精品解析：湖南湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026年下学期八年级期中质量监测·数学科试题卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的判定，分式是指分母中含有字母的代数式，根据定义判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A、中的分母为3，不含字母，故此选项不符合题意； B、为整式，故此选项不符合题意； C、分母为π，不含字母，故此选项不符合题意； D、的分母为，含有字母m和n，是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项， ，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B选项，，左边是几个整式的积，右边是多项式，这是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； C选项，，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； D选项，，右边是几个整式的积的形式，是因式分解，故该选项符合题意． 3. 下列各式的结果中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，，， ∵， ∴结果最大的是． 4. 若分式无意义，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分式无意义． ∴． 解得． 5. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：使二次根式有意义，则 ， 解得． 6. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成三角形． 7. 如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得， 化简后的结果和原式相同，则分式的值不变． 故答案为：A． 8. 如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，，，则∠AEC的大小为（ ） A. 27° B. 42° C. 45° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质、三角形的外角的定义进行求解即可； 【详解】解：∵AB∥CD， ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 9. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 10. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，通过观察各项，提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 与是同类二次根式，n可以取的数为4，6，8，12中的________． 【答案】8 【解析】 【分析】将各给定n值对应的二次根式化为最简形式，对比化简后的被开方数是否与的被开方数一致，筛选出符合同类二次根式定义的数值． 【详解】解：∵当时，，化简后无二次根式部分，与的被开方数不同， ∴二者不是同类二次根式； ∵当时，已是最简二次根式，被开方数为6，与的被开方数不同， ∴二者不是同类二次根式； ∵当时，，化简后被开方数为2，与的被开方数相同， ∴二者是同类二次根式； ∵当时，，化简后被开方数为3，与的被开方数不同， ∴二者不是同类二次根式； ∴符合要求的n值为8． 13. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049米的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解： ． 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，且，， ∴， 故． 故答案为：． 15. 若关于x的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程的增根是使原方程各分式分母为0的未知数取值，令原方程的分母为0求解即可得到增根． 【详解】解：∵分式方程的增根是使原方程中分式的分母为0的未知数的值 ∴令原方程中各分式的分母等于0， 原方程的分式分别为和，对应的分母为和， 令， 解得：， 当时，，满足分母为0的条件，即为该方程的增根． 16. 规律探究：设，，，…，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知的前3个的等式归纳通用规律，化简每个，再利用裂项相消计算8个项的和． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴对任意正整数，有． ∵ 算术平方根的结果为非负数，且 ∴ ． ∴ ． ． ． ． ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23-24题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）直接提公因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当时，原式． 20. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法. （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【小问1详解】 解： 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的根． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， 是原方程的增根，舍去． 原方程无解． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．七中万达学校为培养同学们的阅读习惯，准备给各个年级配置部分图书．其中给八年级购买了《如何改变世界》和《世界真奇妙》两种书．若购买1本《如何改变世界》比1本《世界真奇妙》进价多5元；若用1400元购买《如何改变世界》与用1200元购买《世界真奇妙》的本数相同 （1）求每本《如何改变世界》和每本《世界真奇妙》各为多少元？ （2）若该校购进《如何改变世界》的本数比购进《世界真奇妙》的本数的2倍还多8本，且《世界真奇妙》的本数不少于16本，购进这两种书的总费用不超过2180元，则有几种购货方案？ 【答案】（1）每本《如何改变世界》35元，每本《世界真奇妙》30元 （2）一共有4种购货方案 【解析】 【分析】（1）根据两种书的进价关系设未知数，利用本数相等的等量关系列分式方程求解； （2）根据总费用限制和本数要求列不等式组，求整数解得到购货方案的数量． 【小问1详解】 解：设每本《世界真奇妙》进价为元，则每本《如何改变世界》进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每本《如何改变世界》35元，每本《世界真奇妙》30元； 【小问2详解】 解：设购进《世界真奇妙》本，则购进《如何改变世界》本， 根据题意得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以可以取16，17，18，19，共4种取值， 即一共有4种购货方案． 23. 已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：． （1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． （2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，…… 【答案】（1）①，②，③ （2） 解：选择①．推导思路如下： 由，且，得． 配方，得． 易得． 即． 易得． 选择②．推导思路如下： 由，得，即． 故． 易知， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求出，根据二次根式的乘法得出，再根据三角形三边关系进一步得出，即可得出答案； （2）根据所给的方法推导即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 故答案为：①，②，③． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 24. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； （2）已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； （3）已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【答案】（1）是，2 （2）①；②1 （3）或 【解析】 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式计算的通分以及解分式方程的方法是解题的关键． （1）直接计算，根据其化简结果判断是否为“一中分式”，并求出“一中值”； （2）①根据“一中分式”以及 “一中值”，计算，求出代表的代数式；②将代入后，根据化简结果，结合分式的值为正整数．为正整数，得出的值； （3）列出的方程，根据方程无解以及增根情况求出的取值； 【小问1详解】 解：， 与是互为“一中分式”，“一中值”． 【小问2详解】 解：①，， 与互为“一中分式”，且“一中值”， ， ； ②， 且分式的值为正整数．为正整数， 或， （舍去）． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 整理得， 化简得， ∵方程无解， ∴，且， 解得，且，即， 当时，方程有增根， 代入，解得， 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期八年级期中质量监测·数学科试题卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式的结果中，最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式无意义，则（ ） A. B. C. D. 5. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 7. 如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 8. 如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，，，则∠AEC的大小为（ ） A. 27° B. 42° C. 45° D. 70° 9. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：________． 12. 与是同类二次根式，n可以取的数为4，6，8，12中的________． 13. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049米的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为________． 14. 实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为___________． 15. 若关于x的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 16. 规律探究：设，，，…，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23-24题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解下列分式方程： （1） （2） 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．七中万达学校为培养同学们的阅读习惯，准备给各个年级配置部分图书．其中给八年级购买了《如何改变世界》和《世界真奇妙》两种书．若购买1本《如何改变世界》比1本《世界真奇妙》进价多5元；若用1400元购买《如何改变世界》与用1200元购买《世界真奇妙》的本数相同 （1）求每本《如何改变世界》和每本《世界真奇妙》各为多少元？ （2）若该校购进《如何改变世界》的本数比购进《世界真奇妙》的本数的2倍还多8本，且《世界真奇妙》的本数不少于16本，购进这两种书的总费用不超过2180元，则有几种购货方案？ 23. 已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：． （1）如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． （2）为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，…… 24. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； （2）已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； （3）已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $