精品解析：辽宁抚顺市部分学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026～2027学年度第一学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 6，3，3 D. 2，3，6 3. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 5. 如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 6. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 8. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为________． 13. 如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为___________． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是________． 15. 如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 在中，比小，比大，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 18. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 已知：如图，在中，，． （1）用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交、于点、(保留作图痕迹，不写作法)； （2）猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想； （3）在直线上找一点，使之和最小，若，求的最小值． 21. 如图，在等腰中，，．点F在上，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）连接，若平分，求的值； 22. 问题背景：如图1，在和中，当，时，我们称和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． （1）特例研究：在图2中，和互为“M三角形”，是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． （2）猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． （3）迁移应用：如图3，在四边形中，，，，，，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 23. 已知直线交x轴于点，交y轴于点，且m、n满足． （1）求m，n的值； （2）如图1，若点C在第一象限，且于点E，延长至点D，使得，连，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，若点C在上，点F在的延长线上，Q为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形． 根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 5，6，11 B. 3，4，5 C. 6，3，3 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，不能组成三角形． B．，能组成三角形． C．，不能组成三角形． D．，不能组成三角形． 3. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，a和c的夹角分别为和， ∴． 4. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键． 运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，同理：，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 5. 如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 6. 三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 7. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由可判断，由全等三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，由可判定，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质，由等腰三角形的性质得，即可判断；第五个图由可判定，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 由作图痕迹得知是角平分线的标准作法，射线为的平分线； 由作图痕迹得知，是的垂直平分线， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，，， （）， ， ，， （）， ， （）， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，， ，， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，作、的垂直平分线， ， （）， ， 射线为的平分线； 故选：D． 9. 《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用，理解重心的计算方法是关键． 根据题意分别算出，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形，四边形是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：B ． 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为________． 【答案】 【解析】 【分析】分长的边为腰、为底边两种情况讨论，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，排除不成立的情况，确定底边长度． 【详解】解：当4长的边为等腰三角形的腰时， 两腰总长为， ∴对应底边长为， 此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴该情况无法构成三角形，舍去； 当长的边为等腰三角形的底边时， 两腰总长为， ∴单条腰长为， 此时三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该情况成立． 综上，该等腰三角形的底边长为． 13. 如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将分散的已知边长与中线的2倍转化到同一三角形中，利用三角形三边关系求解取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 在中，由三角形三边关系可得， 代入，，得，即， ∵， ∴， 不等式两边同时除以2，得． 15. 如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 在中，比小，比大，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设的度数为，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】依题意，设的度数为， ∵比小，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示， ∴即为所求图形； （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质是关键． （1）根据点关于轴对称的特点得到点的坐标，连接各点即可求解； （2）根据点关于轴对称的特点求解，即关于轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变； （3）运用分割法计算即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：根据题意得到； 【小问3详解】 解：． 18. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求解； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而可依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （2）先根据三角形外角性质求出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：是的外角， ， ，， ， ， 在中，， 由可知：， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 20. 已知：如图，在中，，． （1）用直尺和圆规作出的垂直平分线，分别交、于点、(保留作图痕迹，不写作法)； （2）猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想； （3）在直线上找一点，使之和最小，若，求的最小值． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2） 解：，证明如下： 证明：连接， ，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线即是的垂直平分线； （2）连接，根据等腰三角形的性质可推出，由直线垂直平分，可得，推出，进而得到，推出，即可求解； （3）连接，，，根据直线垂直平分，可得，推出，当、、三点共线，即点与重合时，最小，最小值为，根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，， 直线垂直平分， ， ， 当、、三点共线，即点与重合时，最小，最小值为， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 21. 如图，在等腰中，，．点F在上，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）连接，若平分，求的值； 【答案】（1）证明：，，， ， ，， ． 又∵， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到，然后证明； （2）连接，利用全等三角形的性质得到，，然后求出，利用三线合一得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）得， ，． ∵平分， ． ， ． ， ， ， ， ． 22. 问题背景：如图1，在和中，当，时，我们称和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． （1）特例研究：在图2中，和互为“M三角形”，是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． （2）猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． （3）迁移应用：如图3，在四边形中，，，，，，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）结论：． 证明：与互为“M三角形”， ， 又， ， 在和中， ． ． ∵为的高，为等腰直角三角形． ，， 为等腰直角三角形 ， ． （2）， 证明：过点A作于点F， 与互为“M三角形”， ，， ∵，， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）存在，的“M高”的长为． 连接，作的垂直平分线交于点P，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ． 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， ． 与互为“M三角形” 过点P作于点H，则为的“M高”， 在中，， ； ∴存在点P，使得与互为“M三角形”， 此时的“M高”的长为． 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，，则 可证明，得到，再证明都是等腰直角三角形，得到，则； （2）过点A作于点F，由定义可得，，由三线合一定理可得，，则，据此证明，得到，则； （3）连接，作的垂直平分线交于点P，连接，证明，得到，，再证明为等边三角形，得到，，进一步证明为等边三角形，得到，，则，即可得到与互为“M三角形”过点P作于点H，则为的“M高”，在中，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知直线交x轴于点，交y轴于点，且m、n满足． （1）求m，n的值； （2）如图1，若点C在第一象限，且于点E，延长至点D，使得，连，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，若点C在上，点F在的延长线上，Q为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 【答案】（1） （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 设与交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 过点C作，交于点H，则， ∴，则， ∴为等腰直角三角形，． ∵，点Q为的中点， 设，则， ∴， 即． ∵ ∴， ∴． ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴． 【解析】 【分析】对于（1），根据绝对值和完全平方式的非负性可得答案； 对于（2），先设与交于点M，由，可得，再结合，可得，证明，根据全等三角形的性质相等得，然后根据，即可得出答案； 对于（3），根据点A，B的坐标可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再过点C作，交于点H，则，可证为等腰直角三角形，，再根据，点Q为的中点，设，则，可证明，接下来得，进而得出，然后得出，由，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $