5.5三角恒等变换导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

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【学习目标】

1. 数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
2. 逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；
3. 数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题；
4.   数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

【自主学习】

探究一 两角差的余弦公式

如果已知任意角，，能由此推出，的正弦、余弦吗？

如图所示,设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ,以 轴非负半轴为始边作角 ,它们的终边与单位圆分别相交于点 .

问题 1: 你能根据三角函数的定义,写出点 坐标吗?

问题 2 : 图中弦长 吗?

问题 3:根据两点间距离公式你能得到 吗? 如何推导呢?

问题 4 : 当 时,公式 成立吗?

两角差的余弦公式：=___________________________（   ） 

例１：利用公式证明：
（１）;           （２）．

例２： 已知，, ，是第三象限角，求的值．

变式练习：

1.         .
2.         .
3. 已知，则的值为        .

已知

探究二 两角和的余弦公式

用-代替看看有什么结果？

=_________________________  ( ）

（1）=        .

（2）（   ）

A.             B.             C.               D.

探究三 两角和与差的正弦公式\正切公式

sin(α＋β)＝______________________  (S(α＋β))

sin(α－β)＝______________________  (S(α－β))

tan(α＋β)＝__________________ (T(α＋β))

tan(α－β)＝__________________ (T(α＋β))

例3 已知，，求值

 例４ 利用和（ 差 ）角公式计算下列各式的值 ：

（1）sin72°cos42°－ cos72°sin42°

（2） cos20°cos70°－ sin20°sin70°

（3）

探究四 二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝________________；