精品解析：北京市朝阳区2026-2027学年第一学期期中质量检测高三数学试卷

2026－2027高三上学期朝阳期中数学测试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 斗拱是中国古建筑中特有的构件．清代《工程做法则例》规定，以斗拱的“斗口”为单位衡量建筑的构件大小，并将斗口按照宽度分为十一个等级：第一等、第二等、…、第十一等，其宽度（单位：寸）构成等差数列．已知第一等斗口宽度是第十一等斗口宽度的6倍，第二等斗口宽度与第六等斗口宽度之和为9寸，则第七等斗口宽度为（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 6. 已知数列是无穷数列，则“”是“存在常数M，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，角的终边顺时针旋转后与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，若点与点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 卫星接收模块需要用屏蔽层阻挡外部干扰信号．研究表明，干扰场强（单位：）随屏蔽层厚度（单位：mm）的增加呈指数衰减：，其中是入射到屏蔽层表面的初始干扰场强，（单位：mm）是屏蔽层材料在给定频率下的趋肤深度．在1GHz频率下，某屏蔽层材料的趋肤深度为0.2mm，现要求穿透屏蔽层的干扰场强不超过初始干扰场强的千分之一，则屏蔽层的最小厚度约为（ ） （参考数据：，） A. 0.60mm B. 0.93mm C. 1.16mm D. 1.38mm 9. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是一个直三棱柱的表面展开图，已知网格纸上小正方形的边长为1，点H，I，J分别为，，的中点．在该三棱柱中，设线段所在的直线为l，线段所在的直线为m，设线段所在的直线为n．下列结论中正确的是（ ） A. m与l异面 B. m与n相交 C. l与n夹角的余弦值为 D. l与m夹角的余弦值为 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 设向量，，若，则实数_______． 12. 已知公比为的等比数列满足且，则_______，使得成立的一个的取值为_______． 13. 已知，且，则的最小值为_______． 14. 如图所示的八面体由两个四棱锥拼接而成，其中四边形为正方形，，平面，，，则_______，三棱锥的体积为_______． 15. 已知函数的定义域为，对于正数，定义集合．给出下列四个结论： ①若是单调函数，则是空集； ②若是无穷集合，则1是的一个周期； ③设，若，均不为的正整数倍，则是空集； ④设若不是空集，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是_______． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 如图，多面体由一个长方体被平面所截而得，四边形是矩形，平面，，，，，点为的中点，点在线段上且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 设函数．已知的图象关于点对称． （1）求的值及的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为1，求实数的最小值． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，求证：． 20. 已知函数． （1）若，求的极值点； （2）若且在区间上单调递减，求的最大值； （3）若的最大值为1，求的取值集合． 21. 设A是如下形式的n行n列的数表： 其中位于第i行第j列的数记为，且集合.若对任意的，，，，当，时，均有，则数表A具有性质P. （1）若数表具有性质P，写出与的值； （2）当时，设数表A具有性质P，判断，，，，能否全为偶数，并说明理由； （3）若数表具有性质，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027高三上学期朝阳期中数学测试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得或,所以. 又,得. 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，所以，则，所以. 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数定义域关于原点对称、满足的性质，通过恒等式求解参数并验证. 【详解】由题知，且， 由函数是奇函数，函数的定义域关于原点对称，. 将代入得，， 满足函数是奇函数， . 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式分别代入与化简表达式，通过代数运算得到两者的和与差，结合的条件判断大小关系. 【详解】由题知，，， ，AB错误. ，，，， ，C正确. 5. 斗拱是中国古建筑中特有的构件．清代《工程做法则例》规定，以斗拱的“斗口”为单位衡量建筑的构件大小，并将斗口按照宽度分为十一个等级：第一等、第二等、…、第十一等，其宽度（单位：寸）构成等差数列．已知第一等斗口宽度是第十一等斗口宽度的6倍，第二等斗口宽度与第六等斗口宽度之和为9寸，则第七等斗口宽度为（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意建立等差数列模型，设出首项与公差，利用等差数列通项公式把题干文字条件转化为关于的方程组，通过解方程组求出基本量，再代入通项公式求出第7项即可. 【详解】设等差数列 ，首项 ，公差 ， ∴ ， ∴ ，即： 代入得：，解得， ， ∴. 6. 已知数列是无穷数列，则“”是“存在常数M，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在无穷数列中，由，得对，， 取常数，则对，； 反之，令，取常数，对，，而， 所以“”是“存在常数M，使得”的充分不必要条件. 7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，角的终边顺时针旋转后与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，若点与点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位圆上点的坐标表示、关于对称的点的坐标关系，结合三角恒等变换求解角的通式. 【详解】因为角的终边顺时针旋转后得到点的终边，对应角度为， 所以点坐标为： ，即； 因为 角的终边逆时针旋转后得到点的终边，对应角度为， 所以点坐标为： ； 因为点与点关于直线对称， 所以， 化简①得：，即 化简②得：，即， 所以，，解得. 8. 卫星接收模块需要用屏蔽层阻挡外部干扰信号．研究表明，干扰场强（单位：）随屏蔽层厚度（单位：mm）的增加呈指数衰减：，其中是入射到屏蔽层表面的初始干扰场强，（单位：mm）是屏蔽层材料在给定频率下的趋肤深度．在1GHz频率下，某屏蔽层材料的趋肤深度为0.2mm，现要求穿透屏蔽层的干扰场强不超过初始干扰场强的千分之一，则屏蔽层的最小厚度约为（ ） （参考数据：，） A. 0.60mm B. 0.93mm C. 1.16mm D. 1.38mm 【答案】D 【解析】 【分析】根据场强随厚度指数衰减的关系建立不等式，通过对数运算求解满足场强要求的最小屏蔽层厚度. 【详解】根据题意，穿透屏蔽层的干扰场强需满足不超过初始场强的千分之一，得到，即，因为，所以上述不等式等价于 已知材料的趋肤深度mm，代入后不等式为： 由于自然对数函数在上单调递增，对不等式两边同时取自然对数，得 ，即， 代入参考数据，计算得： mm 因此满足要求的屏蔽层最小厚度约为mm. 9. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式求出，再利用二倍角公式、和角的正弦公式及三角形面积公式求解. 【详解】在中，，由正弦定理得，则， 而，于是，整理得， 而，又为锐角，解得， ， 因此， 所以的面积. 10. 如图所示是一个直三棱柱的表面展开图，已知网格纸上小正方形的边长为1，点H，I，J分别为，，的中点．在该三棱柱中，设线段所在的直线为l，线段所在的直线为m，设线段所在的直线为n．下列结论中正确的是（ ） A. m与l异面 B. m与n相交 C. l与n夹角的余弦值为 D. l与m夹角的余弦值为 【答案】D 【解析】 【分析】将展开图还原为直三棱柱，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用共面向量定理和向量夹角公式计算即可． 【详解】 如图，将展开图还原为直三棱柱，以点A为原点，建立空间直角坐标系， 在底面中，，， 侧棱均垂直于底面，且长度为2， 则，，，，， 是中点，则；是中点，则；是中点即中点，则. 对于A：，，， 设，解得，，根据共面向量定理可知m与l共面，A错误. 对于B：直线m、n分别和直线共面，，，， 设，此时x、y无解，可知直线m、n是异面直线，无交点， B错误； 对于C：直线l的方向向量，直线n的方向向量， ，C错误； 对于D：直线l的方向向量，直线m的方向向量，，D正确. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 设向量，，若，则实数_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两向量和的坐标，再利用向量垂直的数量积为列方程，解出参数． 【详解】由，，得， 因为，所以， 解得． 12. 已知公比为的等比数列满足且，则_______，使得成立的一个的取值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 8（或9、10，任意一个符合要求的正整数均可） 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公比的方程，联立求解得到公比，再写出数列通项，通过不等式求解满足取值范围的值. 【详解】等比数列的通项公式为，其中，由等比数列定义可知，， 因为，所以， ，化简得：，即； 因为，所以 ，化简得：，即； 所以，，所以，即， 所以，即. 所以， 数列的通项为，， 要求，代入通项得不等式：  对不等式各项取倒数（不等号方向反转），得： ，  不等式各项同乘8，化简得： ， 因为，，，，， 所以，满足的幂次为，对应，即，任意一个取值均符合要求. 13. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，且满足， 则 ， 因此，故， ， 当且仅当，即时等式成立， 故的最小值为. 14. 如图所示的八面体由两个四棱锥拼接而成，其中四边形为正方形，，平面，，，则_______，三棱锥的体积为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 利用线面垂直的性质及勾股定理求解 的长；通过建立空间直角坐标系，利用向量法或等体积法求解三棱锥的体积. 【详解】 因为 平面 ，，所以 平面 ． 因为四边形 为正方形，，所以 ． 在 中，． 因为 平面 ，四边形 为正方形，所以 两两垂直． 以 为原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ． 则，，，，． 因为八面体由两个四棱锥拼接而成，所以点与点位于平面 的异侧． 又，，所以． 所以，，． 设平面的法向量为， 则， 取，得． 点到平面的距离． 又（为边长的等边三角形）． 所以三棱锥的体积． 15. 已知函数的定义域为，对于正数，定义集合．给出下列四个结论： ①若是单调函数，则是空集； ②若是无穷集合，则1是的一个周期； ③设，若，均不为的正整数倍，则是空集； ④设若不是空集，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据单调性定义判断①正确；举反例判断②错误；先求解和的元素形式，再通过赋值确定它们的交集不是空集判断③错误；根据题意结合函数图象列出等式，再分离参数，利用函数图象是否有交点求解即可判断④正确. 【详解】①若是上的单调函数，对任意，必有， 若单调递增，则恒成立； 若单调递减，则恒成立； 故不存在，因此是空集，故①正确； ②构造反例，令，此时，对于都成立，是无穷集合， 但是并不是周期函数，故②错误； ③设，故，此时， 又不为的正整数倍，故， 同理， 若是空集，则不存在， 令，而上式为，不满足题意，此时是两个集合的交集， 故不是空集，故③错误； ④设，根据函数图象的单调性可知， 若存在，则， 因此可写为， 令，， 方程变为，即， 令，，在上，单调递增， 故的值域为，存在解的条件是. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 如图，多面体由一个长方体被平面所截而得，四边形是矩形，平面，，，，，点为的中点，点在线段上且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 已知四点共面，则向量共面，且不共线， 则存在唯一实数对使得， 设，则， ， 故，解得，故， 点为的中点，点在线段上且， 故，， 设平面的法向量为，则， 令，则， ，则， 又平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先利用四点共面向量共面求出F坐标，再求出平面法向量，验证与法向量垂直且不在该平面内，证出线面平行； （2）求出平面与平面的法向量，套用面面夹角公式计算夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的法向量， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 设两平面夹角为，． 17. 在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①②时，三角形周长为；选择条件②③时，三角形周长为；选择条件①③时，三角形不存在。 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知边的等量关系转化为角的余弦值，结合同角三角函数的平方关系求解； （2）对三个条件的两两组合逐一验证，通过正、余弦定理判断三角形是否存在，对存在的三角形计算其三边长度之和即周长. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 将其代入已知条件，得， 由于三角形的边长，故，两边约去后可得，即， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系， 代入，得. 【小问2详解】 对三个条件的所有两两组合逐一分析： 情况一：选择条件①：；和条件②：； 因为，所以， 由正弦定理，得，解得，此时需验证的两种可能取值： 若，则， 即，，不满足三角形内角和为的要求，舍去； 若，则由，得， 此时，，满足三角形存在的条件， 再由余弦定理，得，解得， 因此该组合下三角形存在，周长为. 情况二：选择条件①：；和条件③：． 将代入得到，解得， 由正弦定理，得， 由于正弦函数的取值范围为，，矛盾，故该组合下三角形不存在. 情况三：选择条件②：和条件③：． 将代入条件③，得， 因为，，所以， 由正弦定理，得，解得， 此时需验证的两种可能取值： 若，则A为钝角，因，故，即B也为钝角， 此时，不满足三角形内角和为的要求，舍去； 若，则，，，满足三角形存在的条件， 再由余弦定理，得，解得， 因此该组合下三角形存在，周长为. 18. 设函数．已知的图象关于点对称． （1）求的值及的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为1，求实数的最小值． 【答案】（1），的最小正周期为； （2）实数的最小值为 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换化简，结合函数对称中心的性质求出参数，即可求解、最小正周期； （2）令， 由在区间上的最大值为1，即对所有，，且存在t使得等号成立，根据正弦函数的图像性质， 得到，得到即可求解实数的最小值. 【小问1详解】 ， 因为的图象关于点对称， 所以，即，得到， 所以，又因为，取，得， 所以，所以. 最小正周期. 【小问2详解】 当，令，则t的取值范围为， 因为在区间上的最大值为1，即对所有，有， 即，且存在t使得等号成立，故且, 故，所以实数的最小值为. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）当时，增区间是，，减区间是； 当时，增区间是，无减区间； 当时，增区间是，，减区间是. （3）令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，则 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，故， 要证，只需证，下证， 令，，， 当时，，，， 若，则，，此时无解，故； 当时，，则在上单调递增， ， 当时，令， ，所以在上单调递增， ，，故，，即， 在上递减，在上递增，， 将代入，得， 令，由，得，在上递增， ，所以，即， 综上，对任意，，即，得证. 【解析】 【分析】（1）使用导数的几何意义求解切线方程； （2）对分类讨论，通过导数分析函数单调性求解； （3）先证，将转化为，构造函数，通过导数求解. 【小问1详解】 ，，，，， 所以切线方程为：. 【小问2详解】 ，， 当时，，，，单调递增； ，，单调递减；，，单调递增； 当时，，，，单调递增； 当时，，，，单调递增； ，，单调递减；，，单调递增； 综上，当时，增区间是，，减区间是； 当时，增区间是，无减区间； 当时，增区间是，，减区间是. 【小问3详解】 略. 20. 已知函数． （1）若，求的极值点； （2）若且在区间上单调递减，求的最大值； （3）若的最大值为1，求的取值集合． 【答案】（1）的极大值点为，无极小值点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入化简函数，求导通过导数符号判断单调性，确定极值点类型； （2）将单调递减转化为导数恒小于等于0，分离参数a，构造函数并利用单调性求其最小值，得到a的上界； （3）先由最大值存在性得分母恒正，再将最大值条件转化为不等式恒成立，构造函数求其最大值，结合等号可取性确定a的唯一取值． 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，由得，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故是的极大值点，无极小值点． 【小问2详解】 单调递减等价于在上恒成立， 求导得，且时，，故， 则，整理得， 令， 求导得， 由得，，故，在上单调递增， ， 要使恒成立，则， 结合，得a的最大值为． 【小问3详解】 若存在最大值，则分母恒正，否则函数在分母零点附近趋向无穷， 无最大值，即， 由恒成立，结合，不等式等价于： ， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得最大值： ，故时，恒成立，即恒成立， 当时，处，可取得最大值，符合题意； 当时，，最大值小于，不符合题意； 因此a的取值集合为． 21. 设A是如下形式的n行n列的数表： 其中位于第i行第j列的数记为，且集合.若对任意的，，，，当，时，均有，则数表A具有性质P. （1）若数表具有性质P，写出与的值； （2）当时，设数表A具有性质P，判断，，，，能否全为偶数，并说明理由； （3）若数表具有性质，求的值. 【答案】（1）， （2）不能全为偶数．理由如下： 由题设知，当且时，有， 即． 假设全为偶数， 则为偶数且． 所以与奇偶性相同且． 因此集合中的奇数成对出现，其个数为偶数． 由假设，全为偶数， 从而集合中的奇数个数为偶数． 但集合，其中的奇数共13个，与集合中的奇数个数为偶数矛盾. 所以不能全为偶数. （3） 【解析】 【分析】（1）由性质先求出，再由数表总和求主对角线上的数之和，进而求出. （2）首先分析得集合中的奇数成对出现，其个数为偶数．再利用反证法即可证明； （3）设，再利用分组求和法即可得到答案. 【小问1详解】 由题给数表知. 由性质，取第1、3行和第1、3列，得，所以. 同理，取第1、2行和第1、2列，得；取第2、3行和第2、3列，得. 记.将上述三个等式相加，左边主对角线上的三个数各出现2次，右边其余六个数各出现1次. 题设的数表有9个位置，数值集合有9个元素，所以1到9各出现一次.因此，解得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设． 由题设知，对任意的，有，即． 所以． 又因为 ， 且， 所以． 所以． 设， 则 . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $