6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2向量在物理中的应用举例 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.1- §6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 1. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、力的合成、数量积的坐标表示 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以， 所以. 故选：B． 2. 共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、功、动量的计算 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 3. 已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题、用向量证明线段垂直 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 4. 如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用向量解决线段的长度问题 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 5. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用向量解决线段的长度问题、数量积的运算律、用向量证明线段垂直 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 6. 已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 7. (多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】速度、位移的合成、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 8. （多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】解析法在向量中的应用、由向量线性运算解决最值和范围问题、求二次函数的值域或最值、坐标计算向量的模 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    9. 在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为___________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量证明线段垂直 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 11. 如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用向量解决夹角问题、用向量证明线段垂直 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 12. 已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【难度】0.65 【知识点】用向量证明线段垂直、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.1- §6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 1. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2. 共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 3. 已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4. 如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 5. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 6. 已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 7. (多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 8. （多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 9. 在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为___________ 10. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 11. 如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 12. 已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $