专题 4.5 相似三角形的性质【同步分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题 4.5 相似三角形的性质【同步分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】对应线段之比 2 【题型2】周长之比 2 【题型3】面积之比 3 【题型4】重心的性质 4 三.能力提升 6 【题型1】相似三角形性质综合 6 【题型2】相似三角形性质与判定综合求值证明 7 四.中考链接 8 五.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 1. 相似三角形的对应角 　　　　，对应边 　　　　。 2. 相似三角形的对应高线之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 　　　　　　。 3. 相似三角形的周长之比等于 　　　　　　。 4. 相似三角形的面积之比等于 　　　　　　。 5. 三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 　　　　。 二.基础达标 【题型1】对应线段之比 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，相似比为． （1）如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． （2）如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． （3）如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 2.（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 4.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，． （1）证明：； （2）求的长． 【题型2】周长之比 1.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 2.（26-27九年级上·广东深圳·期中）若，且与的相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，，的周长为，的周长为______． 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求与的周长之比． 【题型3】面积之比 1.（25-26九年级下·湖南永州·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积为，求的面积．    2.（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 4.（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． （1）求证：： （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【题型4】重心的性质 1.（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 2.（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 3.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 4.（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 三.能力提升 【题型1】相似三角形性质综合 1.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，点在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2.（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 4.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【题型2】相似三角形性质与判定综合求值证明 1.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，，，． （1）求的长． （2）求证： 2.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在中，，，，，，则的长为______． 4.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当为何值时，？ 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 5．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 6．（2026·四川德阳·中考真题）如图，在矩形中，，点在边上，且，为边上一动点（含端点），连接，过点作的垂线，交矩形的边于点，当点在边上运动时，为了使点能落在边上（含端点），则的长度可以是_______（答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 三、解答题 7．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． （1）如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； （2）如图2，当时，连接交于点，求的值； （3）如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 8．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在四边形中，，，，以为直径作，分别交，于点E，F，，相交于点M． （1）与相似吗？为什么？ （2）已知，，N为的中点，连接． ①求，的长； ②仅用一把无刻度的直尺在线段上作一点P，使得为等腰三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.5相似三角形的性质【同步分层作业】 2026一2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层核心素养) 目录 一.知识梳理（前置作业） 二基础达标 2 【题型1】对应线段之比.… 2 【题型2】周长之比. 5 【题型3】面积之比 .7 【题型4】重心的性质.… ...10 三.能力提升 .15 【题型1】相似三角形性质综合. .15 【题型2】相似三角形性质与判定综合求值证明. 18 四.中考链接 .25 五.自我评价 .43 知识梳理（前置作业) 请完成下列填空 1.相似三角形的对应角 对应边 2.相似三角形的对应高线之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 3.相似三角形的周长之比等于 4.相似三角形的面积之比等于 5.三角形的重心到项点的距离是它到对边中点距离的 参考答案： 1.相等：成比例 2.相似比 3.相似比 4.相似比的平方 5.2倍 二.基础达标 【题型1】对应线段之比 1.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知△ABC△AB'C',相似比为2：3 (1)如果AD与A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD=9Cm,求A'D'的长， (2)如果AE与AE'分别为这两个三角形的对应中线，且AE'=I0Cm,求AE的长. 3)如果G与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值 27 20 【答案】(1)AD的长为2cm(或13.5cmJ；(2)4E的长为3cm:(3) A'F F的值为 3 2 【分析】利用相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质，结合已知 条件分别求解各小问 (1)解：.△ABC∽△AB'C,相似比为2：3 又.AD与A'D'分别为两个三角形的对应高， AD 2 …D3 ·.'AD=9cm 92 …D3 解得A'D= 27 m (2)解：，'△ABC∽△A'B'C,相似比为2：3 又'.AE与A'E分别为两个三角形的对应中线 …光号 ,A'E=10cm, AE 2 103 解得4E=20。 (3)解：，△ABC∽aA'B'C,相似比为2：3 又，AF与A'F分别为两个三角形的对应角平分线， AF 2 …F3 AF'3 .AF-2 2.(26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测)若两个相似三角形面积之比为25：9，则它们的对应 边上的高之比为() A.25:9 B.9:25 C.5:3 D.3:5 【答案】C 解：，两个相似三角形的面积之比为25：9 .相似比为5：3， 5:3 对应边上的高之比为 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)如果两个相似三角形对应高的比为3：2，那么这两个相 似三角形的对应中线的比为 一，对应角平分线的比为 【答案】 3:2 3:2 【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，据此 解答即可 解：，两个相似三角形对应高的比为3：2， ·.这两个相似三角形的相似比为3：2， “,‘相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴，这两个相似三角形的对应中线的比为3：2， ·,‘相似三角形对应角平分线的比等于相似比， 3:2 ,∴，这两个相似三角形的对应角平分线的比为， 4.(25-26九年级上·湖南怀化·期中)如图，DB=5,AD=7.5,BC=20,EC=4,AE=6 (1)证明：△ADE∽△ABC: (2)求DE的长， E 【答案】(1)证明：DB=5,AD=7.5,EC=4,AE=6 .40=75=3E63 AB7.5+55'AC6+45' 、ADAE ·ABAC ,'∠A=∠A .∴.△ADE∽△ABC: (2)12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练相似三角形的判定与性质是 解题的关键 ()根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似求证； (2)根据相似三角形的对应边成比例求解， 解：(1)路 (2)解：·.'BC=20,△ADE∽△ABC DE AD ·BCAB' DE3 .205 解得 DE=12 【题型2】周长之比 1.(26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测)已知，在△ABC和△A'B'C中， AB BC AC 2 ABBC=AfC=3,且△4B'C的周长为120cm'求AABC的周长. 【答案】80cm 【分析】证明△ABCAAB'C',再根据相似三角形的性质解答即可. AB BC AC 2 解：“AB-BC-AC-3 ,∴.△ABC∽△A'B'C ,∴.△ABC的周长与△AB'C的周长之比为2：3， ·.△AB'C'的周长为120cm ...4BC 120×2=80cm 3 的周长为 2.(26-27九年级上·广东深圳期中)若△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的相似比为l:3 ,则△ABC与△DEF的周长比为() A.1:3 B.1:9 C.1:v3 D.1:6 【答案】A 【分析】利用相似三角形的周长此等于相似比求解即可. 解：△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为l:3, .∴△ABC ADEF 1:3 的周长比为 3.(26-27九年级上·四川成都·阶段检测)已知△ABC∽aDEF,SMC:SDr=I:4,△ABC的 周长为l5cm,aDEF的周长为cm. 【答案】30 【分析】利用相似三角形的性质，由面积此求出相似比，再根据周长比与相似比的关系，结合 已知的△ABC周长计算△DEF的周长 解：，AABC∽ADEF,SABC:SDEF=1:4 .∴.两三角形的相似比为V1:√4=1：2 “‘相似三角形的周长比等于相似比， C. …Cp2' .C.ABC =15cm ,C.pr=15×2=30(cm） 4.(25-26九年级上·陕西汉中·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在BC上， ∠C=∠DEA (1)求证：△DEC△ADE: (2)若CE=2,DE=4,求△DEC与△ADE的周长之比 B 【答案】 (1)见解析：(2) 【分析】(1)AD∥BC得∠ADE=∠DEC,再由∠C=∠DEA,即可得出结论； (2)由相似三角形的性质列出比例式即可求解 解：(1)证明：，AD∥BC, .∴.∠ADE=∠DEC 又'.∠C=∠DEA ∴.△DEC∽△ADE: (2)解：由(1)知，△DEC∽△ADE EC 2 1 ADEC与。ADE的周长之比=DE=4F2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键 【题型3】面积之比 1.(25-26九年级下·湖南永州期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， 若△ADE的面积为4，求△ABC的面积 D E B 【答案】16 【分析】本题考查了中位线的性质以及相似三角形的判定与性质，先得出DE是△ABC的中位 线，再证明△ADE∽△ABC,再列比例式进行计算，即可作答 解：：点D,E分别是AB,AC的中点 .DE是△ABC的中位线 .DE∥BC :DE-=)BC,△ADEn△ABC DE 1 BC 2 SAADE=1 SAABC 4 .SABc=4×4=16 所以4ABC 的面积为16. 2.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，点DE分别在AB,AC上，且DE∥BC, DE=3,BC=7,则△ADE和△ABC面积的比值为() 9 A. 49 B. 3 49 D 【答案】A 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方 解：DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC DE 3.(25-26九年级上·福建泉州·期末)若△ABC∽A'B'C',且面积比为4：25，则其对应边上的 高的比为 【答案】2：5 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题 关键.根据相似三角形的性质，先由面积此求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相 似比得出结果即可 解：，△ABC∽aAB'C,且面积比为4：25 ∴.相似比为2：5， 2:5 ∴对应边上的高的比为 4.(25-26九年级上·湖南株洲期中)如图，四边形ABCD是某校一块学农基地，其中△ABD 是蔬菜园，△CDB是水果园，已知AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m (1)求证：△ABD∽△BDC: (2)若蔬菜园△ABD的面积为8O0m2,求水果园△CDB的面积 D B 【答案】(1)证明：.'AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m AB402BD602 ·∠ABD=LBDC BD603’DC903' AB BD 2 …BDDC3 ∴，△ABD∽△BDC; (2)1800m2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的 关键： AB BD_2 (I)由题意易得∠ABD=∠BDC,BD-DC-3 然后问题可求证； (2)根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解 解：(1)略 2 (2)解：由(1)可知：△ABD∽△BDC 且相似此为3， :5. 9 .'SAABD =800m2 9 SA4RD=1800m2 4 【题型4】重心的性质 1.(2026·甘肃兰州模拟预测)如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我 们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片.请用尺规作图法，在图②的△ABC中找到这个支点 P(保留作图痕迹，不写作法) ① ② 【答案】如图，点P即为所求 ② 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质.作 AC和BC的垂直平分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P 解：略 2.(2025·浙江·模拟预测)如图，△ABC的两条中线BE,CD相交于点O.若△BOD的面积 为1，则△BOC的面积为() B A.3 B.2 C. 3-2 D.1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质.根据△ABC的两条中线BE,CD相交于点O,得到点 1 MBC的重心，即OC三CD然后表示出S加=)Sa 3 即可得解。 解：，△ABC的两条中线BE,CD相交于点O, ,∴.点0是△ABC的重心， ..0c-2CD 3 ..S.BOD =1 .∴.SBCD=3 .S.BOC S.nCD-S.ROD=2 故选：B 3.(25-26九年级下·江苏盐城期中)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个J顶点的 坐标点A(-1,0),B(3,0),点C(2,3),则aABC的重心坐标为 A \B -2-1012345x 2 【分析】取AB、BC的中点F、E,连接AE、CF交于点E,则点D是△ABC的重心，根据 中点坐标公式可得F(,0): E 5 ’2 利用待定系数法求出直线4和cF的解析式，再求出 两直线的交点坐标即可得解 解：如图，取AB、BC的中点F、E,连接AE、CF交于点D,则点D是△ABC的重心， 3 2 DE- F B 2-10 23451 A(-1,0).B(3,0),C(2,3) 53 F1,0) 32) 设直线AE的解析式为y=a+b 「-k+b=0 则 +6 5 3 解得：了 3 2 b= 33 :直线4E的解析式为y=x+7 设直线CF的解析式为y=mr+n, [2m+n=3 m=3 则 m+n=0,解得：n=-3 ∴直线CF的解析式为y=3x-3, 3.3 4 y= x+ X= 联立 77, 解得 3 y=3x-3 y=I ABC 即 的重心坐标为 4.(24-25八年级上·湖南邵阳·期中)(1)尺规作图：如图1，在平面内求作一点P使得点 P到∠ACB的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等.（不需书写作图过程，但需保 留作图痕迹) (2)如图1，若点D为△ABC的重心，△ABC的面积为l2Cm,连接BD并延长交AC于点F 求△BCF面积 E B 图1 备用图 【答案】(1)如图，点P为所求： E B (2)6 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键 ()根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； (2)根据重心的性质进行计算即可. 解：(1)路 (2)根据题意可得：点D为△ABC的重心， :.= S4BC =6 D B 三.能力提升 【题型1】相似三角形性质综合 1.(26-27九年级上·四川达州·阶段检测)如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C (1)求证：△ABDACBA; (2)若AB=4,BD=2,求BC的长 4 B2D 【答案】(1)证明：∠BAD=∠C,∠B=∠B,△ABDACBA:(2)8 【分析】(1)根据两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立： (2)根据相似三角形对应边成比例即可求出BC的长. 解：(1)路 (2)解：△ABDACBA AB BD BC=AB .AB=4 BD=2 42 BC 4' ∴.BC=8 2.(26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测)如图，已知△ABC∽aDAC,若∠B=30°、 ∠D=130°，则∠BCD的度数为() D B A.30° B.40° C.50° D.60 【答案】B 解：，△ABC∽△DAC .∠BAC=∠D=l30°，∠DAC=∠B=30°，∠ACB=∠DCA, ∴.∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-130°=20°， .∴∠BCD=∠ACB+∠DCA=20°+20°=40°. 3.(26-27九年级上·上海·阶段检测)如图，点DE分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC ，且AD:AB=1:3,若SAADE=1,SAc= D B 【答案】6 【分析】由平行得出△4DE∽△ABC 进而求出5=9：S=2,求出5=9 SADE=2,即可求出结论 解：，DE∥BC,且AD:AB=1:3 ∴.△ADE∽△ABC,AD:BD=1:2, .S4E=1S4E=1 小Shg:Sme2 .SA4DE =1. ∴.SAc=9,SAE=2, SBsc=9-1-2=6 4.(26-27九年级上·四川达州·阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连 接DE,F为DE上一点，且∠B=∠AFE. D F E (1)求证：AADFADEC; (2)若AD=6,AB=4,DE=7,求AF的长. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADl/BC.ABIICD ..∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180°， .'∠B=∠AFE, .∴.∠AFE+∠C=180° 又.'∠AFE+∠AFD=180° ∴.∠C=∠AFD; .△ADFADEC; (2) 1 【分析】(1)根据平行四边形的性质和平行线的性质证明： AD AF (2)由相似三角形的性质推出DE=DC, 进而计算 解：(1)略 (2)解：.四边形ABCD是平行四边形，AB=4, .CD=AB=4. ,'△ADFADEC, AD AF :DEDC' 6 AF …74 AF=24 解得 【题型2】相似三角形性质与判定综合求值证明 1.(26-27九年级上·甘肃兰州·期中)如图，已知DE∥BC,EF川CG,AD:AB=1:3, AE=4 (1)求EC的长 (2)求证：BD·AG=FG·AB 【答案】(1)EC=8;(2)证明：，DE∥BC,EFI‖CG, ·.△ADE∽△ABC,△AEF∽△ACG AD AE AE AF ·ABAC·ACAG 8怨 1-0=1- BD FG AB AG,即 AB AG ∴，BD·AG=FGAB 【分标】()得出△DE∽△ABC则可得C一B进而可得4C的长，由此即可得： AE AD AD AE AF BD FG (2)得出△ADE∽△ABC·△AEF∽AACG·则可得B-AC-AG·进而可得BAG ,由此即可得证. (1)解：.DE∥BC, ∴.△ADEn△ABC, AE AD ·ACAB' ,AD:AB=1:3 AE 1 …AC3 ∴.AC=3AE .AE=4, .∴.AC=12, ..EC=AC-AE=12-4=8 (2)略 2.(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， △ABD△ECD,若AB=4,则EF的长为(） E D A. B. 3 1 c.2 0.2 【答案】A 【分析】根据相似三角形性质得出∠B=∠ECD及边长比例，结合直角三角形性质证得E为 AB中点，构造平行线利用相似比求解EF, 解：：△ABD∽△ECD AB BD .∠ABD=∠ECD'ECCD :∠ACB=90°，D在BC上， ∴.∠ECD=∠ECB .∴.∠B=∠ECB .EB=EC ∠BAC+∠B=90°，∠ACE+∠ECB=90° ∴.∠BAC=∠ACE :EA=EC, EA=EB=EC=4B=2 BD AB 4 CD EC2 =2,即BD=2CD CD 1 CB3 过点D作DG∥AB交CE于点G, E A B D ..ACDGACBE DG CG CD 1 BE CE CB 3' :.DG=IBE=1AE CG- CE 3 3 3 :DG∥AE ∴.△AEFADGF EF _AE =3. GF DG .EF=3GF EG=EF+GF=4GF 又BG=cB-CG=2CB. 3 4or-号cE,即cncE, 6 EF-GF-CE-1 3.(26-27九年级上·四川达州·期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC,DE⊥AC,AB=7, BD=5,AE:EC=1:2,则CD的长为一 B D 【答案】4V3 【分析】先利用勾股定理求出AD,再证△ADEP△ACD得到AD=AE·AC,结合比例关系求 出AC2,最后利用勾股定理求CD 解：AD⊥BC ∴.∠ADB=∠ADC=90° 在RtAABD中，AD2=AB2-BD2=7-52=24, :DE⊥AC .∠AED=90° .∠AED=∠ADC 又∠DAE=∠CAD ∴.△ADE∽AACD .AD_AE ·AC=AD .AD2=AE·AC, :AE:EC=1:2, 设AE=x,则EC=2x,AC=3x, .24=x.3x 解得x2=8, 在Rt△MDC中，CD2=AC2-AD2=(3x)}-24=9x2-24 ∴.CD2=9×8-24=48 ∴.CD=V48=43 4.(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D 在边AC上（不与AC重合），DE与AB相交于点F. (1)求证：△BCD∽△DAF: (2)若BC=1,设CD=xAF=y; ①求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； ②当.为何值时， SA腿=T E B 【答案】(1)证明：：△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴.∠A=∠C=∠BDE=60° ,∠ADF+∠BDE=∠ADB=∠C+∠DBC ∴.∠ADF=∠DBC BCD△DAF; ②四y=-r0<x<②当x写皮号时 SANE=7 【分析】(1)由△ABC与△BDE均为等边三角形，可得∠A=∠C=∠BDE=60°，利用角的和 差关系推导∠ADF=∠DBC,两组对应角分别相等，即可证得△BCD∽△DAF; BC CD (2)①由△BCDADAF得比例式ADAF,代入BC=1CD=x·AD=1-xAF=y ,整理得y=x-x2:结合点D不与端点重合，确定自变量取值范围为0<x<1; S△Br=7 由面积比SAn 7 ②先证 EBF∽ACBD' 9:得相似此的平方为)：结合等边三角形边相等的 性质推得BF= 9·进而得AF=2 )：代入解析式解方程得到两个符合条件的X值。 解：(1)略 (2)解：①：△BCD∽△DAF BC CD ”ADAF BC=1,CD=x,AF=y, 1=x -xy ∴y=x-x2(0<x<l): ②：△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴.∠E=∠C=60°∠EBD=∠CBA=60° ,∴，∠DBE-∠ABD=∠ABC-∠ABD ∴.∠EBF=∠CBD ∴EBFACBD BE BF BC BD' :BE=BD.BC=1. :BE2=BF, SA旺=？ 'aEBF∽aCBD'S△BCD9' S.mEBE27 SBCD BC2-9: 7 ∴.BE2=BF= 9 水-号 x-式-号 2 1 解得36= 3， 1 2 S△旺=7 X= …当 3 3 S△BCD9 时， 四.中考链接 一、单选题 1.(2026:江苏无锡中考真题)在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=V5 ,点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△A'CD.当AC∥DB时，△ACD与△BCD重叠 部分的面积是（) A. 826 026 045 4 3 9 9 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出AB=3,再由翻折的性质得A'C=AC=2,设A'D与BC交于 点E'然后说明ACEADBE: 出S4四=AD_2 ,可得DE=AD=,进而得出ScAB3接下来求 3 出3o-子5，即可得出答案 3 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=V5, 由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V22+(N5)2=3, 由翻折的性质得A'C=AC=2,∠A'CD=∠ACD,A'D=AD A'CIl DB ∴.∠A'CD=∠ADC .∴.∠ACD=∠ADC .AD=AC=2 A'D=2,BD=AB-AD=3-2=1 设A'D与BC交于点E, A'Cll BD .∠A'=∠BDE.∠A'CE=∠B .∴△A'CEADBE .A'E A'C 2 DE BD 1' :.DE=14D=2 2 3 3 ,△CDE与△A'CD同高(J顶点为C,底边在AD上)， .S.coL=DE I S.4CD A'D 3 △ACD与△ABC同高（顶点为C,底边在AB上）， S4@=AD_2 S.ABC AB 3 又S-74c-Bc-x2x5=5, 5 :.SACD=3 2V5 由翻折得SMcD=S,AcD= 3 12525 S.cs=3X3=9 即AMCD手RCD重叠部分的面积是， 2.(2026四川宜宾中考真题)如图，AB⊥BC,CD⊥BC,点E、F分别是BC上的点， 连接AE、DF交于点G.若BF=EF=2,CE=1,AB=4,CD=6,则BG的长是 () D B F E C A. 5 B. 5 c.1 D. 【答案】D 【分析】过点G作GH⊥BC干点H,利用相似三角形的性质求出GH和BH的长，最后在 Rt△BGH中利用勾股定理求解， 解：过点G作GH⊥BC于点H, B FH E C .AB⊥BC.CD⊥BC .∴.AB∥GH∥CD ∴.AEGH∽AEAB.△FGH∽△FDC. .BF=EF=2 CE=1 .BE=BF+EF=4.FC=EF+CE=3 设GH=h, `,'△EGHAEAB 00 h EH 即44 ∴EH=h, .'△FGH∽△FDC, GHFH、 h FH ·CDFC 即63‘ :.FH-1h 2 EF=EH+FH=2 1 ∴h+。h=2 2 解得h=4 .GH=4 4 EH= 3 3 M 3 ∴.BH=BF+FH=2+ 28 33 在 中，BG=VBH+GH2 Rt△BGH 3.(2026四川攀枝花中考真题)如图， 等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC, 垂足为D,点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP=OC,给出下列结论： ①点P、CB在以点0为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DC0=30°：③△POC是等 边三角形；④△POA一aCAO,其中正确结论的个数为() 0 B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出OB=OC，结合已知OP=OC 可得OB=OC=OP,从而判断①：利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角 和定理计算∠OPC的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④. 解：连接OB B- :AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°， :AD垂直平分BC,∠BAD=∠CAD=)∠BMC=60°， ∴.OB=OC,∠ABC=∠ACB=30° ...OP=OC ∴.OB=OC=OP .点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上，故①正确： .OB=OP .∠APO=∠ABO .OB=OC ∴.∠DCO=∠DBO .∠AP0+∠DC0=∠ABO+LDB0=∠ABC=30°，故②正确： 在△PBC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=18O°， 即（∠AP0+∠OPC)+30°+（∠PC0+∠OCB)=180 .∠APO=∠ABO,∠OCB=∠OBC,∠OPC=∠PCO ∴.（∠AB0+∠OBC)+30°+2∠OPC=180° ∴.30°+30°+2∠OPC=180° ∴.∠OPC=60° OP=OC △POC是等边三角形，故③正确； 根据已知条件无法证明△POA∽aCAO,故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个. 二、填空题 4.(2026江苏常州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.矩形EFGH的顶 点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上（点E与点A,D不重合，AE>ED ).若对于定点E,矩形EFGH唯一确定，则DE的长为 B 【答案】4-√7 【分析】设DE=x,则AE=8-x,求出0<x<4,证明△AEFADHE,△AEF∽△BFG △CGH∽ADHE,利用相似的性质得到m-6m+x(8-x)=0,对午定点E,矩形EFGH唯一确 定，则关干m的方程m-6m+x(8-x)=0有唯一的实数根，进一步求出答案即可. 解：在矩形ABCD中，CD=AB=6,AD=BC=8 设DE=x,则AE=8-x, A D H 8-x>x 由题意可得 AE>ED 即 x>0 解得 <x<41 ·,'四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形， .∴.∠FEH=90°，∠A=∠D=90° ∴.∠AEF+∠DEH=90°，∠AFE+∠AEF=90° .∴∠AFE=∠DEH, .∴.△EFDHE, AFAE ·DEDH' 设AF=m,DH=n,则BF=6-m, m 8-x n=(8-x) m 同理可得，△AEF∽△BFG,ACGH∽△DHE BF BG CG CH 则AEAF DH DE 6-m BG CG 6-n :8-x-m Wx ·.'BG+CG=BC=8 ..m2-6m+x(8-x)=0 ,对杆定点E,矩形EFGH唯一确定 ∴关于m的方程m2-6m+x(8-x)=0有唯一的实数根， ∴.△=(6)-4×1×x(8-x)=0, 解得x=4±√7， .0<x<4 .x=4-7, 即DE=4-√7 5.(2026河南·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点 E为边BC上一点，连接AE,交CD于点F,连接BF.若AE=2V5,则BF的长为一 D B 【倍利25或102 3 【分析】过点A作AI⊥BC于点I,先由等腰三角形的性质求出BI=CI=3,则 AI=VAB2-B=4,然后分点E在点I的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可 解：过点A作AI⊥BC于点I, 013 B E NE2 .AB=AC=5,BC=6. .BI=CI=3 ∴.AI=VAB2-BI2=4 当点E在I左侧时， 记作点E, ∴E,=VA2-Ar=(25-4=2 ..BE=BI-IE=3-2=1.CE=CI+IE=3+2=5=CA .CD平分∠ACB ..AF=EF 过点耳作FM⊥BC于点M,则FM∥AI .'.△EEM△EA EM FM EF1 ·E1=AEA2 .∴.FM=2,EM=1 .BM=1+1=2 ..BF=BM2+FM2=22: 当点E在I右侧时，记作点E2,则同理E2=2, ∴.CE2=IC-IE2=3-2=1 过点A作AO∥BC交CD延长线于点O,则∠I=∠3，△AOF∽△E,CF .CD平分∠ACB .∴∠1=∠2 .∠2=∠3 .A0=AC=5 .△AOEn△E,CF AO AF=5 …CE,E,E 同理可得，△EFN∽△E,Al .EF2 EN FN1 …E,AE1Al6 ∴.EN=2× 63,E= 11 642 6 .BN=BC-CE-NE,=6-1-}=14 33 BF=BN+EN1 3 0W2 综上：BF的长为2N或 3 6.(2026四川德阳·中考真题)如图，在矩形ABCD中，DC=10,点E在边CD上，且 CE=2,F为BC边上一动点（含端点），连接EF,过点E作EF的垂线交矩形的边于点 G,当点F在边BC上运动时，为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是 (答案不唯一，只需写出一个整数即可). D 【答案】4（答案不唯一，大于等于4的整数即可） 【分析】证明△DGE∽aCEF,得到DG.CF=16,设AD=BC=x>0,构造不等式解答即可. 解：当点G能落在边AD上（含端点）时，如图， ·.四边形ABCD是矩形 .∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC. .GE⊥EF, .∠GEF=90°， ·.'∠GDE=∠ECF=90°，∠DEG=90°-∠CEF=∠CFE E D .∴.△DGE∽ACEF DG CE DE-CF' .DC=10,CE=2 ∴.DE=DC-CE=8, DG 2 .8CF' ..DG.CF=16 设AD=BC=x>0, ·,点F在边BC上运动，点G能落在边AD上（含端点）， ..0≤DG≤x,0≤CF≤x, ∴.x2≥DG.CF, 即x2≥16， .x≥4， 故AD的值答案不唯一，可以为4（大于等于4的整数即可）. 三、解答题 7.(2026江苏淮安·中考真题)如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与端点 重合)，连接CE,作△CDE关于CE的对称图形△CFE! (1)如图1，延长EF交AB于点P,FP与BP相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当 时连接4C交B印于点G,求2C的值： DE 3 (3)如图3，连接BD交CE于点M,连接BF并延长交AD于点N,用等式表示DN与DM 的数量关系，并说明理由 D D NE D F G M B B 图1 图2 图3 【答案】()证明：相等，理由如下， 连接CP, A E D ,'四边形ABCD是正方形 ∴.BC=CD,∠D=∠B=90° 由对称可得CD=CF,∠D=∠CFE=90° .∴.∠CFP=180°-∠CFE=90°CF=CB .∴.∠CFP=∠B=90° .CP=CP .Rt△CFP≌Rt△CBP(HL), ∴.FP=BP; @9 (3)解：DN=V2DM,理由如下： 四边形ABCD是正方形 .CB=CD,∠BCD=90°， .BD=CB2+CD2 =2CD. 由对称可得，CD=CF,∠DCE=∠FCE, ..CB=CF .∴∠CBF=∠CFB 设LDCE=∠FCE=a,则∠BCF=90°-2a, .∠CBr=∠CFB=180-,∠BCF=45+a. 2 ,在正方形ABCD中，BD是对角线， .∴.∠CBD=∠CDB=∠ADB=45° .∴∠DBN=∠CBF-∠CBD=a, .∴，∠DBN=∠DCM=a, ,',△DBN∽△DCM DN_DB= ·DMDC ∴.DN与DM的数量关系为DN=√2DM. 【分析】(1)连接CP,证明Rt△CFP≌Rt△CBP(HL)即可： (2)延长EF交AB于点P,交CB延长线于点T,设AD=BC=AB=5,同()可得 FP=BP,FE=DE=3,设FP=BP=x,则AP=5-x,则EP=EF+PF=3+x,对 Rt△AEP运用勾股定理求解x,再由△AGE∽△CGT,△AEP∽△BTP求解即可： (3)证明△DBN∽△DCM即可. 解：(1)略 (2)解：延长EF交AB于点P,交CB延长线于点T, E D 四边形ABCD是正方形 ∴，设AD=BC=AB=5,AD‖BC,∠BAD=90° .DE_3 AE2 .,AE=2,DE=3 同(I)可得FP=-BP,FE=DE=3, 设FP=BP=x,则AP=5-x, .∴.EP=EF+PF=3+x, .AP2+AE2 =EP2, .(5-x2+22=(3+x2 5 解得x=4, p=5-515 44 .ADIBC. .∴.△AGE∽△CGT,△AEP∽△BTP, AE AP ·TBBP' 15 2 4 TB5 4 .'△AGEACGT, AG AE 2 6 ..GC CT 217； 5+ 3 (3)路 8.(2026江苏镇江·中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD<BC,∠A=90° ,以CD为直径作OO,分别交BC,BD于点E,FDE,CF相交于点M (1)△DAB与△MEC相似吗？为什么？ (2)已知AB=BC=6,AD=2,W为BC的中点，连接MN ①求ME,MN的长； ②仅用一把无刻度的直尺在线段DM上作一点P,使得△PMN为等腰三角形.（要求：不写作 法，保留作图痕迹) 【答案】(1)相似 理由：，AD∥BC,∠A=90°， .∴.∠ABE=180°-∠A=90° .CD是⊙O的直径， .∴.∠DEC=90° ..∠DEB=90° '.四边形ABED是矩形 ,.AB∥DE, .∠ABD=∠BDE, 又∠FDE=∠FCE,即∠BDE=∠MCE .·.∠ABD=∠MCE 又∠A=∠MEC=90°， .∴.△ABDAECM; ②①AM-子M= ②如图.△PMN即为所求， D 【分析】(1)根据平行线的性质求出∠ABE=90°，根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠DEC=90°，证明四边形ABED是矩形，根据矩形的性质和平行线的性质得出 ∠ABD=∠BDE,结合∠A=∠MEC=90°即可证明△ABD∽aMCE: 4 (2)①根据矩形的性质、线段和差关系求出EC=4: 根据相似三角形的性质求出ME=g 3 根据勾股定理求出MN=3即可： 5 ②连接AE交BD于G连接OG交DE于P,连接MN即可， 解：(1)路 (2)解：①，四边形ABED是矩形，AD=2, .∴，BE=AD=2, ,BC=6 ..EC=BC-BE=4. .'△ABDn△ECM,AB=6, AD AB 26 EM EC· 即EM4' 解得EM=4 3 经检验，符合题意， ,'W为BC的中点， .BN=BC=3. .∴.EN=BN-BE=1. ..MN=EM2+EN 3: ②作图见答案 理由：，'四边形ABED是矩形 ∴.G是BD中点，DE=AB=6, 又0是CD中点， .GO∥BC, % .DP=EP=DE=3. 2 ..MP=EP-EM=5 又MW= 3 ∴.MN=MP,即△PMN是等腰三角形 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 口顺利口有困难 能力提升 口顺利口有困难 中考链接 口顺利口有困难