精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期八年级数学期中试卷

2026—2027学年 东北师大附中初中部 初二年级数学学科试卷 第一学期期中考试 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一．选择题（本大题共有8道小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 是分数， ∴ A选项属于有理数， ∵ 和是整数， ∴ C、D选项属于有理数， ∵ 开方开不尽， ∴ B选项是无理数． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误， ，B错误， ，C正确， ，D错误. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果，那么 C. 等边三角形的每个角都等于 D. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】需先写出各选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假． 【详解】解：A. 原命题的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵ 对应角相等的三角形不一定全等， ∴ 该逆命题是假命题； B. 原命题的逆命题为：如果，那么. ∵ 当，时，但， ∴ 该逆命题是假命题； C. 原命题的逆命题为：每个角都等于的三角形是等边三角形， ∵ 三个角都为的三角形三边相等，是等边三角形， ∴ 该逆命题是真命题； D. 原命题的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角都是直角， ∵ 相等的两个角不一定是直角， ∴ 该逆命题是假命题． 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式中有一组相同项，一组互为相反数的项． 【详解】解：A选项、C选项、D选项均含一组相同项与一组相反项，能用平方差公式计算， B选项中两项均互为相反数，无相同项，不能用平方差公式计算，故选项B符合题意． 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 7. 已知，估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件确定x的值，进而求出y，再估算的取值范围． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数， ∴ 且， 解得， 将代入， 得， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，且点在点左侧，若，的周长为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为20，， ∴ ∴． 二．填空题（本大题共有6道小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的两项，存在公共因式，通过提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 11. 比较大小：______5．（选填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等． 首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 24 【解析】 【分析】将已知的两个完全平方式展开，通过两式相加消去交叉项，即可计算得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 13. 如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连结、，若平分，则的最小值为________． 【答案】 5 【解析】 【分析】过点A作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据垂线段最短，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点A作于点F， ， ， ，平分， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为5． 14. 如图，为的中线，且于点，，点在的延长线上，点在线段上，连结、，且，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质直接判断即可；由于，据此即可判断本结论；连接，利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，然后根据已知条件即可判断本结论；由三角形的内角和定理可得，，进而可得，结合，，于是可得，再结合已知条件即可判断本结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：①为的中线，且， 是的垂直平分线， ，故①正确； ②，点在线段上， ， 又， ，故②错误； ，， ，， 如图，连接， 中的高恰好平分边， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ，故结论正确； 在中，， 在中，， ， ，， ， 又， 是等边三角形，故结论正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 三．解答题（本大题共有10道小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）按二次根式乘除法则合并被开方数化简即可； （2）先计算乘方，再按同底数幂乘法规则合并； （3）按多项式除以单项式规则拆分逐项计算； （4）分别化简乘方、平方根、立方根、绝对值，再合并化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 16. 利用公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，再套用平方差公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先计算完全平方公式和平方差公式，再去括号合并同类项，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使； （2）在图②中的线段上找一点，使点到、的距离相等； （3）在图②中的射线上找一点，连结、，使． 【答案】（1）如下图，点O即为所求 （2）如下图，点P即为所求 （3）如（2）图，点Q即为所求 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，线段的垂直平分线与线段的交点就是点O； （2）根据角平分线的性质，的平分线与线段的交点就是点P； （3）根据垂直平分线的性质，线段的垂直平分线与射线的交点就是点Q． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 20. 阅读下面的分解因式的过程： 利用上述分解因式的方法证明： 如果、、是的三条边的长，那么． 【答案】证明： ； ∵ 是的三条边的长， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 即 . 【解析】 【分析】先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】略 21. 如图，在中，是边上一点，连结，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，且． （1）求证：是的角平分线； （2）若，，，则________． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ， 是的角平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，平行线的性质得，即可得答案； （2）过点D作，，根据三角形的面积求出的长，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ． 22. 【阅读理解】我们在分析某些数学问题时，经常要运用分类讨论的思想方法，进而使问题得到解决．例如：已知，求的取值范围．请阅读下面解题过程： 解：原等式可化为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，等式恒成立； 当时，，解得（舍去）． 综上所述，的取值范围是． 【知识运用】请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为，再分三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分三种情况解方程，即可求出a的值． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴， 当时，，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，，解得（舍去）； ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴ 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，符合题意． 综上所述，或． 23. “杨辉三角”揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字等于上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行 1 第二行 1 1 各项系数之和为2 第三行 1 2 1 各项系数之和为4 第四行 1 3 3 1 各项系数之和为8 第五行1 4 6 4 1 各项系数之和为16 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，共有__________项； （2）若已知，，求的值； （3）将的展开式从左到右按的降幂排列，则系数最大的项是第__________项； （4）将展开后，各项的系数和为____________． 【答案】（1）7 （2）180 （3）5 （4） 【解析】 【分析】（1）根据展开式项数与指数的对应规律直接求解. （2）将用与表示，代入已知条件计算. （3）结合杨辉三角的系数规律与的幂的符号特性，比较系数大小. （4）通过前几组系数和的规律，归纳一般结论. 【小问1详解】 解：观察题中展开式可得，的展开式项数为. 当时，项数为. 【小问2详解】 解：由杨辉三角的规律，得. ∴. ∵，， ∴原式. 【小问3详解】 解：根据杨辉三角“每个数字等于上一行左右两个数字之和”的规律，依次推导得： 的系数为； 的系数为； 的系数为. 可看作，按降幂排列时，后一项中的次数比前一项减1，的次数比前一项加1， 因此各项系数依次为：，，，，，，，. 比较得最大系数为，对应第项. 【小问4详解】 解：观察题中给出的系数和： 时，系数和为； 时，系数和为； 时，系数和为； 时，系数和为； 归纳可得，展开式各项的系数和为. 24. 如图，在四边形中，，，，点在边上，且．点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点不与点重合时，用无刻度的直尺和圆规，过点作直线，垂足为点； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当时，求的长； （4）连接、、，设的面积为，的面积为，当或时，直接写出的面积． 【答案】（1）解：如图， （2）证明：∵，， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∴， ∴， ∴。 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧交于，再作即可； （2）先证明，再进一步证明即可； （3）证明，进一步结合全等三角形的性质可得结论； （4）证明，，结合全等可得：，，进一步可得，，分当时，即，当时，即，再列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【小问4详解】 解：如图， ∵，，， ∴，，，， 同理可得：，， 设的面积为，的面积为， ∴，， 当时，即， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴的面积为； 当时，即，如图， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴的面积为； ∴综上的面积为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年 东北师大附中初中部 初二年级数学学科试卷 第一学期期中考试 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一．选择题（本大题共有8道小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果，那么 C. 等边三角形的每个角都等于 D. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，且点在点左侧，若，的周长为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共有6道小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是___________． 10. 因式分解：________． 11. 比较大小：______5．（选填“”，“”或“”） 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连结、，若平分，则的最小值为________． 14. 如图，为的中线，且于点，，点在的延长线上，点在线段上，连结、，且，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三．解答题（本大题共有10道小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 利用公式简便运算： （1）； （2）． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使； （2）在图②中的线段上找一点，使点到、的距离相等； （3）在图②中的射线上找一点，连结、，使． 20. 阅读下面的分解因式的过程： 利用上述分解因式的方法证明： 如果、、是的三条边的长，那么． 21. 如图，在中，是边上一点，连结，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，且． （1）求证：是的角平分线； （2）若，，，则________． 22. 【阅读理解】我们在分析某些数学问题时，经常要运用分类讨论的思想方法，进而使问题得到解决．例如：已知，求的取值范围．请阅读下面解题过程： 解：原等式可化为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，等式恒成立； 当时，，解得（舍去）． 综上所述，的取值范围是． 【知识运用】请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，直接写出的值． 23. “杨辉三角”揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字等于上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行 1 第二行 1 1 各项系数之和为2 第三行 1 2 1 各项系数之和为4 第四行 1 3 3 1 各项系数之和为8 第五行1 4 6 4 1 各项系数之和为16 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，共有__________项； （2）若已知，，求的值； （3）将的展开式从左到右按的降幂排列，则系数最大的项是第__________项； （4）将展开后，各项的系数和为____________． 24. 如图，在四边形中，，，，点在边上，且．点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点不与点重合时，用无刻度的直尺和圆规，过点作直线，垂足为点； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当时，求的长； （4）连接、、，设的面积为，的面积为，当或时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $