5.1.1任意角（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 学 习 目 标 1 2 3 理解任意角、正角、负角、零角的概念，会在坐标系中表示角，识别终边相同的角. 由初中静态角过渡到旋转生成角，体会数形结合，提升直观想象素养. 感受角的概念拓展的必要性，体会数学概念发展，激发三角函数学习兴趣. 新课引入 情境1：奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩.跳水是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动.如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？ 问题1：角，我们并不陌生，初中是怎么定义角的？包括哪些类型的角？ 新课引入 问题1：角，我们并不陌生，初中是怎么定义角的？包括哪些类型的角？ 静态定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. (顶点) (边) (边) 角的分类： 新课引入 问题2：按照初中角的定义，你能表示情境1中运动员转过的角度吗？ “前空翻转体 540 度” “后空翻转体 720 度” OA绕点O旋转所成的角与O'B 绕点O'旋转所成的角就会有不同的方向. 钟表慢了 2 小时，校准后分针转过的角度 不能 类似的，生活中超过的角还有很多，我们应该怎么定义它们呢？ 探究一：任意角 新知探究 任意角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。 始边：射线的起始位置；终边：射线的终止位置. 活动1：阅读课本168-169页，标画关键词，完成以下问题： 1.顺时针、逆时针分别是哪个方向？复述正角定义 2.找出正角、负角、零角、相等角、相反角、角的加法、角的减法等概念，深入阅读并标化关键词 探究一：任意角 新知探究 顺时针、逆时针分别是哪个方向？复述正角定义 1.正角的定义： 平面内一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 2.角的构成要素 始边 顶点 B 终边 方向 O A 探究一：任意角 新知探究 找出正角、负角、零角、相等角、相反角的概念 任意角 正角 按逆时针方向旋转 负角 零角 相等角 相反角 旋转方向相同，旋转量相等 旋转方向相反，旋转量相等 按顺时针方向旋转 不做任何旋转 旋转方向定符号，旋转量定大小(绝对值) ①在不引起混淆的情况下，“角”或“”可以简写成“”； ②角的表示：或 探究一：任意角 新知探究 角的加减法 角的加法： α β + α+β α β = α+β = 角的减法： α -β + α+（-β） α -β = α+（-β） = α - β=α+( - β) 探究二：象限角 新知探究 象限角：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 角的终边在第几象限，那么这个角是第几象限角． 角的终边在坐标轴上，那么不属于任何象限，习惯上称为轴线角． x y o 始边　 终边   终边 终边 终边       例如： -50°， 405° -50° x y o x y o 405° 第四象限角 第一象限角 即时训练 辨析1：判断正误 （1）始边与终边重合的角是零角.( ) （2）经过1小时，时针转过－30°. ( ) （3）小于90°的角是锐角. ( ) （4）锐角是第一象限角，反之，第一象限角都是锐角. ( ) （5）钝角是第二象限角.( ) 【答案】：（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√。 辨析2：若90º<α<β<135º，则α－β的范围是_______， α+β的范围是________. 【答案】：, 探究三：终边相同的角 新知探究 问题3：，，是第几象限角？这些角有什么内在联系？ 这些角的终边都是 形 数 328°= + 360° 392°=360° 探究三：终边相同的角 新知探究 追问1：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，你能用描述法表示集合吗？ x y o -32° 328° 328°= -32° + 360° -392°= -32° - 360° 数形结合 S = { β | β = -32° + k · 360°, k∈Z } 追问2：对任意角 α ，终边与之相同的角如何用集合表示？ S = { β | β = α + k · 360°, k∈Z } 典例精讲 例1：在范围内，找出与角终边相同的角，并断定它是第几象限角. 【分析】（1）与角终边相同的角都可以表示成的形式； （2）终边相同的角之间相差的整数倍. 解：， 所以在0360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角. 典例精讲 例2：写出终边在轴上的角的集合. 解：在范围内,终边在轴上的角有两个，即. 因此，所有与角终边相同的角构成集合， 而所有与270°角终边相同的角构成集合， 于是，终边在轴上的角的集合： 典例精讲 例3：写出终边在上的角的集合. 中满足不等式的元素有哪些？ 解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是45°，在0360°范围内,终边在直线上的角有两个，45°，225°. 因此，终边在直线上的角的集合： 典例精讲 例3：写出终边在上的角的集合. 中满足不等式的元素有哪些？ 中适合不等式的元素有： ， ， ， ， ， . 即时训练 题型1 任意角的概念 1、(多选)下列说法正确的是( ). 、锐角都是第一象限角 、第一象限角一定不是负角 、小于180°的角是钝角、直角或锐角 、在范围内的角不一定是钝角 【答案】：. 2、给出下列说法：①终边在轴非负半轴上的角是直角；②始边相同而终边不同的角 一定不相等；③三角形的内角必是第一、二象限角；④第四象限角一定是负角； ⑤.其中正确说法的个数是( ). 、1 、2 、3 、4 【答案】：. 即时训练 题型2 终边相同的角的表示及应用 1、在范围内，找出与下列角终边相同的角，并断定它是第几象限角. （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】：，，250， 2、在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)-3600°内的角. 解：(1)由，得，所以. 又因为，故所求的最大负角为 (2)由-3600°，得- 又，解得对应的 即时训练 题型2 终边相同的角的表示及应用 3、(多选)与终边相同的角可以表示为( ). A、 B、 C、 D、 【答案】：. 4、终边落在直线上的角的集合为(　　) A、 B、 C、 D、 【答案】：. 即时训练 题型3 区间角的表示 1、已知如图所示的图形. (1)分别写出终边落在位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解：(1)终边落在位置上的角的集合为 终边落在位置上的角的集合为 (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为 表示区间角的三个步骤 技巧点拨 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和,写出最简区间,其中; 第三步:起始、终止边界对应角,再加上的整数倍,即得区间角集合. 即时训练 题型3 区间角的表示 2、如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 解：(1)； (2)． 即时训练 题型4 象限角 1、如果是第三象限角,则是(　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 【答案】：. 第一象限角α的范围: 则角α/2的范围: 则角α/2位于第一、三象限 0°+k · 360°<α<90°+k · 360°，k∈Z 0°+k · 180°<α/2<45°+k · 180°，k∈Z 2、角是第一象限角，试写出角的集合． 或 所在象限的判断方法 技巧点拨 （1）用不等式表示出角或 的范围； （2）用旋转的观点确定角或 所在象限. 课堂小结 感谢聆听! $