周测评（十七）数学·平面向量的应用-【衡水真题密卷】2026-2027学年高一下册数学学科素养周测评（人教A版）

只有拼 2026一2027学年度高 数学·平 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 答案 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知a=8,A=30°，则 △ABC外接圆的半径为 () A.82 B.4 C.8 16√3 D. 3 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,且b=ccos A,则△ABC的 形状为 () A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,△ABC的面积SAABC=√3，且 3 S△ABC= 4 (a2+c2-b2),则AB.BC= A.√3 B.-√3 C.2 D.-2 4.如图为地动仪的模型图，当地震发生时， 樽体会出现摇晃和震荡，但都柱保持静 止，都柱和樽体之间存在相对运动，从而 触发地动仪的机关，使对应方向龙嘴张 开，铜球掉落到对应的蟾蜍口中，以此判 高一学科素养周测评（十 出来的美丽，没有等出来的辉煌 学科素养周测评（十七） 面向量的应用 ,考试时间40分钟。 断地震发生的方向.现要在相距200km 的甲、乙两地各放置一个地动仪，甲在乙 的南偏西30°方向，若甲地地动仪正东方 位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的 铜丸落下，则地震的位置距离甲地 A.50(2+√3)km B.100(3+1)km C.75(3+1)km D.120(2+√3)km 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,且a=5,b=6,c=7,下列说 法正确的是 () A.sin A:sin B:sin C=5:6 7 B.cos A cos B cos C=5:6:7 C.△ABC是锐角三角形 D.△ABC的最大内角是最小内角的 2倍 七)数学第1页（共2页）》 6.在△ABC中，A=行，AB=2,则下列说 法正确的是 () A.若BC=1,则符合条件的△ABC有且 只有1个 B.若BC=√2，则符合条件的△ABC有 且只有2个 C.若BC=2,则符合条件的△ABC有且 只有2个 D.若BC=2,则不存在这样的△ABC 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C 所对的边，且a,b是方程x2一5x十6=0 的两个根，C=60°，则c= 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB =3,CD=2,AD=√3，∠BAD=90°.若 P为线段AB上的动点，则CP·DP的 最大值为 A B 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知c·cosA+c =3asin C. (1)求A; (2)若△ABC的面积为9√3，周长为18， 求a. 高一学科素养周测评（十七 10.(30分)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知a(sinB十cosB) =c. (1)求A; (2)若c=√2，a=√5，D为BC的中点， 求AD. )数学第2页（共2页）2026 学科素养周测评 解得入> 号且2 则市-店+1市-（士2小 即实数入的取值范围为(- 2)U2,+. f3m+1_5 23t, (22分) 故 31-m)- 10.解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的平面 2 3t, 直角坐标系， 3 獬得t=4 (15分) A 2曲于D应-AD,设E号+A,》则A花- (（侵+》由得-（售） 若AELAF,则A正.A正-（经+A)+× =2.0市-(}）t=(2》 3 0,解得1=手 2 (22分) 则床-号c-(3》 8油②)得正-（停，9）应-(g+A,》。 因此正-花+萨-（停，》， (8分) 则A破+正-（售+，2）， 设=x+市-(2x+, 可得+-得++≥品 1 5 2 2x+ 2y=3’ x= 3 当且仅当入= 则 解得 号时，等号成立， √33 2 2y=3 y-3’ 所以A花+的取值范围为 + 所以a正-号正+a, (12分) (30分) 若市=床-（得停，且BP,D三放共线， 2026一2027学年度高一学科素养周测评（十七） 数学·平面向量的应用 一、选择题 1 8 =2 acsin B,所以acsin B=23,又S△Aac a 1.C【解析】由正孩定理可得，sinA= =16= 1a+c2-b,则6 0fa2+c2-6)= 2acsin B, 2R,故R=8,即△ABC外接圆的半径为8. 所以5，a3+--月cosB=snB, 2.B【解析】由余弦定理可得，b=c· b2+c2-a2 2ac 2bc 所以tanB=sinB co8B5,因为B∈(0，)，所以B 化简得c2=a2十b2,由勾股定理的逆定理可知 △ABC是以角C为直角的直角三角形. 3,cos B=1 2,sin B3 2,所以ac=4,所 3.D【解析】因为△ABC的面积SAAc=√3 AB.BC=accos(-B)=-2. ·6 ·数学· 参考答案及解析 4.B【解析】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点 为地震的位置，依题意，∠BAC=60°，∠ABC= 75°，C=45°，AB=200km, A C (C) 图2 45 如图3，当BC=2时，圆B与射线AC有两个交 309 点，但其中一个交点为A点本身，故符合条件的 C △ABC有且只有1个，故C错误； B AC AB 由正弦定理得，sin∠ABC一sinC' 200 故AC sin45° ·sin75°=200√2sin(45°+30) 图3 =0x停×+竖x》 当BC-弓时，网B与AC无交成，故不存在这样 2 的△ABC,故D正确. =100(/3+1)km. 解法二：设△ABC内角A,B,C的对边分别为a, 二、选择题 bcs 5.AC【解析】对于A,由正弦定理可得sinA: 由余弦定理得cosA=2十c2-a2_b-a2+4 sinB:sinC=a:b:c=5:6:7,故A正确； 2bc 4b 对于B,由余弦定理可得cosA=6+c-a_ 2bc 8,即62-236-a2+4=0.当a=1时，6 ,cosB=a2+c2-6219 5 2√3b十3=0，此时b有且仅有一个解b=√3，故 2ac 5c0sC=a2+62-c 2ab A正确；当a=√2时，b2-23b十2=0，解得b1= 1 =5,所以cosA:CosB:cosC≠516：7，故B √3-1，b2=√3十1，故B正确；当a=2时，b2 一2√3b=0,解得b1=0(舍去)，b2=23,故C错 错误；对于C,因为a<b<c,所以C为最大角，又 1 因为cosC=>0,故C为锐角，所以△ABC为 误；当4=。时，b2一23b十=0，该方程无解， 故D正确. 锐角三角形，故C正确；对于D,由题意知，A为 三、填空题 最小角，又c0s2A=2c0s2A-1=2×(7》°-1= 7.√【解析】由题意得a+b=5,ab-6,又C =60°，则由余弦定理得，c2=a2十b2-2 abcos C 49≠cosC,所以C≠2A,故D错误. =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=25-18=7,所 以c=√7. 6.ABD【解析】解法一：以B为圆心，BC的长为 8.6【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线 半径画圆，记为圆B.如图1，当BC=1时，圆B 分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标 恰与AC相切，故符合条件的△ABC有且只有1 系，则A(0,0),B(3,0),C(2,√3)，D(0,√3)，设 个，故A正确； P(x,0),其中0≤x≤3，则CP=(x-2, B -3),DP=(x,-√3)，所以CP·DP=x(x-2) +3=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x=3 时，CP·DP有最大值，最大值为6 图1 如图2，当BC=√2时，圆B与射线AC有两个交 点，故符合条件的△ABC有且只有2个，故B 正确； 。7 2026 学科素养周测评 四、解答题 即sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0，π)，所以 9.解：(l)由正弦定理得√3 sin Asin C=sinC· sin B>0, (cos A+1), 所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0， 又sinC>0,故W3sinA-cosA=1, ,所以A=子 (15分) 所以sn(A-)= (5分) (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 因为在△ABC中，0<A<π， 则有5=b2+2-2b,解得b=3或b=-1(舍去). (20分) 所以看<A日<晋则A-否-云放A-子 因为D为BC的中点，所以A市-？(A应 (11分) +AC), 1 (2)因为S△ABc=2 besin A=93,所以bc=36, (15分) 所以A市=是A十A衣+2A成·AC) 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,即a2=b2 = +c2-bc=(b+c)2-3bc, ×(2+9+2xx3x号)-， 即a2=(18-a)2-108,解得a=6. (22分) 所以AD=7 (30分) 10.解：(1)因为a(sinB+cosB)=c, 由正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC, (5分) 在△ABC中，sinC=sin(A+B), 则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B), 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+ cos Asin B, 2026一2027学年度高一学科素养周测评（十八） 数学·复数 一、选择题 |a=±3，a=0, 或 所以x=士2，x=士3，x= 1.A【解析】因为复数之=1十√3i,所以乏=1-3i, b=0 b=士1， 即之的虚部为一√3. 士i,故方程x2-5x|十6=0的解的个数为6. 2A【佩标】商期移得：年名 二、选择题 4-(2m+2i-m_4-m_(2m十2)i为实数，所 5.AC【解析】对于A,由之=1-i,得之=1+i,所 5 5 5 以z=(1-i)(1十i)=1-=2,故A正确；对于 以-2m十2=0，解得m=-1. B,x+zi=1-i+(1+i)i=1-i+i+i2=0,故B 5 错误；对于C,|之2=2,2=(1十i)2=1+2i+2 3.A【解析】由题意得之=1十2i,所以|z-3|= |1+2i-3-|-2+2i=√/（-2)2+22-2w2. =21,所以之=i,故C正确：对于D,之-=1- 4.C【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则原方程即 i-(1+i)=-2i,而之-2-1+i-2=-1+i 为(a+bi)2-5a2+b2+6=0, =一1一i,故D错误. 得0-6-5va+6+6=0,故 a=士2， 或 6.ACD【解析】由题意，之1一之2=(cosa一cosβ)十 2ab=0, 6=0 i (sin a-sin B),(cos a-cos B)2+(sin a-sin B)2 ·8