边关于轴对称 与 终边关于轴对称 与 终边关于直线对称 ⚠️特别提醒 1. 是任意角，不局限于锐角、钝角，诱导公式对全体实数范围内的角恒成立。 2.解题时“将 看作锐角”只是判断符号的技巧，不是公式使用前提。 3.判断对称关系，只看终边位置，和角本身大小无关。 4.单位圆上点的坐标直接对应三角函数定义：，是推导公式的根基。 5.所有诱导公式的推导根基，全部来自单位圆坐标定义与角的终边对称性，无需死记硬背。 📌归纳总结 诱导公式是实现任意角三角函数向锐角三角函数转化的工具。把大角、负角、非标准角全部化归为熟悉的锐角三角函数，达到化繁为简的目的。 💡拓展延伸 诱导公式是高中三角函数化归思想的典型应用，贯穿化简、求值、比较大小、三角恒等式证明等题型，为后续三角函数图像性质做铺垫。 🔷 知识点二 三角函数的诱导公式 1.三角函数诱导公式 公式一 其中。 可以把求任意角的三角函数值转化为求角的三角函数值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 公式六 将的角的三角函数值转化为求的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 2. 诱导公式口诀释义 把任意角写成的形式： （1）偶不变：为偶数（，对应），正弦、余弦名称保持不变； （2）奇变：为奇数（，对应），正弦、余弦互相交换名称； （3）符号看象限：把看作锐角，判断所在象限，原三角函数在该象限的符号，就是等式右侧前面添加的正负号。 3.任意角三角函数的化简步骤 （1）负化正：利用公式三，把负角转化为正角； （2）大化小：利用公式一，去掉，把角缩小到； （3）小化锐：利用公式二、四、五、六，把钝角、第二、三、四象限角转化为锐角； （4）锐求值：代入锐角特殊角三角函数值算出最终结果。 ⚠️特别提醒 1.公式一体现三角函数的周期性：加减周角，函数值不变。 2.公式三体现函数的奇偶性： 是奇函数，函数值变号； 是偶函数，函数值符号不变 3.“符号看象限”绝对不能看化简后的式子，看的是原来的角、原来的三角函数在对应象限的符号。 4.口诀只用来判断符号与函数名，始终视作锐角，与实际所在象限无关。 5. 的奇数倍，变函数名； 的偶数倍，函数名不变。 6.正切函数的最小正周期为，因此，可单独使用。 7.口诀“奇变偶不变，符号看象限”只针对这种结构；不能直接套用于以外任意角组合。 📌归纳总结 1.本质统一：全部诱导公式都是单位圆对称性衍生出来的结论。 2.功能统一：大化小，负化正。把任意角的三角函数，转化为锐角（)三角函数求值。 3.口诀统一：奇变偶不变，符号看象限。 💡拓展延伸 1.同样属于奇数倍，也需要互换函数名，可由前五组公式推导得到，不需要死记。 2.象限符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 3.用诱导公式化简顺序： 先去负角 → 再去周角 → 再处理 → 最后处理 4.三角函数化简的最终要求：项数最少、函数种类最少、不含分母、不含根号。 易错点1 混淆“变名”与“不变名”，乱用函数名 错例：；。 错因：分不清为奇数还是偶数，是（偶数），函数名不变；是（奇数），必须互换正弦、余弦，学生没有更换函数名称。 规避方法：先把角写成，先判k奇偶定函数名，后判断符号，不要颠倒顺序。 易错点 2 判断符号时看错函数，把变换后的函数符号当作原函数符号 错例：化简，错误写成。 错因：在第二象限，学生错误看正弦的符号，没有看原函数cos在第二象限为负，正确结果应为。 规避方法：严格遵守规则：符号只看原式左边的函数在该象限的正负，与右边变换后的函数无关。 易错点 3 使用“符号看象限”时，把当成实际象限角，导致符号混乱 错例：已知是第三象限角，化简，错误写成。 错因:记忆口诀时，必须把临时看作锐角；（锐角）在第二象限，余弦为负，所以；化简时代入为第三象限角去判断，造成符号出错。 规避方法：无论实际在哪个象限，在判断符号的这一步，临时把当作锐角，只看角所在象限，只判断原函数正负。 易错点 4 负角化简顺序颠倒，直接套用公式二、四，忽略“负化正” 错例：直接计算，步骤混乱，容易符号出错。 错因：没有先使用奇偶性处理负角，强行拆分负角，增加出错概率。 规避方法：有负角第一步优先公式三处理负号，负化正之后再继续化简，减少出错。 易错点 5 正切函数周期记错，混用周期 错例：化简，错误写成，多此一举；甚至出现。 错因：只记住正弦、余弦周期为，忘记正切最小正周期是。 规避方法：牢记：周期；周期，。 易错点 6 弧度制与角度制混用，角单位不统一 错例：计算，直接套用诱导公式，角单位混乱。 错因：是弧度，是角度，二者不能直接合并运算。 规避方法：做题全程统一单位，要么全部化为角度，要么全部化为弧度，严禁弧度、角度混合书写。 题型一：任意角直接计算三角函数值 📝方法技巧 1.严格执行四步流程：负化正→大化小→小化锐→锐求值； 2.负角优先用奇偶性；大于的角优先去掉； 3.出现的整数倍用公式二、四；出现的奇数倍用公式五、六； 4.式子中同时有切和弦，优先切化弦，减少函数种类。 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 5．（26-27高一下·浙江·期中）的值为（　　） A． B． C． D． 6.（26-27高一上·广西钦州·期末）tan（）的值等于（　　） A．1 B． C． D． 7．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测） __________． 8．（26-27高一上·浙江·开学考试）的值为______________. 题型二：已知一个三角函数值，求另一角的三角函数 📝方法技巧 1.观察已知角与所求角之间的关系，判断两角是否相差，能否直接用诱导公式实现角的转化； 2.利用诱导公式把所求角转化为已知角，只保留符号变化，函数名按需更换； 3.根据所在象限，确定三角函数最终正负； 4.核心思路：角的整体代换，不拆分角，只做角的变形。 1．（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D．. 6．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列各式中正确的有（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）若是第四象限角，则______； 8．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知为第三象限角，，则___． 题型三：三角函数式的化简 📝方法技巧 1.统一角：先用诱导公式把所有角统一为同一个角； 2.统一名：遵循“切化弦”原则，把正切全部化为正弦、余弦； 3.统一次数：利用平方关系降次； 4.化简标准：项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、无根号； 5.遇到，分为奇数、偶数讨论，分段化简。 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海·期中）化简__________. 6．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：____________. 7．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 题型四：三角恒等式证明题 📝方法技巧 1.单向化简：从结构复杂的一侧出发，使用诱导公式、同角关系逐步变形，向简单一侧靠拢； 2.双向化简：左右两边同时化简，最终化为同一个中间表达式； 3.优先处理角：先用诱导公式消去，把所有角统一，再处理函数名称； 4.切化弦贯穿全程，尽量只保留正弦与余弦。 1． （26-27高一上·全国·课后作业）证明：． 2． （26-27高一上·上海·课堂例题）证明：． 3．（26-27高一上·全国·课前预习）求证： 4.（26-27高一·全国·课后作业）证明：，． 5．（26-27高一上·江苏盐城·期末）已知角为第三象限角，且tan=3. （1）求cos的值； （2）若的值. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）求证：. 7．（26-27高一·全国·课后作业）求证：. 题型五： 诱导公式与同角三角函数综合题 📝方法技巧 1.先用诱导公式把条件式化简，把角统一为； 2.已知一值求另外两值时，根据角所在象限确定开方后的正负； 3.遇到齐次式（分子分母均为正弦余弦一次式），分子分母同除以，转化为只含的式子； 4.严格区分符号：诱导公式定符号，象限再核对最终正负。 1．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 4．（25-26高一下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 5．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若，且是第一象限角，则_______________． 8．（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 题型六：三角形中的诱导公式应用 📝方法技巧 1.利用内角和：，，直接套用公式四； 2.常用结论：，； 3.三角形内角范围都是，正弦恒为正，余弦可正可负。 1．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期末）若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列各三角函数值中，符号为负的有（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026高二下·浙江·学业考试）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.3诱导公式 🔷知识点一 诱导公式的推导依据 在平面直角坐标系中，设任意角的终边与单位圆交于点。借助角的终边对称关系，我们可以推导出不同角的三角函数之间的等量关系，这就是诱导公式。 诱导公式的本质：任意角做对称变换后，终边呈现对称关系；单位圆上交点横、纵坐标随之对称、翻转、互换，三角函数对应两种变化：①函数名不变，仅符号改变；②正弦、余弦互换名称，同时附带符号变化。 简单概括：角的终边具备对称关系，对应单位圆上点的坐标随之对称，进而带来三角函数值的符号变化。 角的关系 图示 对称特点 与 终边重合 与 终边关于原点对称 与 终边关于轴对称 与 终边关于轴对称 与 终边关于直线对称 ⚠️特别提醒 1. 是任意角，不局限于锐角、钝角，诱导公式对全体实数范围内的角恒成立。 2.解题时“将 看作锐角”只是判断符号的技巧，不是公式使用前提。 3.判断对称关系，只看终边位置，和角本身大小无关。 4.单位圆上点的坐标直接对应三角函数定义：，是推导公式的根基。 5.所有诱导公式的推导根基，全部来自单位圆坐标定义与角的终边对称性，无需死记硬背。 📌归纳总结 诱导公式是实现任意角三角函数向锐角三角函数转化的工具。把大角、负角、非标准角全部化归为熟悉的锐角三角函数，达到化繁为简的目的。 💡拓展延伸 诱导公式是高中三角函数化归思想的典型应用，贯穿化简、求值、比较大小、三角恒等式证明等题型，为后续三角函数图像性质做铺垫。 🔷 知识点二 三角函数的诱导公式 1.三角函数诱导公式 公式一 其中。 可以把求任意角的三角函数值转化为求角的三角函数值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 公式六 将的角的三角函数值转化为求的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 2. 诱导公式口诀释义 把任意角写成的形式： （1）偶不变：为偶数（，对应），正弦、余弦名称保持不变； （2）奇变：为奇数（，对应），正弦、余弦互相交换名称； （3）符号看象限：把看作锐角，判断所在象限，原三角函数在该象限的符号，就是等式右侧前面添加的正负号。 3.任意角三角函数的化简步骤 （1）负化正：利用公式三，把负角转化为正角； （2）大化小：利用公式一，去掉，把角缩小到； （3）小化锐：利用公式二、四、五、六，把钝角、第二、三、四象限角转化为锐角； （4）锐求值：代入锐角特殊角三角函数值算出最终结果。 ⚠️特别提醒 1.公式一体现三角函数的周期性：加减周角，函数值不变。 2.公式三体现函数的奇偶性： 是奇函数，函数值变号； 是偶函数，函数值符号不变 3.“符号看象限”绝对不能看化简后的式子，看的是原来的角、原来的三角函数在对应象限的符号。 4.口诀只用来判断符号与函数名，始终视作锐角，与实际所在象限无关。 5. 的奇数倍，变函数名； 的偶数倍，函数名不变。 6.正切函数的最小正周期为，因此，可单独使用。 7.口诀“奇变偶不变，符号看象限”只针对这种结构；不能直接套用于以外任意角组合。 📌归纳总结 1.本质统一：全部诱导公式都是单位圆对称性衍生出来的结论。 2.功能统一：大化小，负化正。把任意角的三角函数，转化为锐角（)三角函数求值。 3.口诀统一：奇变偶不变，符号看象限。 💡拓展延伸 1.同样属于奇数倍，也需要互换函数名，可由前五组公式推导得到，不需要死记。 2.象限符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 3.用诱导公式化简顺序： 先去负角 → 再去周角 → 再处理 → 最后处理 4.三角函数化简的最终要求：项数最少、函数种类最少、不含分母、不含根号。 易错点1 混淆“变名”与“不变名”，乱用函数名 错例：；。 错因：分不清为奇数还是偶数，是（偶数），函数名不变；是（奇数），必须互换正弦、余弦，学生没有更换函数名称。 规避方法：先把角写成，先判k奇偶定函数名，后判断符号，不要颠倒顺序。 易错点 2 判断符号时看错函数，把变换后的函数符号当作原函数符号 错例：化简，错误写成。 错因：在第二象限，学生错误看正弦的符号，没有看原函数cos在第二象限为负，正确结果应为。 规避方法：严格遵守规则：符号只看原式左边的函数在该象限的正负，与右边变换后的函数无关。 易错点 3 使用“符号看象限”时，把当成实际象限角，导致符号混乱 错例：已知是第三象限角，化简，错误写成。 错因:记忆口诀时，必须把临时看作锐角；（锐角）在第二象限，余弦为负，所以；化简时代入为第三象限角去判断，造成符号出错。 规避方法：无论实际在哪个象限，在判断符号的这一步，临时把当作锐角，只看角所在象限，只判断原函数正负。 易错点 4 负角化简顺序颠倒，直接套用公式二、四，忽略“负化正” 错例：直接计算，步骤混乱，容易符号出错。 错因：没有先使用奇偶性处理负角，强行拆分负角，增加出错概率。 规避方法：有负角第一步优先公式三处理负号，负化正之后再继续化简，减少出错。 易错点 5 正切函数周期记错，混用周期 错例：化简，错误写成，多此一举；甚至出现。 错因：只记住正弦、余弦周期为，忘记正切最小正周期是。 规避方法：牢记：周期；周期，。 易错点 6 弧度制与角度制混用，角单位不统一 错例：计算，直接套用诱导公式，角单位混乱。 错因：是弧度，是角度，二者不能直接合并运算。 规避方法：做题全程统一单位，要么全部化为角度，要么全部化为弧度，严禁弧度、角度混合书写。 题型一：任意角直接计算三角函数值 📝方法技巧 1.严格执行四步流程：负化正→大化小→小化锐→锐求值； 2.负角优先用奇偶性；大于的角优先去掉； 3.出现的整数倍用公式二、四；出现的奇数倍用公式五、六； 4.式子中同时有切和弦，优先切化弦，减少函数种类。 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．（26-27高三上·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式，，故B正确. 4．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式，将给定大角度转化为常见锐角的正切值求解. 【详解】， 所以 ， 故. 5．（26-27高一下·浙江·期中）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可． 【详解】cos=cos=-cos=． 故选B． 6.（26-27高一上·广西钦州·期末）tan（）的值等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】tan（）=tan（-2π+）=tan=1． 故选A． 7．（26-27高三上·黑龙江牡丹江·阶段检测） __________． 【答案】0 【分析】利用周期性和诱导公式计算. 【详解】 8．（26-27高一上·浙江·开学考试）的值为______________. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】. 题型二：已知一个三角函数值，求另一角的三角函数 📝方法技巧 1.观察已知角与所求角之间的关系，判断两角是否相差，能否直接用诱导公式实现角的转化； 2.利用诱导公式把所求角转化为已知角，只保留符号变化，函数名按需更换； 3.根据所在象限，确定三角函数最终正负； 4.核心思路：角的整体代换，不拆分角，只做角的变形。 1．（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得： 2．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 3．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 4．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式变形和同角三角函数关系可得答案 【详解】， 因为，所以，故 因为，所以， 故. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 6．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列各式中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用同角三角函数关系求得或，进而依次判断各项的正误. 【详解】由，则，且是第二或第四象限角， 结合，则，故或， 所以，，， 7．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）若是第四象限角，则______； 【答案】/0.8 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以，又是第四象限角， 所以， 所以. 8．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知为第三象限角，，则___． 【答案】/ 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 则. 题型三：三角函数式的化简 📝方法技巧 1.统一角：先用诱导公式把所有角统一为同一个角； 2.统一名：遵循“切化弦”原则，把正切全部化为正弦、余弦； 3.统一次数：利用平方关系降次； 4.化简标准：项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、无根号； 5.遇到，分为奇数、偶数讨论，分段化简。 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的诱导公式及举反例求解． 【详解】对于选项A，令，得，所以A错误； 对于选项B，令，得，所以B错误； 对于选项C，令，得，所以C错误． 对于选项D，根据三角函数诱导公式可得，故D正确． 2．（26-27高一上·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确． 3．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式化简计算可得. 【详解】由诱导公式， 所以原式. 4．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 5．（25-26高一下·上海·期中）化简__________. 【答案】 【分析】直接根据诱导公式及正切函数的周期化简可得 【详解】，，，. 将化简结果代入原式： . 6．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：____________. 【答案】1 【详解】 7．（25-26高一下·上海静安·期末）化简：______． 【答案】1 【详解】 题型四：三角恒等式证明题 📝方法技巧 1.单向化简：从结构复杂的一侧出发，使用诱导公式、同角关系逐步变形，向简单一侧靠拢； 2.双向化简：左右两边同时化简，最终化为同一个中间表达式； 3.优先处理角：先用诱导公式消去，把所有角统一，再处理函数名称； 4.切化弦贯穿全程，尽量只保留正弦与余弦。 1．（26-27高一上·全国·课后作业）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【详解】证明： ， ， 故等式左边，等式成立． 2．（26-27高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以．． 3．（26-27高一上·全国·课前预习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立． 4．（26-27高一·全国·课后作业）证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【详解】当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 5．（26-27高一上·江苏盐城·期末）已知角为第三象限角，且tan=3. （1）求cos的值； （2）若的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系求解即可； （2）利用诱导公式化简后，弦化切，代入tan3求解即可. 【详解】（1）， ， 由， 解得， 因为为第三象限角， 所以 （2）因为, 所以. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）求证：. 【答案】 证明：左边==右边， 所以原等式成立. 【分析】直接利用诱导公式化简即可. 【详解】略 7．（26-27高一·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式结合切化弦的思想证明等式两边同时等于一个代数式，进而由左右归一法可证明等式成立. 【详解】左边， 右边，左边右边，故原式成立. 题型五： 诱导公式与同角三角函数综合题 📝方法技巧 1.先用诱导公式把条件式化简，把角统一为； 2.已知一值求另外两值时，根据角所在象限确定开方后的正负； 3.遇到齐次式（分子分母均为正弦余弦一次式），分子分母同除以，转化为只含的式子； 4.严格区分符号：诱导公式定符号，象限再核对最终正负。 1．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，又， ， 解得或（舍），，故C符合． 2．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由题可知， 所以， 解得. 3．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 【答案】B 【详解】， 分子分母同除以得：，代入， . 4．（25-26高一下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 5．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简已知： ， 分子分母分别用诱导公式化简： ， ， ， ， 原式： ， 分子分母同除以：， 代入， . 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，故A不成立； ，故B不成立； ，故C成立； ，故D成立． 7．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若，且是第一象限角，则_______________． 【答案】/ 【详解】， 已知，且是第一象限角， 则． 8．（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 【答案】 【分析】由是第三象限角，可得，然后由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】方程的根为或2， 又是第三象限角，则，从而， 得，又， ，，. 则原式． 题型六：三角形中的诱导公式应用 📝方法技巧 1.利用内角和：，，直接套用公式四； 2.常用结论：，； 3.三角形内角范围都是，正弦恒为正，余弦可正可负。 1．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 2．（25-26高一下·北京·期末）若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及象限角三角函数值正负判断各个选项. 【详解】若为第二象限角， ，A选项不符合题意； ，B选项不符合题意； ，C选项不符合题意； ，D选项符合题意； 3．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列各三角函数值中，符号为负的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，为第三象限角，故，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则为第二象限角，故，C正确； 4．（多选）（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，因为，所以，故D错误. 5．（多选）（2026高二下·浙江·学业考试）在中，下列恒等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由以及诱导公式即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故B错误； 对于C选项， 因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故D正确. 6．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D， ，故D正确． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $