5.4三角函数的图象与性质（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.4三角函数的图象与性质 🔷知识点一 正弦、余弦函数的图象 1.“五点法”作图 函数 图象       关键五点 ，，，， ，，，， 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 图象关系：，余弦曲线可看作正弦曲线向左平移个单位得到。 ⚠️特别提醒 1.五点法只用于一个周期内简图绘制，五个点分别对应0、、、、，不是看直接取这五个数，对，是令整体取上述五个值。 2.正弦、余弦曲线是连续光滑的波浪曲线，向左右无限重复延伸。 3.简图只需要抓住关键点，不需要精准描点，考试画图标出关键点坐标。 📌归纳总结 五点法本质是抓住一个周期内函数零点、最高点、最低点，快速勾勒周期函数轮廓；对于复杂正弦型函数，用整体代换，令，对取五点再反求。 💡拓展延伸 已知部分图象求解析式，“五点”是核心突破口；区分上升零点（第一点）和下降零点（第三点），二者代入方程得到完全不同，极易出错。 🔷 知识点二 周期函数与最小正周期 1.周期函数的概念：对于函数，存在非零常数，对定义域内任意，都有，则为周期函数，叫做这个函数的一个周期。 2.最小正周期：周期中存在的最小正数，叫做最小正周期。 3.常见函数周期 函数 周期 最小正周期 ⚠️特别提醒 1.函数的周期不止一个，周期的整数倍依然是周期；题目没有说明，“周期”默认指最小正周期。 2.必须对定义域内每一个都成立，个别点满足不能判定为周期。 3.最小正周期是，不是，加绝对值把下半部分翻折向上，周期减半。 📌归纳总结 函数 最小正周期 💡拓展延伸 若函数存在对称轴、对称中心，可利用对称轴、对称中心之间距离估算周期： 相邻两条对称轴距离；相邻两个对称中心距离；相邻对称轴与对称中心距离。 🔷 知识点三 正弦、余弦函数的性质 1.正弦、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于轴对称 单调递增区间 单调递减区间 对称轴 ， ， 对称中心 最大值 最大值1，当且仅当， 最大值1，当且仅当 最小值 最小值，当且仅当， 最小值，当且仅当， 零点 ， ， 2.可以利用单位圆三角函数线、函数图象求解三角不等式，这是求解定义域、单调区间的基础工具，先找出一个周期内的解集，再叠加周期，写上 ⚠️特别提醒 1.书写正弦、余弦函数的单调区间时，必须写成闭区间形式，并且区间后面必须加上，考试漏写直接扣分。 2.正弦、余弦函数的对称轴一定经过最高点或者最低点；对称中心是函数图象和轴交点，也就是函数的零点。 3.正弦、余弦函数的值域是，即正弦函数、余弦函数的取值范围固定在-1到1之间，不会超出这个范围。 📌归纳总结 正弦函数、余弦函数的图象同时具备轴对称性与中心对称性。当我们求解复合三角函数的单调区间、对称轴以及对称中心时，统一使用整体代换的方法：把解析式括号内的看成一个整体，替换基础正弦或者余弦函数里面的自变量，再通过解不等式完成计算。 💡拓展延伸 1.若 是奇函数，函数图象过原点，满足 2.若 是偶函数，函数图象关于y轴对称，满足 3.若 是奇函数，满足 4.若 是偶函数，满足 🔷 知识点四 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调递增区间 单调递减区间 无 对称轴 正切函数不存在对称轴 对称中心 最值 无最大值和最小值 零点 ⚠️特别提醒 1.正切图象有垂直渐近线，无限靠近但永远不能取到这些直线上的点；定义域千万不要写成。 2.单调区间只能写开区间，绝对不能写成闭区间，渐近线位置函数无定义。 3.正切每个周期内只单调递增，不存在递减区间；不能说正切函数在定义域上单调递增，只能写每一个开区间内递增。 📌归纳总结 正切函数的值域是全体实数，所以没有最值；对称中心不仅包含零点，还包含渐近线与轴交点，这是高频坑点。 💡拓展延伸 对于正切型函数，求定义域时，令解出的取值范围；求单调递增区间时。令；它的最小正周期。 易错点1 忽略正切函数定义域，单调区间误写闭区间，错误认为正切在定义域上单调递增 错例：单调递增区间写成，或者写“在上单调递增”。 错因：函数无定义，不能取等；正切只在每一个独立开区间递增，跨区间不是单调递增。 规避方法：正切单调区间严格写开区间；描述单调性必须带上“在每一个区间”，禁止直接说定义域上单调递增。 易错点 2 求单调区间，没有化为正数，导致增减颠倒 错例：求增区间，直接令求解。 错因：内层是减函数，复合之后原函数单调性和相反，直接套用会得到完全相反的区间。 规避方法：遇到系数为负数，先用诱导公式，把化成正数，再列不等式求单调区间。 易错点 3 求复合三角函数值域，只代入区间两个端点，忽略区间内部存在最高点、最低点 错例：，，代入、直接取两个端点当做最大最小值。 错因：范围包含，函数在此处可以取到最大值1，端点不一定就是最值。 规避方法：先算整体取值范围，画出基础在该范围上图象，再确定最大、最小值，不能直接代入区间端点。 易错点 4 混淆对称轴、对称中心结论；正切对称中心只记零点，漏掉 错例：认为对称中心只有；认为正切存在对称轴。 错因：正切曲线关于点中心对称，渐近线与x轴交点也是对称中心；正切没有任何一条对称轴。 规避方法：牢记：正弦余弦既有对称轴又有对称中心；正切只有对称中心，没有对称轴，对称中心坐标。 易错点 5 周期计算错误，带绝对值三角函数周期照搬原来周期 错例：最小正周期写。 错因：加绝对值，将x轴下方图像翻折向上，周期减半。 规避方法：、最小正周期；最小正周期还是，画草图辅助判断周期。 易错点 6 写单调区间、解集，遗漏；区间混淆开闭 错例：正弦递增区间写，不加；正切单调区间写闭区间。 错因：三角函数是周期函数，解集有无穷多组，不写只是一个周期内区间，不是完整答案。 规避方法：写完三角函数所有区间，检查是否附带；正弦余弦单调区间闭区间；正切单调区间必须开区间。 题型一：三角函数周期的计算 📝方法技巧 1.对于函数 、，它的最小正周期为 ； 对于函数 ，它的最小正周期为 。 2.带有绝对值的三角函数：一般通过画出函数图象来分析判断周期，例如 的最小正周期是 。 3.周期函数定义验证：如果想要验证常数是不是这个函数的一个周期，可以将 代入函数，检验式子 是否恒成立。 4.由多个三角函数相加或者相减得到的函数，它的最小正周期取每一个三角函数各自最小正周期的最小公倍数。 1.（26-27高三上·江苏·学业考试真题）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河北·阶段检测）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 6.（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 8.（多选）（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：解三角不等式 📝方法技巧 1.两种常用手段：单位圆三角函数线法，或者画出三角函数一个周期内图象，定位边界角。 2.先找出在一个周期内满足不等式的的解集，再叠加对应的周期，最后务必写上。 3.严格注意不等号类型：大于或大于等于，决定区间端点是否可取，对应开闭区间。 4.求解定义域、单调区间很多题目，本质就是在解三角不等式。 1.（26-27高二上·山东·考试真题）若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2026高二下·浙江·学业考试）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·河北唐山·一模）若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高三上·山东·阶段检测）若对任意的，总存在使得，则的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）不等式，的解集为________. 8.（25-26高一下·全国·课堂例题）不等式的解集为______． 题型三：三角函数定义域求解 📝方法技巧 1.函数 、 的定义域都是全体实数。 2.对于 ，要保证正切有意义，令 ，再解这个不等式得到的范围。 3.综合型三角函数需要同时满足几类限制条件： （1）分式要求分母不等于零； （2）偶次方根要求根号里面的式子大于或等于零（奇次方根对里面式子无正负限制，不用额外约束）； （3）含有正切函数的部分，要满足正切本身的定义域要求， 最后把全部条件联立成不等式组求解。 4.求解三角不等式时，可以借助正弦、余弦、正切的函数图象辅助分析，求出解集之后，记得在结果后面标注 。 1.（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·陕西商洛·阶段检测）函数定义域为______. 5．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为_______________________ 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的定义域为_________________. 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为______． 8．（2026高三·全国·专题练习）（1）函数的定义域是__________； （2）函数的定义域是__________． 题型四：三角函数单调区间求解 📝方法技巧 1.代换（整体）法：令 ，将复合三角函数转化为正弦、余弦、正切这类基础三角函数，先求出基础函数对应的单调区间，再把 代回，解关于的不等式。 2.如果，优先利用诱导公式把前面的系数转化为正数之后，再去求单调区间，避免复合函数单调性判断出错。 3.如果题目给定自变量范围 ，求出不等式的通解之后，对整数进行赋值，筛选出落在区间里面的解集。 4.解题过程中要区分清楚递增区间和递减区间；正切函数只有递增区间，不存在递减区间。 5.结果求出之后可以检验：选取区间内部的数值代入函数，简单验证单调性是否正确。 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数的周期为2，且在区间上单调递减，则可以是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（18-19高一下·辽宁·期末）已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5.（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·安徽亳州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．在上单调递增 7．（多选）（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 题型五：奇偶性、对称轴、对称中心相关问题 📝方法技巧 1.判断函数奇偶性的前提条件：函数的定义域必须关于原点对称，定义域不满足的函数一定不具备奇偶性。 2.对于函数 ：它是奇函数的等价条件为 ；它是偶函数的等价条件为 。 3.对称轴规律：正弦函数、余弦函数在对称轴对应的位置，函数能够取到最大值或者最小值；正弦型函数令 ，余弦型函数令 ，解出就得到对称轴。 4.对称中心规律：函数在对称中心的横坐标处，函数值等于0； 正弦、余弦型函数令 ，解出横坐标；正切函数的对称中心为 。 5.已知对称轴或者对称中心去求解参数时，把条件代入对应的等式当中，建立方程来解出参数。 1．（25-26高一下·上海·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2．（2026·安徽·模拟预测）已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·河北·开学考试）“，”是“函数的图象关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·青海黄南·模拟预测）已知函数是偶函数，且点为的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 6.（25-26高一下·北京·期中）设函数在区间上是单调函数，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 8.（多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 题型六： 三角函数求最值、值域问题 📝方法技巧 1.直接型 ：利用的取值范围，直接计算函数的值域与最值。 2.复合型 ： ① 先根据题目给出的取值范围，求出整体 的取值范围； ② 根据得到的的范围画出 的简易草图，结合图象观察函数的最大值与最小值。 3.换元型 ：令 ，其中，转化成闭区间上的二次函数求值域，做题时一定要记住的范围限制，不能忽略正弦函数的有界性。 4.形如 的式子：做换元令 ，再转化为二次函数求解值域。 5.注意：正切函数的值域是全体实数，求值域时，要先确定好整体的取值范围，再结合正切图象分析。 1．（2026-2027重难点培优01 三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·北京·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数的最小值为，则的最大值是_______． 8．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知函数． (求在上的值域； 题型七：给定区间零点、最值、单调条件，求参数取值范围 📝方法技巧 1.整体代换：令 ，根据题目给出的所在区间，写出新变量对应的取值范围。 2.把原题的零点个数、最值点个数、单调区间相关条件，转化成基础函数 在区间上满足的对应条件。 3.利用子集的思想列出不等式，锁定参数的范围。 4.重点留意区间的端点能不能取等号，端点位置要单独检验，避免多解或者漏解。 1.（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 5.（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 7．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）函数，若在上无零点，则的取值范围是_____． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（）． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上恰有个零点，求 的取值范围； 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 5.4三角函数的图象与性质 🔷知识点一 正弦、余弦函数的图象 1.“五点法”作图 函数 图象       关键五点 ，，，， ，，，， 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 图象关系：，余弦曲线可看作正弦曲线向左平移个单位得到。 ⚠️特别提醒 1.五点法只用于一个周期内简图绘制，五个点分别对应0、、、、，不是看直接取这五个数，对，是令整体取上述五个值。 2.正弦、余弦曲线是连续光滑的波浪曲线，向左右无限重复延伸。 3.简图只需要抓住关键点，不需要精准描点，考试画图标出关键点坐标。 📌归纳总结 五点法本质是抓住一个周期内函数零点、最高点、最低点，快速勾勒周期函数轮廓；对于复杂正弦型函数，用整体代换，令，对取五点再反求。 💡拓展延伸 已知部分图象求解析式，“五点”是核心突破口；区分上升零点（第一点）和下降零点（第三点），二者代入方程得到完全不同，极易出错。 🔷 知识点二 周期函数与最小正周期 1.周期函数的概念：对于函数，存在非零常数，对定义域内任意，都有，则为周期函数，叫做这个函数的一个周期。 2.最小正周期：周期中存在的最小正数，叫做最小正周期。 3.常见函数周期 函数 周期 最小正周期 ⚠️特别提醒 1.函数的周期不止一个，周期的整数倍依然是周期；题目没有说明，“周期”默认指最小正周期。 2.必须对定义域内每一个都成立，个别点满足不能判定为周期。 3.最小正周期是，不是，加绝对值把下半部分翻折向上，周期减半。 📌归纳总结 函数 最小正周期 💡拓展延伸 若函数存在对称轴、对称中心，可利用对称轴、对称中心之间距离估算周期： 相邻两条对称轴距离；相邻两个对称中心距离；相邻对称轴与对称中心距离。 🔷 知识点三 正弦、余弦函数的性质 1.正弦、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于轴对称 单调递增区间 单调递减区间 对称轴 ， ， 对称中心 最大值 最大值1，当且仅当， 最大值1，当且仅当 最小值 最小值，当且仅当， 最小值，当且仅当， 零点 ， ， 2.可以利用单位圆三角函数线、函数图象求解三角不等式，这是求解定义域、单调区间的基础工具，先找出一个周期内的解集，再叠加周期，写上 ⚠️特别提醒 1.书写正弦、余弦函数的单调区间时，必须写成闭区间形式，并且区间后面必须加上，考试漏写直接扣分。 2.正弦、余弦函数的对称轴一定经过最高点或者最低点；对称中心是函数图象和轴交点，也就是函数的零点。 3.正弦、余弦函数的值域是，即正弦函数、余弦函数的取值范围固定在-1到1之间，不会超出这个范围。 📌归纳总结 正弦函数、余弦函数的图象同时具备轴对称性与中心对称性。当我们求解复合三角函数的单调区间、对称轴以及对称中心时，统一使用整体代换的方法：把解析式括号内的看成一个整体，替换基础正弦或者余弦函数里面的自变量，再通过解不等式完成计算。 💡拓展延伸 1.若 是奇函数，函数图象过原点，满足 2.若 是偶函数，函数图象关于y轴对称，满足 3.若 是奇函数，满足 4.若 是偶函数，满足 🔷 知识点四 正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调递增区间 单调递减区间 无 对称轴 正切函数不存在对称轴 对称中心 最值 无最大值和最小值 零点 ⚠️特别提醒 1.正切图象有垂直渐近线，无限靠近但永远不能取到这些直线上的点；定义域千万不要写成。 2.单调区间只能写开区间，绝对不能写成闭区间，渐近线位置函数无定义。 3.正切每个周期内只单调递增，不存在递减区间；不能说正切函数在定义域上单调递增，只能写每一个开区间内递增。 📌归纳总结 正切函数的值域是全体实数，所以没有最值；对称中心不仅包含零点，还包含渐近线与轴交点，这是高频坑点。 💡拓展延伸 对于正切型函数，求定义域时，令解出的取值范围；求单调递增区间时。令；它的最小正周期。 易错点1 忽略正切函数定义域，单调区间误写闭区间，错误认为正切在定义域上单调递增 错例：单调递增区间写成，或者写“在上单调递增”。 错因：函数无定义，不能取等；正切只在每一个独立开区间递增，跨区间不是单调递增。 规避方法：正切单调区间严格写开区间；描述单调性必须带上“在每一个区间”，禁止直接说定义域上单调递增。 易错点 2 求单调区间，没有化为正数，导致增减颠倒 错例：求增区间，直接令求解。 错因：内层是减函数，复合之后原函数单调性和相反，直接套用会得到完全相反的区间。 规避方法：遇到系数为负数，先用诱导公式，把化成正数，再列不等式求单调区间。 易错点 3 求复合三角函数值域，只代入区间两个端点，忽略区间内部存在最高点、最低点 错例：，，代入、直接取两个端点当做最大最小值。 错因：范围包含，函数在此处可以取到最大值1，端点不一定就是最值。 规避方法：先算整体取值范围，画出基础在该范围上图象，再确定最大、最小值，不能直接代入区间端点。 易错点 4 混淆对称轴、对称中心结论；正切对称中心只记零点，漏掉 错例：认为对称中心只有；认为正切存在对称轴。 错因：正切曲线关于点中心对称，渐近线与x轴交点也是对称中心；正切没有任何一条对称轴。 规避方法：牢记：正弦余弦既有对称轴又有对称中心；正切只有对称中心，没有对称轴，对称中心坐标。 易错点 5 周期计算错误，带绝对值三角函数周期照搬原来周期 错例：最小正周期写。 错因：加绝对值，将x轴下方图像翻折向上，周期减半。 规避方法：、最小正周期；最小正周期还是，画草图辅助判断周期。 易错点 6 写单调区间、解集，遗漏；区间混淆开闭 错例：正弦递增区间写，不加；正切单调区间写闭区间。 错因：三角函数是周期函数，解集有无穷多组，不写只是一个周期内区间，不是完整答案。 规避方法：写完三角函数所有区间，检查是否附带；正弦余弦单调区间闭区间；正切单调区间必须开区间。 题型一：三角函数周期的计算 📝方法技巧 1.对于函数 、，它的最小正周期为 ； 对于函数 ，它的最小正周期为 。 2.带有绝对值的三角函数：一般通过画出函数图象来分析判断周期，例如 的最小正周期是 。 3.周期函数定义验证：如果想要验证常数是不是这个函数的一个周期，可以将 代入函数，检验式子 是否恒成立。 4.由多个三角函数相加或者相减得到的函数，它的最小正周期取每一个三角函数各自最小正周期的最小公倍数。 1.（26-27高三上·江苏·学业考试真题）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期. 2．（26-27高三上·河北·阶段检测）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期为 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于 A，，为偶函数，，最小正周期，符合； 对于B，是奇函数，最小正周期，排除； 对于C，非奇非偶，且不是周期函数，排除； 对于D，是奇函数，排除． 4.（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 6.（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 7.（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用偶函数定义可判断A正确，代入检验可知不是的最小正周期，故B不正确；对的正负进行分类讨论，可判断CD正确. 【详解】因为，的定义域为， 所以是偶函数，故A正确； 因为， 所以不是的最小正周期，故B不正确； 当时，，当时，， 所以的最大值为2，最小值为0，故C、D均正确． 故选：ACD． 8.（多选）（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角函数的性质及周期的定义一一判定选项即可. 【详解】不妨令表示四个选项中的对应函数， 对于A，易知， 注意到， 因此为周期函数，故A正确； 对于B， 注意到， 因此为周期函数，故B正确； 对于D， 注意到， 因此为周期函数，故D正确； 对于C，易知， 假设存在正常数T，使得恒成立，分别取，得： ， ， ． 不妨设，其中， ， ， 由于，而为无理数，则上式不恒成立， ∴T不存在，不是周期函数，故C错误． 故选：ABD 题型二：解三角不等式 📝方法技巧 1.两种常用手段：单位圆三角函数线法，或者画出三角函数一个周期内图象，定位边界角。 2.先找出在一个周期内满足不等式的的解集，再叠加对应的周期，最后务必写上。 3.严格注意不等号类型：大于或大于等于，决定区间端点是否可取，对应开闭区间。 4.求解定义域、单调区间很多题目，本质就是在解三角不等式。 1.（26-27高二上·山东·考试真题）若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的范围，再根据，得到相应的值，从而得到答案. 【详解】因为， 所以，， 又因为，所以时，. 2.（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正切函数的周期是，定义域为， 在每个区间上单调递增， 由，在一个周期内，解得， 所以解集为. 3.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，即， 所以，，解得，. 4.（2026高二下·浙江·学业考试）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，当且仅当时取等． 5.（2026·河北唐山·一模）若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 6.（26-27高三上·山东·阶段检测）若对任意的，总存在使得，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解的区间并计算其长度，再根据“任意滑动区间内必存在满足的点”等价于区间长度不小于该反面区间长度，进而求得的取值范围. 【详解】根据余弦函数的图像与性质，的解为， 余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 反之，的解集为， 每个满足的区间，长度均为， 题目“对任意，总存在使得”，等价于无论取何值，区间都不能完全落在的区间内. 若存在某个让整个区间都满足，就不存在符合条件的，与题意矛盾. 区间的长度为， 要让任意长度为的区间，都无法完全放进长度为的区间内，必须满足， 解得，即的取值范围是. 7．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）不等式，的解集为________. 【答案】 【详解】因为，根据正弦函数的性质，， 且在上单调递增，上单调递减，在上函数值小于，， 所以不等式，的解集为. 8.（25-26高一下·全国·课堂例题）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由三角函数线知，， 解得， 不等式的解集为：． 题型三：三角函数定义域求解 📝方法技巧 1.函数 、 的定义域都是全体实数。 2.对于 ，要保证正切有意义，令 ，再解这个不等式得到的范围。 3.综合型三角函数需要同时满足几类限制条件： （1）分式要求分母不等于零； （2）偶次方根要求根号里面的式子大于或等于零（奇次方根对里面式子无正负限制，不用额外约束）； （3）含有正切函数的部分，要满足正切本身的定义域要求， 最后把全部条件联立成不等式组求解。 4.求解三角不等式时，可以借助正弦、余弦、正切的函数图象辅助分析，求出解集之后，记得在结果后面标注 。 1.（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，即， 则，即函数的定义域是. 2．（26-27高一上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 3．（2026高一·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 4．（25-26高一下·陕西商洛·阶段检测）函数定义域为______. 【答案】， 【详解】由题得，则，所以， 所以，函数的定义域为：，. 5．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域为_______________________ 【答案】 【详解】要使函数有意义，得 ，即， 可得，故函数的定义域为 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的定义域为_________________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】根据题意，可知，得， 解得， 因此函数的定义域为. 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】分母不能为零和被开方数大于等于零求解即可. 【详解】要使有意义，，解得. 的定义域为. 8．（2026高三·全国·专题练习）（1）函数的定义域是__________； （2）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到函数的定义域. 【详解】解：（1）由函数 ， 则满足，解得， 即或，所以函数的定义域为； （2）由函数，则满足 ， 解得或或，所以函数的定义域为. 故答案为：；． 题型四：三角函数单调区间求解 📝方法技巧 1.代换（整体）法：令 ，将复合三角函数转化为正弦、余弦、正切这类基础三角函数，先求出基础函数对应的单调区间，再把 代回，解关于的不等式。 2.如果，优先利用诱导公式把前面的系数转化为正数之后，再去求单调区间，避免复合函数单调性判断出错。 3.如果题目给定自变量范围 ，求出不等式的通解之后，对整数进行赋值，筛选出落在区间里面的解集。 4.解题过程中要区分清楚递增区间和递减区间；正切函数只有递增区间，不存在递减区间。 5.结果求出之后可以检验：选取区间内部的数值代入函数，简单验证单调性是否正确。 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数的周期为2，且在区间上单调递减，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，中，令， 由得，则在上单调递减，故A正确； 选项B，中，令， 由得，此时，则在上单调递增，故B错误； 选项C，中，故C错误； 选项D，中，令， 由得，则在上单调递增，故D错误. 2.（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】求出定义域，利用复合函数的单调性和正弦函数的图像和性质求出的单调递减区间就是所求的单调递减区间. 【详解】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 3．（18-19高一下·辽宁·期末）已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间. 【详解】因为， 若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合； 若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案； 故选B. 4．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 5.（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用整体法及正弦函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】当时，则， 要使在该区间上单调递增，则区间内的必须包含在正弦函数的某个单调递增区间内， 因为区间的中心为，所以只能对应正弦函数在上的单调递增区间， 因此需满足且，得，又， 所以，即的取值范围是. 6．（多选）（25-26高二下·安徽亳州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用余弦型函数的图象与性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由函数的最小正周期为， 可得，解得，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 所以不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C，由，令，可得， 当时，可得，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，令，可得， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，所以D正确. 7．（多选）（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据直线是函数图象的一条对称轴，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确． 当时，，所以的图象关于点对称．B正确． 因为，所以C正确． 当时，，单调递减．D正确． 故选：BCD 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，解得，. 所以函数. 根据正弦函数的单调递增区间可知，， 解得，. 题型五：奇偶性、对称轴、对称中心相关问题 📝方法技巧 1.判断函数奇偶性的前提条件：函数的定义域必须关于原点对称，定义域不满足的函数一定不具备奇偶性。 2.对于函数 ：它是奇函数的等价条件为 ；它是偶函数的等价条件为 。 3.对称轴规律：正弦函数、余弦函数在对称轴对应的位置，函数能够取到最大值或者最小值；正弦型函数令 ，余弦型函数令 ，解出就得到对称轴。 4.对称中心规律：函数在对称中心的横坐标处，函数值等于0； 正弦、余弦型函数令 ，解出横坐标；正切函数的对称中心为 。 5.已知对称轴或者对称中心去求解参数时，把条件代入对应的等式当中，建立方程来解出参数。 1．（25-26高一下·上海·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. 2．（2026·安徽·模拟预测）已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得； 是函数的一条对称轴， ，解得； ，当时，取得最小值，最小值为. 3．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得. 点是函数的图象的一个对称中心， ，解得. ，，解得； ，符合条件的的最小值为1； . 4.（26-27高三上·河北·开学考试）“，”是“函数的图象关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令，得，解得. 条件“”是“”的真子集： 充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立. 因此是充分不必要条件. 5．（2026·青海黄南·模拟预测）已知函数是偶函数，且点为的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先由“偶函数”这一条件，结合正弦函数在对称轴处取得最值的性质，求出符合范围的的值，再将已知的对称中心坐标代入化简后的解析式，建立关于的方程，最后结合取 即可求得的最小值. 【详解】因为函数是偶函数，且， 所以（），解得（）， 因为，所以当时，，符合题意， 此时， 又因为点为的图象的一个对称中心， 所以，即 ，所以， 因此（），解得（）， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 6.（25-26高一下·北京·期中）设函数在区间上是单调函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在上是单调函数得出，由分析出的值，进而求解即可． 【详解】因为在区间上是单调函数，且， 所以，解得， 又因为， 所以是的一条对称轴，是的一个对称中心， 若和是同一周期中相邻的对称轴和对称中心， 则，即，符合题意， 若和是同一周期不相邻的对称轴和对称中心， 则，即，不合题意， 又，所以. 7．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 8.（多选）（2026·江西九江·模拟预测）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数， 当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 题型六： 三角函数求最值、值域问题 📝方法技巧 1.直接型 ：利用的取值范围，直接计算函数的值域与最值。 2.复合型 ： ① 先根据题目给出的取值范围，求出整体 的取值范围； ② 根据得到的的范围画出 的简易草图，结合图象观察函数的最大值与最小值。 3.换元型 ：令 ，其中，转化成闭区间上的二次函数求值域，做题时一定要记住的范围限制，不能忽略正弦函数的有界性。 4.形如 的式子：做换元令 ，再转化为二次函数求解值域。 5.注意：正切函数的值域是全体实数，求值域时，要先确定好整体的取值范围，再结合正切图象分析。 1．（2026-2027重难点培优01 三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， , 所以在上的值域为. 2．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，当时，可得，原函数转化为，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，；当时，； 当时，,因此在上的最大值为1，最小值为0， 故原函数的值域为 3．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为和在上均单调递减，所以在上单调递减. 所以，，故的值域为. 4．（26-27高三上·北京·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最大值为2，最小值为，最小正周期， 实数满足，则分别为函数的最大值点和最小值点， 所以的最小值为. 5．（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数. 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，当时，则， 要使得在存在最小值，即区间内必须包含， 于是，解得，所以的取值范围是. 7．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数的最小值为，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】令，再令，求出区间长度为，结合余弦函数的单调性和周期性，讨论当，，，时，的最大值，综合以上4种情况得出的最大值. 【详解】对任意，时，， 设左端点为，则右端点为，区间长度为．因为余弦函数的周期为， 所以只需考虑的情形．于是问题等价于： 求所有长度的区间上，的最小值的最大值，记为． 情况①：，此时，区间完全落在内，在此区间单调递减， 所以最小值在右端点取得，， 因为，所以，其最大值在该段为（当时）； 情况②：，此时，区间完全落在内，在此区间单调递增， 所以最小值在左端点取得，． 因为，所以，其最大值在该段也为（当时）； 情况③：，此时，，区间包含点，所以，显然不可能是最大值； 情况④：，此时区间跨过（等价于跨过0）， 设，则，且原区间可等价为． 在上，单调递减，最小值为； 在上，单调递增，最小值为． 又因为，所以． 因此，整个区间的最小值为， 由于和都在区间内，且余弦函数在上单调递减， 所以要使两者中较小的那个尽可能大，应使两者相等，即． 此时，故在该段内，的最大值为，对应的（在内）． 综上所述的最大值为. 8．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知函数． (求在上的值域； 【答案】 【分析】先由得到的取值范围，结合余弦函数图象和性质即得； 【详解】当时，， 所以 ， 所以 ，即. 所以的值域为. 题型七：给定区间零点、最值、单调条件，求参数取值范围 📝方法技巧 1.整体代换：令 ，根据题目给出的所在区间，写出新变量对应的取值范围。 2.把原题的零点个数、最值点个数、单调区间相关条件，转化成基础函数 在区间上满足的对应条件。 3.利用子集的思想列出不等式，锁定参数的范围。 4.重点留意区间的端点能不能取等号，端点位置要单独检验，避免多解或者漏解。 1.（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 2.（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出指定区间对应的相位范围，再利用余弦函数零点列式求解. 【详解】当时，， 由在区间上恰好有3个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 3.（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令 ，把条件转化为相位区间内不含使 的点 ，由此求出 的可取范围，再判断各选项． 【详解】令 ． 当 时，． 因为 当且仅当 ，所以题设要求上述开区间内不含任何 ． 因此存在 ，使 ，且 ． 化简得 ． 结合 可知只有 或 时有解． 当 时，； 当 时，． 故 ． 又 ，所以 ； 而 ． 因此 均可能取到，只有 不可能取到． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 5.（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解得. 因为，所以， 在区间内恰有两个零点， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 7．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）函数，若在上无零点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先换元得到相位的取值区间，结合区间长度推出的初步范围，再根据无零点条件列出不等式组，再对整数分类讨论，结合筛选出符合条件的取值范围． 【详解】由题意得，得， 由，得， 因为在上无零点，所以（）， 解得（）．结合可知， 当时，，当时，， 因为，所以或， 所以的取值范围是． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（）． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若在上恰有个零点，求 的取值范围； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）换元将原函数转化为标准正弦函数，利用单调递增的相位区间列不等式组，结合整数k的讨论求出的范围； （2）换元得到相位区间，根据零点个数对应相位跨越的整数量列不等式，求解的范围： 【详解】（1）令，因，随递增，当时，， 区间长，它不超过半周期 ，即，得， 相位区间须整体落入某个递增区间， 则，解得且， 结合，且，得，， 时，， 解得，即，结合 得． 时，，与矛盾． （2）当 时，， 零点满足（），从起点往右依次遇到的零点为、、、， 恰有个零点即须跨过且不碰到：， 各边同减再同除以得． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $