精品解析：北京市育才学校2026—2027学年度第一学期八年级数学学科期中考试试卷

2026-2027学年度第一学期 北京市育才学校八年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 如图所示，下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．根据有关知识点逐个选项计算即可． 【详解】解：A、，所以A选项不正确； B、，所以B选项不正确； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项不正确． 故选：C． 3. 若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 13 D. 14或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，运用分类讨论思想．解题关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形；易错点是忽略三边关系的验证，误将不符合条件的情况计入，导致错选． 分情况讨论腰长： 情况一：假设腰长为2，则三边为2、2、6．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，，不满足，舍去． 情况二：假设腰长为6，则三边为6、6、2．，满足三边关系，即可得周长． 【详解】∵等腰三角形两边长为2和6， ∴可能腰为2、底为6或腰为6、底为2． ①当腰为2、底为6时，三边为2、2、6， ，不满足三角形三边关系， ∴不成立． ②当腰为6、底为2时，三边为6、6、2， ，，均成立， ∴周长为． 故选：A． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先验证等式左右是否恒等，再检查分解是否彻底，逐一判断选项． 【详解】解：A．, 原式分解不彻底, 错误； B．, 符合完全平方公式, 正确； C．展开右边得, 与左边不相等, 错误； D．由平方差公式得, 与选项中等式右边不相等, 错误． 5. 在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，则∠A的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°,然后与∠A-∠B=70°联合求解即可． 【详解】解:∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°,又∠A-∠B=70°， ∴∠A=（90°+70°）=80°,故选A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握直角三角形的性质. 6. 如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使的值最小，则点P应选在（） A. C点 B. D点 C. E点 D. F点 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质作图确定点的位置即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，则交直线于点，此时的值最小， 点与点重合． 7. 如图所示，在中，，平分，交于点，若，，则的面积为（ ） A. 30 B. 24 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，此时，，，即与的和最小，，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质分别求出、即可求得的长． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接， 此时，，，即与的和最小， ∵在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 计算的结果是_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】先判断底数是否不为0，再根据零指数幂的运算法则计算结果． 【详解】∵，， ∴根据零指数幂运算法则：任何非零数的零次幂等于1，可得． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的点的轴对称变换，掌握点的轴对称变化过程中的变量和不变量是解题的关键． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点与另一个点关于轴对称， 另一个点的横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，即， 点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定解题即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13. 如图在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，连接，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：连接，由作图可知：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：4． 14. 如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 15. 如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 【详解】解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 16. 如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． ①分三种情况讨论如下：当点P在线段上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得，综上即可对该结论进行判断；②当时，则B，可依据“”判定和全等得，进而得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可对该结论进行判断；③依题意分以下两种情况：当点P在线段上，且时，则；当点P在的延长线上，且时，则，据此即可解答． 【详解】解：①∵P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）， ∴有以下三种情况： 当点P在线段上时，如图①1所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①2所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①3所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等， 综上所述：当点P是直线上的一个动点时，的面积与的面积相等，故结论①正确． ②当时，如图②所示： ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故结论②正确： ③由结论①正确可知：， ∴当的面积是的面积的一半时，则． 此时有以下两种情况： 当点P在线段上，且时，则，如图③1所示： 理由如下： ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即当点P在线段上，且时，的面积是的面积的一半； 当点P在的延长线上，且时，则，如图③2所示： 理由如下： ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 即当点P在的延长线上，且时，的面积是的面积的一半， 综上：的面积是的面积的一半，则点P在线段上或在的延长线上， 故结论③不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6）（需简便运算） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，平方差公式的应用．熟练掌握以上的运算法则是解题的关键． （1）先利用同底数幂的乘法化简，再合并同类项； （2）先利用幂的乘方与积的乘方化简，再利用同底数幂的乘法进行求解； （3）利用多项式除以单项式法则计算即可； （4）利用单项式乘以多项式法则计算即可； （5）利用多项式乘以多项式法则计算即可； （6）运用平方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 18. 化简求值：当时，求的值． 【答案】23 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式整体变形代入计算即可求值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，公式法分解因式，掌握提公因式法分解因式，公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式，求解即可． （2）先提取公因式，再用平方差公式，求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ． ， ，即． 在和中， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）由题意可得，由可得，再证明即可证得； （2）由可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ∴在中， ． ， ． ， ． ． 21. 已知在中，． （1）如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； （2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； （3）在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 【答案】（1）①； ②由题意作图如下： （2） 由题意，作图如下： （3）； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作角平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）根据尺规作线段和角平分线的方法作图即可； （3）证明，得到，进而推出的周长为即可． 【小问1详解】 解：①分析：点在线段上，则， 而要使，即需要， 因此需要点在线段的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴的周长为． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点坐标．（点不与点重合） 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的特点，依次作出各对称点，再依次连接可得； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：如图所示： 当以、、为顶点的三角形与全等时， 点D的坐标为：或或． 23. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 补全图形如图1， （2） ，． 证明：延长至点，使，连接，如图2． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ∵点与点关于直线对称， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据题意补全图形，根据对称的性质得直线垂直平分，再根据垂直平分线的性质得，，推出，再根据求解； （2）延长至点，使，连接，如图2，分别证明、得到，，再根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 24. 在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． （1）点的“型对照变换图形”的坐标为________； （2）已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； （3）已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②， （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； 【小问3详解】 解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 北京市育才学校八年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 如图所示，下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 13 D. 14或10 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，则∠A的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 6. 如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使的值最小，则点P应选在（） A. C点 B. D点 C. E点 D. F点 7. 如图所示，在中，，平分，交于点，若，，则的面积为（ ） A. 30 B. 24 C. 15 D. 10 8. 如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 计算的结果是_____． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 11. 计算：______． 12. 如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 如图在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，若，则的长为______． 14. 如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______． 15. 如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 16. 如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6）（需简便运算） 18. 化简求值：当时，求的值． 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 已知在中，． （1）如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； （2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； （3）在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点坐标．（点不与点重合） 23. 如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接． （1）依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）； （2）连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 24. 在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． （1）点的“型对照变换图形”的坐标为________； （2）已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； （3）已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $