精品解析：北京清华大学附属中学朝阳学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026-2027学年度第一学期期中综合练习 八年级数学 满分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判定，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：根据已知选项可知、、不是轴对称图形，是轴对称图形； 故选：． 2. 画的高，以下画图正确的是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据的高应是过点垂直于的线段即可判断求解，理解三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的高应是过点垂直于的线段， ∴图、图、图中的都不是高，只有图中的是高， 故选：． 3. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 4. 如图，、、分别表示的三边长，则下面与一定全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意知，， A．满足两边及夹角相等，能判定与一定全等； B．满足两边相等，但夹角不相等，不能判定与一定全等； C．仅满足一边一角相等，不能判定与一定全等； D．满足两角相等，但夹边不相等，不能判定与一定全等； 5. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 6. 小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：． 求作：，使． 作法：（）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （）以点为圆心，长为半径画弧，与第（）步中所画的弧相交于点； （）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（ ） A. 由可得，进而可证 B. 由可得，进而可证 C. 由可得，进而可证 D. 由“等边对等角”可得 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用直尺和圆规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，根据判定定理“”即可求解，看懂作图过程是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴， ∴， 即， ∴小聪作法正确的理由是， 故选：． 7. 如图，在中，和的平分线交于点E，过E作，分别交于点M，交于点N，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线和平行线的条件，推出两个等腰三角形，得到、，再通过线段相加求出的长度． 【详解】解：和的平分线交于点E， ，， ， ，， ，， ，， ，， ． 8. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征．根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标1保持不变，纵坐标2取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 10. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这是一个_________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】此题考查的目的是理解掌握按比例分配的方法及应用，以及三角形按照角的大小分类情况及应用．首先利用按比例分配的方法，求出这个三角形最大角的度数，再根据三角形按照角的分类情况，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形，据此解答． 【详解】解：， ， 的角是直角， 答：这是一个直角三角形． 故答案为：直角． 11. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 12. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 13. 已知：如图，．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（选一个即可） 【解析】 【分析】题目已经给出一组边相等，还有一条公共边，根据全等三角形判定定理，补充第三组边相等或者这两组边的夹角相等，就能证明两个三角形全等． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ． 14. 如图，中，AD平分，，，若的面积等于1，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：解法一：如图所示：过点作于点，于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵，且， ，． ∴． 解法二（同高看底）： ， 两个三角形分别以、为底时高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，，．则长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ． 16. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中：①当点在线段上时，； ②当点在线段上时，； ③当点不在线段上时，； ④点在运动的过程中，始终有． 所有正确结论的序号是：_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得到，证明，推出， 则可证明，；当点在线段上时，可证明，由三角形内角和定理可证明；当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，可判断④；当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大，求出当点与点重合时和当点与点重合时的度数，可判断①；当点在线段上时，在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，证明，得到，可判断②；当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论，画出示意图，构造手拉手全等可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， 线段的垂直平分线交直线于点， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ∴， ， ，； 如图，当点在线段上时， ∴ ； ∵， ， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ； 如图，当点在线段的延长线上时， ， 综上所述，点P在运动的过程中，始终有，故④正确； 为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大， 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小，如图所示， ∵，， ∴是等边三角形， ，即； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，如图所示， 同理可得是等边三角形， ，； ； 当O点在线段（不与，重合）上时，，故①正确； 当点在线段上时，如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示，在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ， ； 当点在的延长线上时，如图所示，在上截取，连接， 同理可证明， ∴， ∵ ∴，故③错误 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题（本题共52分，第17-19、21题，每小题5分，第20、22-24题6分，第25题8分，附加题6分） 17. 如图，，与相交于点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，结合三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴． 18. 如图，已知，以及两点M、N，请你用尺规作图，在内部作出点P，使点P到，距离相等；点P到点M，点N的距离相等（保留作图痕迹） 【答案】如图，点P即为所求 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作的平分线，连结作的中垂线，两条线交于，则点为求作的点． 【详解】略 19. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF． 【答案】 证明：∵BF= CE，              ∴BC= EF．                                    在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）．              ∴AC=DF． 【解析】 【分析】先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC≌△DEF是解答本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标为． （1）作关于轴的对称图形（其中、、的对称点分别是、、），点的坐标为_________； （2）在轴上找出点，使最短；在图中标出点，点坐标为_________． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的点的坐标特征求出、、的对称点、、，顺次连接起来即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点；根据、两点坐标求出直线的解析式，令即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：关于轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． ∵顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标为， ∴对称点坐标为、坐标为、坐标为． 图略； 【小问2详解】 解：∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴， 当、、三点共线时和最小，因此连接，它与轴的交点就是所求的． 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴令，得，解得， ∴点的坐标为． 21. 如图，在中，，点，分别在，上，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用等腰三角形的性质结合三角形外角的性质依次表示出各角，再利用三角形内角和定理列出方程，求解出，进而计算出的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 22. 如图，在中，，D是中点，，E为边上一动点．当E运动到什么位置时，是等边三角形，请你补全图形并证明． 【答案】如图，当E运动到边的中点时，是等边三角形． 证明：取边的中点E，连接． ∵，， ∴ ∵D是中点，， ∴，．（三线合一） 在中，， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】首先确定E点位置为边的中点，然后根据三角形内角和定理求出的底角度数，根据等腰三角形三线合一性质得出，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”以及直角三角形斜边中线性质推导得出，即可证明结论． 【详解】略 23. 如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：过点D作于点G， ∵ ∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需要熟练掌握． 24. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】 证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】略 25. 如图，在中，，点D在边上，，点E在边延长线上，满足． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）过E作交延长线于点F，请你补全图形，并用等式表示、、之间的数量关系，并证明； （3）若，点P，Q分别是线段，上的动点，直接写出的最小值． 【答案】（1）． 证明：设与交于点， ∵在中，， ， ∵在中，， 在中，， 又 ∵， ， ， ； （2）解：补全图形如图 、、之间的数量关系为：， 证明：如图，在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）设与交于点，由，得，根据，，可得，进而得，即可证明； （2）由，在上截取，可得，则，又，从而，在中，由（1）可得，由，可得，从而，于是． （3）作点关于直线的对称点，作于 ，可得，从而的最小值即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于直线的对称点，作于，连接， ， ， 点、、共线， 由（1）可得，， ，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴的最小值为． 附加题 26. 在平面直角坐标系中，将横坐标都为的直线，记作直线，将纵坐标都为的直线，记作直线． （1）将点关于直线对称后得到，再将关于直线对称后得到，将关于直线对称后得到，以此类推，请写出的坐标________． （2）点在第二、四象限的角平分线上，将点关于直线对称后得到的点，再关于直线对称得到，记作一次“变换”将进行“变换”得到，将进行“变换”得到，以此类推，当回到了第二、四象限的角平分线，此时，需满足的关系式为：________． （3）将关于直线对称后得到的点，再关于直线对称得到，以为顶点作边长为1的正方形，且有一边与坐标轴平行，该正方形与第二、四象限的角平分线有交点，则需满足的条件是：________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求解，，，，进一步归纳规律，再解答即可； （2）分别求解，，，，归纳可得：每次“变换”，点在原基础上向右平移个单位，向上平移个单位，再进一步求解即可. （3）先求解，结合以为顶点作边长为1的正方形，且有一边与坐标轴平行，如图所示，表示正方形左下顶点的坐标为：，结合在第二、四象限的角平分线上，可得，再利用数形结合进行解答即可. 【小问1详解】 解：∵点关于直线对称后得到， ∴， ∵关于直线对称后得到， ∴， ∴， ∵将关于直线对称后得到， ∴， ∵将关于直线对称后得到， ∴， ∴， 归纳可得：每次对称后点的位置向右平移个单位， ∴， ∴的坐标为：. 【小问2详解】 解：点关于直线对称后得到的点的坐标为， ∵点关于直线对称得到， ∴， 将进行“变换”得到， ∴， 同理可得：，， 归纳可得：每次“变换”，点在原基础上向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴次“变换后点的坐标为， ∴进行“变换”得到：， ∵在第二、四象限的角平分线上， ∴， 整理得：. 【小问3详解】 解：点关于直线对称后得到的点的坐标为， 点关于直线对称得到， ∴， 以为顶点作边长为1的正方形，且有一边与坐标轴平行，如图所示， ∴正方形左下顶点的坐标为：， 当在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得：， ∵，且正方形与第二、四象限的角平分线有交点， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中综合练习 八年级数学 满分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 画的高，以下画图正确的是（ ） A.     B.     C.     D.     3. 下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，8，7 4. 如图，、、分别表示的三边长，则下面与一定全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 6. 小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：． 求作：，使． 作法：（）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （）以点为圆心，长为半径画弧，与第（）步中所画的弧相交于点； （）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（ ） A. 由可得，进而可证 B. 由可得，进而可证 C. 由可得，进而可证 D. 由“等边对等角”可得 7. 如图，在中，和的平分线交于点E，过E作，分别交于点M，交于点N，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8 8. 如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为_____． 10. 一个三角形三个内角的度数之比是，则这是一个_________三角形． 11. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为_____． 12. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 13. 已知：如图，．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是_________．（写出一个即可） 14. 如图，中，AD平分，，，若的面积等于1，则的面积为_________． 15. 如图，在中，，，，．则长为_________． 16. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中：①当点在线段上时，； ②当点在线段上时，； ③当点不在线段上时，； ④点在运动的过程中，始终有． 所有正确结论的序号是：_____________． 三、解答题（本题共52分，第17-19、21题，每小题5分，第20、22-24题6分，第25题8分，附加题6分） 17. 如图，，与相交于点，，，求的度数． 18. 如图，已知，以及两点M、N，请你用尺规作图，在内部作出点P，使点P到，距离相等；点P到点M，点N的距离相等（保留作图痕迹） 19. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF． 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标为． （1）作关于轴的对称图形（其中、、的对称点分别是、、），点的坐标为_________； （2）在轴上找出点，使最短；在图中标出点，点坐标为_________． 21. 如图，在中，，点，分别在，上，且，，求的度数． 22. 如图，在中，，D是中点，，E为边上一动点．当E运动到什么位置时，是等边三角形，请你补全图形并证明． 23. 如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形． 24. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 25. 如图，在中，，点D在边上，，点E在边延长线上，满足． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）过E作交延长线于点F，请你补全图形，并用等式表示、、之间的数量关系，并证明； （3）若，点P，Q分别是线段，上的动点，直接写出的最小值． 附加题 26. 在平面直角坐标系中，将横坐标都为的直线，记作直线，将纵坐标都为的直线，记作直线． （1）将点关于直线对称后得到，再将关于直线对称后得到，将关于直线对称后得到，以此类推，请写出的坐标________． （2）点在第二、四象限的角平分线上，将点关于直线对称后得到的点，再关于直线对称得到，记作一次“变换”将进行“变换”得到，将进行“变换”得到，以此类推，当回到了第二、四象限的角平分线，此时，需满足的关系式为：________． （3）将关于直线对称后得到的点，再关于直线对称得到，以为顶点作边长为1的正方形，且有一边与坐标轴平行，该正方形与第二、四象限的角平分线有交点，则需满足的条件是：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $