5.1.2弧度制课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.2　弧度制 索引 课时精练 一、弧度制及其与角度制的转化 二、用弧度制表示角的集合 三、弧度制下扇形的弧长与面积公式 课堂达标 内容索引 弧度制及其与角度制的转化 一 探究1 在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的?在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 提示　1度角等于周角的.圆心角是确定的. 探究2 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗? 提示　与圆的半径大小无关,是一个定值. 4 1.弧度 我们规定:长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度. 2.弧度数 (1)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=. (2)正角的弧度数是一个___数,负角的弧度数是一个___数,零角的弧度数是0. 知识梳理 半径长 正 负 5 3.弧度与角度的换算 180°=_______________ π rad=____________ 1°=____________≈0.017 45 rad 1 rad=______≈57.30° π rad 180° rad ° 6 (1)1弧度记作1 rad(rad可省略不写). (2)在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系. 温馨提示 7 (1)下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 例1 由1弧度的定义知,A正确,B错误. 对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误; 对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误. √ 8 (2)(链接教材P173例4,P174例5)(多选)下列转化结果正确的是 A.67°30'化成弧度是 B.-化成角度是-600° C.-150°化成弧度是- D.化成角度是25° √ 67°30'=67.5×=,故A正确. -=-×=-600°,故B正确. -150°=-150×=-,故C错误. =×=15°,故D错误. √ 9 1.在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×=度数. 2.互化时注意两点:(1)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. (2)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求不必化成小数. 思维升华 10 已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=π,试比较它们的大小. 训练1 α=15°=15×=, θ=105°=105×=, ∵<<1<,∴α<β<γ<θ=φ. 11 用弧度制表示角的集合 二 12 已知角α=2 010°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; 例2 2 010°=2 010×==5×2π+, 又π<<, ∵α与终边相同,∴α是第三象限角. 13 (2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角. 与α终边相同的角写成γ=+2kπ(k∈Z), 又-5π≤γ<0, ∴当k=-3时,γ=-π; 当k=-2时,γ=-π; 当k=-1时,γ=-π. 14 思维升华 1.在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.注意两点:(1)角度制与弧度制不能混用; (2)k∈Z切莫遗漏. 15 (1)若α=6kπ+π(k∈Z),则的终边在 A.第一象限 B.第四象限 C.x轴上 D.y轴上 √ 训练2 因为α=6kπ+π(k∈Z),所以=3kπ+(k∈Z). 当k为奇数时,的终边在y轴的非正半轴上; 当k为偶数时,的终边在y轴的非负半轴上. 综上,知的终边在y轴上. 16 (2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为 ____________________________________.  终边落在射线OA上的角为θ=135°+k·360°,k∈Z,即θ=+2kπ,k∈Z; 终边落在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°,k∈Z,即θ=-+2kπ,k∈Z, 故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为. 17 弧度制下扇形的弧长与面积公式 三 18 探究3 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么? 提示　初中我们已学习过,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=,S=,由弧度与角度的换算关系,我们可以知道α=. 19 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则 知识梳理 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l= l=________ 扇形的面积 S= S=_________=__________ α·R l·R α·R2 20 在应用扇形面积公式S=αR2时,要注意α的单位是“弧度”. 温馨提示 21 (链接教材P174例6)已知扇形的周长是10 cm,面积是4 cm2,求扇形圆心角的弧度数. 例3 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm, 依题意有 整理得R2-5R+4=0,解得R1=1,R2=4. 当R=1时,l=8,此时,θ=8 rad>2π rad,舍去. 当R=4时,l=2,此时θ==(rad). 综上,可知扇形圆心角的弧度数为 rad. 已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少? 迁移 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S, 则l+2r=4,所以l=4-2r, 所以S=l·r=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1, 所以当r=1时,S最大,且Smax=1, 因此,θ===2(rad). 思维升华 1.三个公式:l=|α|r,S=lr=αr2,要恰当选择公式,建立未知量、已知量间的关系,通过解方程(组)求值. 2.弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积),利用函数或基本不等式知识求最值. 已知扇形AOB的圆心角为α,周长为14. (1)若这个扇形的面积为10,且α为锐角,求α的大小; 训练3 设扇形AOB的半径为r,弧长为l, 由题意知 解得 所以α==或α==5. 因为α为锐角,所以α=. 25 (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小和弦长AB. 因为2r+l=14, 所以S=lr=·l·2r≤=×72=,当且仅当2r=l,即α==2时,面积取得最大值. 所以r=,所以弦长AB=2××sin 1=7sin 1. 【课堂达标】 1. 2100°化成弧度是 A.π B.10π C.π D.π √ 2100°=2 100×=π. 2 3 4 1 2.已知扇形AOB的周长为8,面积为4,则扇形AOB的半径是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 设扇形AOB的半径为r,其圆心角为θ. 由题意得θr+2r=8,θr2=4,解得θ=r=2. 2 3 4 1 3.若θ=-5,则角θ的终边在第____________象限.  2π-5与-5的终边相同, ∵2π-5∈, ∴2π-5是第一象限角, 则-5也是第一象限角. 一 2 3 4 1 4.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为 ____________________________________.  因为30°=rad,210°=rad,这两个角的终边所在的直线相同,终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z,终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z. 从而终边落在阴影部分内的角的集合为. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.下列说法错误的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.半径为2 cm的圆上的一条弧长为6 cm,则此弧所对圆心角的弧度数是 A.1.5 B.2 C.3 D.12 由弧长公式l=αr可得α===3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.在0~2π范围内,与-角终边相同的角是 A. B. C. D. 与-角终边相同的角是2kπ+,k∈Z, 令k=1,可得与-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.角的终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 =2π+,是第一象限角, 故是第一象限角. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.如图,时钟显示的时刻为4:30,此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α,则该扇形的面积为 A. B. C. D. 由题图可知α=,又因为r=1. 所以该扇形的面积S=αr2=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 √ 当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界); 当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)下列表示正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是 √ √ √ 易知A,B项正确. 终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为,其并集为,故C正确. ∵终边在y=x上的角可表示成α=+kπ,k∈Z,∴D不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.-105°化为弧度为____________,化为角度为____________.  -π -105°=-105×=-π,π=π×°=660°. 660° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.扇形的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为____________.  2 S=lR=1,又l=2, ∴R=1,∴α===2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)为 __________________________________________.  330°和60°的终边分别对应-,所表示的区域位于-之间且跨越x轴的正半轴,所以终边落在阴影部分的角的集合为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角; 因为α=1 200°=1 200×==3×2π+, 所以角α与的终边相同, 又<<π,所以角α是第二象限的角. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)在区间[-4π,0]上找出与α终边相同的角. 因为与角α终边相同的角(含角α在内) 为2kπ+,k∈Z,所以由-4π≤2kπ+≤0,k∈Z,得-≤k≤-. 因为k∈Z,所以k=-2或k=-1. 故在区间[-4π,0]上与角α终边相同的角是-和-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.折扇是一种用竹木做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时展开成扇形,如图,某折扇的扇骨长度OA=15 cm,扇面长度AB=10 cm,已知折扇展开所对圆心角的弧度为,则扇面的面积为 √ 由题意,知扇面的面积为××152-××52=150 cm2. A.100 cm2 B.150 cm2 C.200 cm2 D.300 cm2 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为____________.  2- 设正方形的边长为a,∠EAD=α, 则a2-πa2=a2α,解得α=2-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知某扇形的半径r=2 cm,周长C= cm. (1)求该扇形的面积; 设扇形的弧长为l,因为r=2 cm,由题意,扇形的周长C=2r+l=2×2+l=4+, 所以l=,所以扇形的面积为 lr=××2= (cm2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角. 由(1)可知,圆心角α===, 故与α终边相同的角的集合为S=, S中符合0<β<3π的元素β有+0×2π=,+1×2π=, 故在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成.公式中“弦”指圆弧所对应的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是____________ m2(精确到1 m2).  9 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 =120°,根据题意得, 弦=2×4sin =4(m),矢=4-2=2(m), 因此弧田面积=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10 m,OB=x m(0<x<10),线段BA,CD与,的长度之和为30 m,圆心角为θ弧度. 根据题意,可算得=x·θ(m),=10θ(m). 因为BA+CD++=30, 所以10-x+10-x+xθ+10θ=30, 所以θ=(0<x<10). (1)求θ关于x的函数解析式; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 依据题意, 知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×102-θx2, 化简得y=-x2+5x+50=-+.所以当x=时,ymax=(m2). 故当x=时,铭牌的截面面积最大,且最大面积为 m2. (2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $