精品解析：河南信阳高级中学等校2026-2027学年高三上学期11月学情诊断数学试题

2026年11月高三年级学情诊断 数学试题 说明：本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（ ） （参考数据：取，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知幂函数（）的定义域为，，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 8. 已知函数且关于的方程有4个实数解，，，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分．错选不得分，选对但不全的得部分分） 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 取最小值时 10. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为_________ 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 四、解答题（本题共有5个小题，共77分） 15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 17. 如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以为圆心，以10米为半径的圆在内部的扇形区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点，分别在线段，上，并且与扇形的弧相切于内的点，步道宽度忽略不计，设． （1）当时，求步行道的长度； （2）试用表示该步行道的长度，并求出该步行道的长度的最小值． 18. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 19. 已知函数的定义域是，且导函数，设是曲线在点处的切线．其中，且． （1）求的单调区间； （2）证明：除切点以外，曲线在直线的上方； （3）过点作直线，设，与轴交点分别为，，过点作轴垂线，垂足为． （i）证明：； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年11月高三年级学情诊断 数学试题 说明：本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 3. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的上方， 此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 4. “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（ ） （参考数据：取，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】已知函数，若是奇函数，则有， 即，得到，化简得， 要使等式对定义域内的恒成立，则必须满足，解得或， 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 所以，若，则是奇函数；若是奇函数，则或； 因此“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故A正确. 6. 已知幂函数（）的定义域为，，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数定义以及函数的定义域求得参数，利用诱导公式化简三角函数值，并比较出三个自变量的大小，结合求得的幂函数的单调性，即可求解． 【详解】已知为幂函数，且幂函数的系数必须为1， 可得，整理得， 因式分解得，解得或． 当时， ，定义域为，不符合题干给出的定义域，舍去； 当时，，定义域为，符合要求，故． 由于，根据诱导公式， 可得，，． 因为，，所以根据三角函数图象与性质， 可得，且． 因此，即． 由于在和上均单调递减， 在上，由，可得，即； 在上，由于，可得，即， 综上，可得． 7. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据芯片投入资金与毛利润的对应关系求解的函数解析式，再设投入芯片的资金为亿元，建立纯利润关于的函数表达式，通过换元法转化为二次函数求最值，即可得到对应投入芯片的资金额. 【详解】∵ 生产芯片的毛利润与投入资金满足， 且投入亿元时毛利润为亿元，投入4亿元时，毛利润为2亿元. ∴ 代入可得，解得，即. 设投入芯片的资金为亿元，其中，则投入芯片的资金为亿元. 由纯利润的定义得，. 令，，则，. 代入的表达式得：. 该二次函数开口向下，对称轴为，在的取值范围内. ∴ 当时，取得最大值，此时，. 即投入芯片的资金为23.75亿元时，企业获得的纯利润最大. 8. 已知函数且关于的方程有4个实数解，，，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出对数函数与二次函数的图象，结合图象的单调，进而求得，由二次函数的对称性可知，且，计算，根据，，解得范围. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的图象如下， 由图象可知，易知，且， ，且，即，， 由二次函数的对称性可知，且，， 又，，， 由题意，显然有，易知， 故选：A． 二、多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分．错选不得分，选对但不全的得部分分） 9. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 取最小值时 【答案】ABD 【解析】 【分析】令计算得到A选项；对变形得到，由等差数列的定义和通项公式得到，进而得到和判断BD两个选项；由计算得到C选项. 【详解】对于A，由，，可得，即，A正确； 对于B，条件变形有，所以是以3为首项，1为公差的等差数列， 则，所以，B正确； 对于D，，，由二次函数的对称性可知时取最小值， D正确； 对于C，由，得，作差得， 而，符合上式，所以，即不是等差数列，C错误． 10. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的焦点的坐标，求得的值即可判断A；联立直线与抛物线由韦达定理求得，再根据焦点弦公式可求得即可判断B；过点作准线的垂线，垂足为，先求得，再利用抛物线的定义结合“三角形两边之和大于第三边”得周长即可判断C；设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义结合相似三角形知识得到，从而得到即可判断D. 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，利用函数零点和符号确定、的关系；对于C，利用图象关于原点对称的性质及导数判断交点个数；对于D，取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式． 【详解】对于A，取，则，该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但，A错误． 对于B，由题意得当且仅当． 又，因此，． 若，不妨设，取，则，，，所以，与题意矛盾． 因此一定有，B正确． 对于C，此时，其图象与边界均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数． 当时，，由得，故交点横坐标满足 由，列增减表如下： − + ↘ ↗ 由表可知，方程在内恰有2个不同的解，对应2个交点． 当时，，由边界方程得，故交点横坐标满足 由，，且，知该区间恰有个交点． 边界上，且、、时均非交点，故右半平面恰有个交点． 结合关于原点的对称性，共有个交点，C正确． 对于D，当时，． 取，则当时， 所以当时，对任意均有，但不满足，D错误． 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由设，将几何条件转化为一元参数；利用面面垂直时点到平面距离最大这一翻折性质，确定到底面的最大高为到的距离；以五边形为底，写出体积关于的一元函数；求导利用单调性得到最大值. 【详解】设，由条件可得， 因为在边上且不含端点，正方形边长为，因此， 在中，斜边，的面积为， 底面五边形的面积为， 翻折过程中，点在过点且垂直于的平面内运动， 因此点到底面的距离，不会超过点到直线的垂线段长度， 当且仅当平面平面时，取得最大值， 由三角形等面积法，点到直线的距离为， 即点到底面的最大高为， 故多面体是以五边形为底、为顶点的五棱锥， 体积公式为，将高的最大值代入，得到体积为， ，令，解得，即（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此时，体积取得最大值，故. 四、解答题（本题共有5个小题，共77分） 15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）如图，设交于点，连接， 因为正方形中，， 因为为等腰三角形，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得出，，即可证明； （2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：，， 所以，，且，故平面． 以为原点，为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又因为平面， 所以平面的法向量可取， 设二面角的大小为， 则． 由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． 方法二： （等体积法）由，，得，，故平面． 由正方形边长为2，得；又，故． ，所以；同理． 四面体的体积． 设二面角为，则点到平面的距离， 点到直线的距离． 由垂直于棱的截面关系，． 由图可知为锐角，故． 所以二面角的余弦值为． 16. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以， 因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）确定是等差数列，进而可求解； （2）由等比数列的定义即可求证； （3）由（2）求得，再由错位相减法及等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以是等差数列， 设的公差为，由，，，得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 令， 则， 两式相减得 ， 所以， 又因为， 所以. 17. 如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以为圆心，以10米为半径的圆在内部的扇形区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点，分别在线段，上，并且与扇形的弧相切于内的点，步道宽度忽略不计，设． （1）当时，求步行道的长度； （2）试用表示该步行道的长度，并求出该步行道的长度的最小值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由题可得，，结合和差公式求解即可； （2），，利用和差公式化简，再利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 由题可得，当时， 在中：， 在中：， 所以. 【小问2详解】 ，， 所以 ，， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以，步行道的长度的最小值为. 18. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2），或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； 【小问3详解】 由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 19. 已知函数的定义域是，且导函数，设是曲线在点处的切线．其中，且． （1）求的单调区间； （2）证明：除切点以外，曲线在直线的上方； （3）过点作直线，设，与轴交点分别为，，过点作轴垂线，垂足为． （i）证明：； （ii）求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设是曲线在点处的切线， 所以切线的方程为，即， 构造差值函数，只需证时， ，由（1）知在单调递增，结合， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增， 时， ，故， 又，故，故，所以，故单调递增， 即时，单调递减；时，单调递增， 因此在处取最小值，故对任意，，即除切点外曲线恒在直线上方. （3）（i）对切线，令得，解得， 直线，斜率为，方程为，令得, 因此， 由得，故. （ii） 【解析】 【分析】（1）对导函数再次求导，通过二阶导数的符号判断原导函数的单调区间，核心是分析分子函数的零点与正负； （2）构造曲线与切线的差值函数，利用导数研究其单调性与最小值，通过最小值为0证明曲线恒在切线上方； （3）（i）分别求出两条直线与x轴的交点横坐标，直接计算乘积并化简，利用平方非负证明乘积小于0； （ii）将线段长度转化为横坐标差的绝对值，代入比值化简消去，转化为单变量函数后用基本不等式求值域. 【小问1详解】 ，设，， 则， 令，则，故在单调递减，且， 当时，，，单调递增，即单调递增； 当时，，，单调递减，即单调递减； 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）由，得，， 由（i）知与异号，故， 由（i）知，, 所以， ，两式相除得， 令，由且在单调递增，得，故， 设，由基本不等式，得， 当且仅当时取最大值；当或时，， 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $