精品解析：陕西西安市第三中学2026-2027学年上学期九年级上学期期中数学试题

2026考练数学学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 5. 下列函数中，是二次函数的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，点，，，在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点F在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为________厘米． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 14. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_________． 15. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为____米. 16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 三、解答题（共8小题，计52分，解答应写出相应过程） 17. 解下列方程： （1）． （2）（用配方法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 19. 如图，在中，，平分，点，分别在上，且．当时，求的长． 20. 已知关于 x 的一元二次方程． （1）求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设是方程的两个根，当时，求的值． 21. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 22. 关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 23. 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B．已知球出手的位置A到地面的距离为，到篮圈中心B的水平距离为，篮圈中心B到地面的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线．求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度． 24. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026考练数学学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是一元二次方程，故选项符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义判断即可． 【详解】 的俯视图是 ． 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解，证明是等边三角形，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵，， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∴是等边三角形， ， ． 故选：A． 4. 一个多边形的边长分别为3，4，5，6，7，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为28，则这个多边形的最短边的长度为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质． 利用相似多边形对应边成比例的性质，通过最长边求比值，再求最短边． 【详解】解：∵两个多边形相似， ∴对应边成比例， 原多边形边长分别为3、4、5、6、7，最长边为7，最短边为3， 相似多边形最长边为28， 设比值为k， 则， ∴相似多边形最短边． 故选：C． 5. 下列函数中，是二次函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 6. 如图，点，，，在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由网格知，即可得，即可得到，再由勾股定理解三角形确定，即可求解． 【详解】解：由网格可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项，  故选：D ． 8. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 9. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；直接计算点A和点B的纵坐标和的表达式，利用b的范围比较它们与6的大小关系以及和的大小关系即可． 【详解】解：把点，分别代入抛物线得， ，， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点F在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点E和点A分别位于两侧，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； 【详解】解：①∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故结论②正确； ③∵， ∴，即， 故结论③正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为． 12. 在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 13. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 14. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线解析式为的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知其中一个交点为， 两个交点的横坐标的平均值等于对称轴的横坐标， 设另一个交点的横坐标为， 则， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 15. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为____米. 【答案】10 【解析】 【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长. 【详解】解：如图， 过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形， ∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米， 由题意可得：， ∴AE=8(米)， ∴AB=AE+BE=8+2=10(米). 故答案为10. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于做辅助线构建直角三角形. 16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 三、解答题（共8小题，计52分，解答应写出相应过程） 17. 解下列方程： （1）． （2）（用配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：或. 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，. 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求，． 【解析】 【分析】（1）分别作出点、、关于轴对称的点、、的坐标，再顺次连接即可； （2）将点、、的横纵坐标分别乘以即可得到点、、的坐标，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，平分，点，分别在上，且．当时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，则可证明，由平行线分线段成比例性质可得，求出即可得到答案． 【详解】解：，平分， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 20. 已知关于 x 的一元二次方程． （1）求证：无论 a 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设是方程的两个根，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴． 21. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 22. 关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 【答案】塔高约为米． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：（米）， ， ， ， ， ， 米， （米）， ， 解得：（米）， 答：塔高约为米． 23. 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B．已知球出手的位置A到地面的距离为，到篮圈中心B的水平距离为，篮圈中心B到地面的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线．求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度． 【答案】 ，最大高度为． 【解析】 【分析】先根据图像信息确定A、B两点坐标，代入抛物线得到二元一次方程组，求解出，得到抛物线表达式；该抛物线顶点在轴，时值就是最大高度． 【详解】解：由图得：，即， ∵抛物线过， ， ∴， 解得， ∴抛物线表达式： ， ， ∴抛物线顶点在处，，即最大高度为． 24. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90 （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $