专题1.3 三角函数的应用（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级下册

专题1.3 三角函数的应用 教学目标 1.认识仰角、俯角，读懂仰角、俯角实际情境图，利用三角函数解决简单的测高问题。 2.认识方位角，利用方位角和三角函数解决简单的距离问题。 3.认识坡角、坡度（坡比），能运用相关知识解决的堤坝等问题。 4.了解计算结果精确度要求，能按要求取近似值，并解释结果的实际意义。 5.在利用计算器计算、解决测量问题的过程中，体会工具在数学中的作用；经历把仰角俯角、方位角、坡角问题抽象为直角三角形模型的过程，发展几何直观。 6.通过例题对比，学会根据条件合理选择 (sinα、cosα、tanα)，提升运算能力。 7.感受三角函数在测量中的实用价值，养成规范运算、合理近似的习惯；发展模型观念、运算能力、应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）理解仰角、俯角概念，能建立直角三角形模型，借助三角函数解决简单测高问题。 （2）理解方位角概念，能建立直角三角形模型，借助三角函数解决简单距离问题。 2.难点 （1）准确区分坡角、坡度（坡比）等概念。 （2）在仰角俯角问题中，准确找准直角三角形、对应边角，区分仰角和俯角，正确画图建模。 知识点01 三角函数的应用 1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，如图1。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图1。 图1 图2 图3 2．坡度和坡角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），如图2，记作i=。 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图2，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡。 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，如图3。 4．解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。 注意： 1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。 2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 【即学即练】 1．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高；(2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米），即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，，∴四边形是矩形，∴米，米， ∵斜坡的坡度，∴（米）， ∵坡角，，米，∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 2．（2026·山西阳泉·三模）我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港的北偏东方向，距离点250海里的处．一艘渔船在处模拟遇险，处位于海港的北偏东方向，同时位于处的南偏东方向上，此时，渔政巡逻船以24海里/时的速度前往处，求渔政巡逻船大约多长时间到达处（结果精确到0.1时．参考数据：，，，）． 【答案】渔政巡逻船大约5.3时到达C处 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，．设海里， 在中，，，，． 在中，，，，， ，．，，．解得． ．（时）．所以渔政巡逻船大约5.3时到达C处． 3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，，在中，，， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∵，∴， 解得即这座塔的高度为． 4．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______；(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号）；(3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为___米；②山顶点处的垂直高度是___米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1)(2)千米(3)①米；②约米(4)米 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向，∴在的南偏东方向，∴， ∴，∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，，∴， ．在中，，，∴， ∴，∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟，∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为，∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米，∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则，∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米，∴（米）． 由塔顶的俯角为得：， ∴，∴，∴塔高为米． 5．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）．（参考值：，，） 【答案】(1)20(2) 【详解】（1）解：由题意可知：在中，，． ，，，； （2）解：过点A作于点M．在中，，， ，， ，． 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2026·山东聊城·模拟预测）某校数学应用实践小组为了测量某楼房上信号塔的高度，做了如下的探索： 实践一：利用皮尺和测角仪测量楼房的高度．设计如图的测量方案：从点测得信号塔底端即楼房顶端 的仰角为，再用皮尺量得点与楼房底部的距离为米即米． 实践二：测量的高度点、、在一条直线上．提供选用的测量工具有：Ⅰ．皮尺一根；Ⅱ．长为米的标杆一根；Ⅲ．小平面镜大小忽略不计． 实践结论：信号塔的高度：． (1)根据实践一，请计算出楼房的高度参考数据：，测角仪高度忽略不计； (2)请根据实践二提供的测量工具，选出你所需的工具，设计一种测量方案，回答下列问题： ①在你设计的方案中，选用的测量工具是______用工具的序号填写，并画出测量方案示意图； ②你需要测得示意图中的哪些数据，并用所测数据表示出的高度用、等表示测得线段的长度． 【答案】(1)楼房的高度约为米 (2)①Ⅰ．皮尺一根；Ⅲ．小平面镜； 测量方案示意图如图： ②用皮尺测得米，米，的高度为米 【详解】（1）根据题意可知：，米， 米； 答：楼房的高度约为米； （2）①选用的测量工具是：Ⅰ．皮尺一根；Ⅲ．小平面镜， 测量方案示意图略 ②用皮尺测得米，米，米，  答：的高度为米． 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度；(2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米；(2)风叶的长为49米． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ，米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为，， ∴四边形为矩形，，， ，，，， ，， ，，， ，解得，米．答：风叶的长为49米． 【变式2】（2026·贵州黔南·一模）如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 【答案】(1)；；(2)． 【详解】（1）解：在中，，， 所以是等腰直角三角形，因此，在中，，， 根据正切函数的定义，即， ，综上：；； （2）解：由题意可知，将，代入得： 通分得到：，化简得：，解得，答：观景台的高度约为． 【变式3】（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米；(2)计算大剧院的高度（）． 【答案】(1)60(2)51.75米 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米），即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得，∴四边形为矩形， ∴米，米，∴米． ∵在中，，∴（米）， ∴（米）．即大剧院的高度为米． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案】(1)；；(2)该塔高度约为 (3)①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【详解】（1）解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，，∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴，解得，∴， 在中，， ∴．答：该塔高度约为． （3）略 题型02 坡度坡比问题 【典例1】（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【详解】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得：，∴，∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米）∴米． 在中，米，，（米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 【变式1】（26-27九年级上·广东·期中）如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积．(2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【答案】(1)加宽部分横断面的面积为平方米(2)完成这一工程需要立方米的土 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则． ∵，则，∴四边形是矩形，∴， 根据题意得：，在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； （2）解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 【变式2】（2026·海南省直辖县级单位·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角；(2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 【答案】(1) (2)解：需要拆除．理由如下：如图，过点C作的延长线于点D， ∵坡面的坡度为，∴，∵新坡面的坡度为，∴， ∴米，∴米，∴， ∴原天桥底部正前方7米处（的长）的文化墙需要拆除． 【详解】（1）解：如图，过点C作的延长线于点D， ∵新坡面的坡度为，∴，∴． （2）略 【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，一儿童游乐场滑道的坡角为（即），从安全角度考虑要降低坡角，变成新滑道．小明实地测量后得到点到水平地面的垂直距离为4.8米，也为4.8米．(1)求修改后的滑道的坡角比修改前滑道的坡角减缓了多少度；(2)求修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】(1)(2)0.8米 【详解】（1）解：，在中，， ，． 答：修改后的滑道的坡角比修改前的滑道的坡角减缓了； （2）解：在中，， 故．故（米）． 答：修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离约为0.8米． 题型03 方向角问题 【典例1】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米．(2)会合时小王一共走了千米． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向，∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米），（千米）． ∵，，，∴， ∴四边形为矩形，∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北，∴． 在Rt中，，∴， ∴（千米）．∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为，∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，，∴． 在Rt中，，∴． ∴，即，整理，得，解得，． ∵，∴． ∵，∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处，∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴，∵处在南偏东方向上，，∴在的北偏西方向， ∴，∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴，∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北， ，， 、、三点共线，海里， 海里，海里， 海里， 海里，海里， 走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时． 【变式3】（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米(2)865.6米 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ，，步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，．在中，， 围栏长度为：（米） 【变式4】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离；(2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由题意得：，，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则，， 在中，，，化简得， 解得：，．当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 题型04 坡度（坡比）与仰角俯角综合问题 【典例1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）综合实践 主题 校园文化建筑测绘实践 实验背景 某学校面对校门的孔子雕像是该校校园的一项重要的文化景观．为了解雕像的高度和周围环境的设计特点，该校九年级的数学兴趣小组的四名同学利用测角仪等测量仪器开展了实地测量．    实地测量 甲同学站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，乙同学站在雕像前方某处台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，丙同学测得甲乙两人的水平距离为，丁同学测得雕像前的台阶斜坡的坡比为．    注意事项 测量过程中确保雕像底端、点、以及台阶坡脚点在同一水平线上，且、、三点共线，点在台阶斜坡顶端． 解决问题：参考数据：，， (1)计算台阶的高度．(2)求出孔子雕像的高度． 【答案】(1)台阶的高度为；(2)孔子雕像的高度约． 【详解】（1）解：台阶斜坡的坡比为，为， ，即台阶的高度为； （2）解：如图所示，作于，由题意得，四边形是矩形， ，，设，则， 在中，，∴， ， ，即，解得，经检验，是原方程的解． 答：孔子雕像的高度约． 【变式1】（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度；(2)求索塔的高度． 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵，∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形，∴，米， ∵斜面的坡度，∴， ∴（米），∴米，∴米． 【变式2】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为米，登山者需由山底处先步行米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点在同一平面内，于点，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平线的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度；(2)若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要分钟，换乘登山缆车的时间忽略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴； （2）解：∵小亮步行速度为， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∵，，∴， ∴缆车的速度约为：． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． (1)根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，）；(2)已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 【答案】(1)文峰塔的高度约为(2)，原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 如图，过点N作于点P， 在中，，， ，， 在中，，，， 在中，，即，解得． 答：文峰塔的高度AB约为． （2）解：， 原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 【变式4】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形，在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴，∴． 题型05 三角函数实际应用之跨学科融合 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）【活动背景】如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； ③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处； ④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．） 【问题解决】测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，．(1)_________；点到点的距离为_________． (2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到） 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：如图，过点作水平线，作，垂足为，交于点． ，．由题意无人机显示距离水平地面高度为15m，． ，． ，根据光的反射定律，反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角， ．同理，，． ，． 在中，，，， ，． 是的外角，， ，． （2）解：由光的反射定律可知， ，． ，， ，即是的平分线．，． 在中，，，，． ，． 答：土坑的深度约为． 【变式1】（2026·安徽·二模）无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 【答案】264 【详解】解：由题意可知，，，，，． ，，，． ，． ，，， 在中，， 在中，，． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图2，， ，入射角约为． （2）解：如图2，作于点， 在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率，光线从空气射入水中的折射率． 【变式3】（2026·山西太原·三模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 【答案】观景台的高度约为 【详解】解：连接并延长交于点，如图， 由题意可知四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴；； 由光的反射定律可知点处观察点的仰角； 点处观察点的仰角； 设， 在中，，； ； 在中，，；， ；； 解得 ． ； 答：观景台的高度约为． 题型06 三角函数的实际应用之数学文化 【典例1】（26-27九年级上·重庆·单元复习）赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，她进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角是，，米． 【数据应用】晷针，晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题：(1)求该晷针北极端的长度；（结果精确到） (2)求晷针的针尖到地面的垂直高度．（结果精确到）（参考数据，，，，，） 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：如图，过点作于点，∵，∴， 又∵，∴四边形为矩形，∴米， 在中，（米）， 答：该晷针北极端的长度约为米． （2）解：如图，由（1）得，∴， ∵，∴在中，， ∵（米），∴（米）， 答：晷针的针尖到地面的垂直高度约为米． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角．解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） (1)已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； (2)根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 【答案】(1)仪门的高度约为(2)秋分正午时，仪门的正午影长约为 【详解】（1）解：由题意得：冬至时，正午影长，，， ∴在中，， 答：仪门的高度约为． （2）解：由题意得：冬至时，正午影长；夏至时，正午影长为的长， 由（1）可知，， ∵在中，，，∴， ∵秋分时，正午影长恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值， ∴，答：秋分正午时，仪门的正午影长约为． 【变式2】（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，，∴，， 设米，则米，米， 在中，，，，∴， 在中，，，∴， ∴，解得，∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【变式3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ，． 在中，，，． ，． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ．由题可知． 在中，，，， ．琴码垫高的高度为． 题型07 三角函数的实际应用之视线遮挡问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含α的代数式表示仰角β． (2)如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)(2)米 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵，∴∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米，在中，，∴（米）， 在中，，∴（米）， ∵，∴解得： ∴米， ∴米， ∴大楼的高度为米． 【变式1】（2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． (1)求盲区中线段的长． (2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)盲区中线段的长约为 (2)解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下：如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形，， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， ，驾驶员不能看到障碍物． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略 【变式2】（2026·安徽合肥·二模）某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示：    数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】校徽的长度约为米． 【详解】解：，，，又，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形，（米）， 在中，，（米）， ，，，又，四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，（米）， 在中，，（米）， （米）， 答：校徽的长度约为米． 【变式3】如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度；(2)求的长度． 【答案】(1)的长度为(2)的长度为 【详解】（1）解：在中，，， 则，答：的长度为； （2）解：∵，，．∴， ∴四边形是矩形，∴， 在中，，则，答：的长度为． 题型08 三角函数的实际应用之测量河宽或距离 【典例1】（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵，∴在中，， 在中，，∵，， ∴，解得，∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵∴，，∴， ∵，，，∴，解得， ∴，答：这段河道的宽度为． 【变式1】（2026·广东清远·三模）党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度．(2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 【答案】(1)选择方案一：由题意可知为直角三角形，， ∴，∴，即河流宽度为； 选择方案二：由题意可知， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，即河流宽度为； (2)如图，观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上．示意图如下：只需要测量出的长度就能推出河宽． ∵O是中点，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（2026·山西阳泉·三模）问题情境： 汾河是黄河的第二大支流．汾河景区内的河面宽度在至左右，景区北起上兰漫水桥，南至迎宾桥南，全长．汾河的宽度在不同河段有所不同． 测量计算：如图，某河段的汾河两岸互相平行．甲、乙两同学分别站在河东岸的A，B处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端C在A处的北偏西的方向上，乙同学测得该建筑物另一端D在B处的南偏西的方向上．已知A，B两点相距，图中各点均在同一平面内，点A，B在同一条直线上，测得景观建筑物两端点C，D之间的距离为，求此段汾河的河宽．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】此段汾河的宽约为 【详解】解：如图，分别过点C，D作，，垂足分别为F，E， 则，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，， 设，在中，，， ∴， 在中，，，∴， ∵，∴，解得， 答：此段汾河的宽约为． 【变式3】（2026·西藏·中考真题）某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【详解】解：∵，∴，∵， ∴（米）． ∵，∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 题型09 三角函数的实际应用之旗杆或塔高测量 【典例1】（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得：，，，，， ∴，在中，，， ∴，∵，∴， 在中，∵,，∴， ∴答：高层大楼的高度约为． 【变式1】（2025·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题：(1)表格中的值为____；(2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 【答案】(1)；(2)这棵古树的高度约为． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：由题意可知，，，， ∴四边形和四边形均为矩形，∴，， 设，则， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，解得，∴， ∴，∴这棵古树的高度约为． 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】1．在点处测得的仰角为；2．在点处测得的仰角为；3．；4．斜坡的坡角为．请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为，∴，∵，， 在中，，∴， 在中，，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴， 即大树的高度为． 【变式3】（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米(2)烟花燃放的高度属实 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：，设，则， ∴，∴，∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形，由（1）知米， 米，米，米， 又，．． 在中，，， ∵．．     （米）．． 答：烟花燃放的高度属实． 题型10 三角函数的实际应用之实物建模问题 【典例1】（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15(2) 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵，∴,在中，， ∴∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ，∵,∴， ∵，∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 【变式1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】 【详解】解：过C作于F，过D作于G，于H， 则四边形是矩形，∴，在中，，， ∴，，∵，∴， ∵C是的中点，，∴， 在中，， ∴，即点D到的距离为． 【变式2】（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，，四边形是矩形， 米，米． ，米． （2）解：如图，过点作的延长线于点，， ，，米，米， 米，米． 【变式3】（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 (2)线段的长度约为 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴，， 在中，，， ∵，∴， ，，∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图，过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形∴，由（1）可知，四边形是矩形， ∴，∴，∴， 在中，，，∴， ∴，，， ∵∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，，， 答：线段的长度约为． 题型11 方案设计问题 【典例1】（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决，根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ．(2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)；200 (3)方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米，在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵，∴方案二的救生员最先到达点． 【详解】（1）解：，． （2）解：根据题意可知：米，由（1）知， 在中，，即， 解得：米， 在中，，即， 解得：米，∴米． （3）略 【变式1】（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程：过点作，则， ∵在中，，，∴，， ∴，∵在中，， ∴．答：，两岛间的距离为． 【详解】解：（1）∵，， ∴，由题意得，， 又∵，∴， 答：，两岛间的距离为． （2）略 【变式2】（2026·广东·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米 【详解】解：选择方案一：在中，有； 在中，有， 即：，， （米）； 选择方案二：在中，有； 在中，有， 即，，（米）； 答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 【答案】任务1：15； 【详解】解：任务1：探寻边角，作于， ，，四边形是矩形， ，，， ，，故答案为：15，； 任务2：应用实践 设与相交于点，正方形的边长为， ， ，， 在中， ，，， ，解得；∴正方形的边长为；设正方形边长为， ∵正方形，∴，，， 在中，，则， 在中，，则， ，解得，∴正方形边长为； ∵∴正方形的边长大于正方形边长. 1．（2026·河南平顶山·二模）贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 【答案】该河段贾鲁河的宽度约为28米 【详解】解：过点作于点，如图所示． 由题意，可知米．设米． 在中，∵，∴米． 在中，∵，∴． ∵，∴，解得． 答：该河段贾鲁河的宽度约为28米． 2．（2026·湖南益阳·二模）我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）；(2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则，， 在中，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴四边形是矩形，∴，在中，， 则，∴，∴； （2）解：过点作交于点，交于点，交于点，则， 由（1）可知， ，则四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，是一款可调节高度和角度的阅读支架．调整到如图2所示位置，立柱垂直于桌面，测得，，面板与水平方向夹角．（参考数据：，） (1)求点到的距离；(2)根据《青少年近视防控指南》要求，看书应保证“一拳一尺一寸”的正确姿势，其中眼睛与面板的距离至少保持一尺（约）．若坐在距点左侧处，眼睛平视面板中点．试判断用眼距离是否符合标准． 【答案】(1)(2)用眼距离不符合标准 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，交于点， 在中，，，， ∵，，∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴点到的距离为：； （2）解：如图，设中点为，过点作交于点， ，在中：， 眼睛到面板中点的距离为：， ，∴用眼距离不符合标准． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）项目课题：在不过河的前提下，测量河对岸两棵树之间的距离（与河岸平行）． 方案设计 方案一：如图①，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，； 方案二：如图②，某同学提出可以构造全等三角形，利用全等三角形的方法测量两棵树之间的距离． 问题解决(1)请根据方案一的设计，计算出两棵树之间的距离．（参考数据：，，）；(2)你同意方案二的设计吗?请说明理由． 【答案】(1)(2)我不同意方案二的设计，理由见解析 【详解】（1）解：过点作于．，， ，四边形是矩形；， ，，在中，； ，， 在中，；； （2）解：我不同意方案二的设计，理由如下： ∵利用皮尺可以测量出、、的长度，但无法测量、的长度 ∴不能证明与全等∴不能利用三角形全等的方法测量两棵树之间的距离. 5．（2026·河南商丘·模拟预测）图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢为矩形，对角线，交于点，车架大梁与地面平行，且点与地面的距离，卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点与对角线交点的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线为．假设该车在水平地面上进行卸货作业，． (1)求的长；(2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由．（参考数据：，，） 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点与地面的距离时，会发生车辆倾覆事故． 【答案】(1)(2)不会，理由见解析 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，∴． （2）解：如图，过点作于点，即为题目中的安全轴距，∴， 在中，，∴， ∵，，∴，即安全轴距大于点与地面的距离， ∴该四轮车不会发生倾覆事故． 6．（2026·山西晋中·二模）某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究 项目背景 夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．） 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容及示意 活动一：利用不同时刻的影长求树高 实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米…    活动二：利用树影计算休息区的长度 实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘．    请根据活动报告计算：(1)求活动一中树的高度．(2)求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）解：根据题意得：， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵米，∴， 即，解得：米，答：树的高度为米； （2）解：根据题意得：米，，，，∴， 在中，，∴（米）， 在中，，∴（米）， ∴（米），答：需要新增的休息区长度为米． 7．（2026·山西大同·三模）大型雕塑《力量》位于太原市五一广场南广场，于2022年3月3日落成，以“伟大的开端”为主题，以太行山与吕梁山为背景，通过105个历史人物群像再现八路军三大主力师东渡黄河及民众支前场景，展现中国共产党领导下山西军民共筑抗日统一战线的历史画卷．某数学小组利用课余时间对该雕塑的高度进行了测量．    活动主题 测量雕塑的高度 测量工具的制作 自制测高仪：将两根的木棍按如图所示的方式钉在一起，其中，点A，C处用橡皮筋连接，在上标出刻度，可在上滑动，且保持．在A处用细线挂一个小铁球，测量时，点B落在细线上，调整点D的位置，使得点C，A与被测量物体在一个平面内． 测量方案 如图1，分别站在雕塑的两侧进行测量，在雕塑的右侧处，点C与点E重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时测量工具的示意图如图2，记下的长度h；在雕塑的左侧处，点C与点G重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时点D恰好为的中点，如图3． 测量数据 ，，． 备注 点P，Q，E，F，G，H均在同一平面内，点H，Q，F在同一水平线上． 请根据上述数据求出雕塑的高度． 【答案】 【详解】解：如图所示：设交于点M，    根据题意得：图2中，图3中， ∵图2中，，∴， ∵图3中点D恰好为的中点，，∴， 设，∴，，∴， ∵，∴，解得：， 根据题意得四边形为矩形，∴∴． 8．（2026·吉林延边·二模）某同学在数学实践活动中做了如下探究： (1)探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪． 操作过程：如图①，将量角器底边水平放置，在量角器圆心处设计了和半径等长的旋转杆，使的外端点始终在量角器的圆周上，在点处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边的交点（垂足）为点． 经测量可知，，则_____，______； (2)探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料． 操作过程：如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，已知绳子总长为，该绳自然下垂时两端恰好落在地面；如图③，在（1）的条件下，定滑轮固定点为点（定滑轮半径忽略不计），在绳子的一端点处挂上装修材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点，走到距离定滑轮正下方水平距离的位置，即，拉起的绳子与水平线的夹角与图①中相等，求工人师傅将装修材料从地面点处提升到点处上升了多少米． 【答案】(1)，；(2)工人师傅将装修材料从点C处提升到点D处上升了3米． 【详解】（1）解：∴ ．在中，，， 由勾股定理，得 根据三角函数的定义： （2）解：如图，由题意得，，， ，四边形是矩形， 由题意得，，， 在中，，，， ， ． 9．（2026·河南开封·二模）为提升学生午休舒适度，某校配备了可调节靠背的午休课桌椅．下图①为该套课桌椅躺睡模式实物图，其侧面结构可抽象为如图②所示的几何模型（材料厚度忽略不计），椅子的椅面与地面平行，椅腿垂直于地面，，当椅背最高点P距离地面为时，椅面与椅背的夹角．研究表明，当时，学生脊柱更接近自然舒展状态，午休更舒适．若教室空间足够的情况下，请求出椅背最高点P与地面的距离在什么范围内时，学生午休更舒适．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】椅背最高点P与地面的距离范围是大于等于小于等于 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，，，即，∴四边形为矩形， ∴， ∴，∴， 当时，，∴为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得； 当时，， ∴，∴； 当时，， ∴，∴； ∴椅背最高点P与地面的距离范围是大于等于小于等于． 10．（2026·河北邯郸·一模）图1是《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具——“碓”的结构示意图，图2是当碓抬起到最高处的平面示意图，测得，已知于点B，（地面），垂足为E，（地面），垂足为F，，，图中所有的点均在同一平面．珍珍过点A作，垂足为点G，请结合她的思路解决下列问题． (1)求证：；(2)求的长．（参考数据：取0.33，取0.95，取0.34） 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，， ，四边形为矩形，， 又，，又，， 在和中，，； （2）解：四边形为矩形，，， ，，， 在中，，， ，即的长为 1．（2026·重庆·三模）如图，，是两个港口，，是两座小岛，A，B，C，D四点位于同一水平面．点在点的正东方向．点在点的正北方向2千米处，点在点的北偏西方向6千米处，且在点的北偏东方向．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)某海上救援中心接到求救信号，救援快艇从港匀速出发，沿的航线前往岛执行任务；同时，遇险船只从岛出发，沿线段匀速驶向岛避风．已知救援快艇的速度是遇险船只速度的2倍，且救援快艇上的雷达只有在与遇险船只的距离不超过3千米时，才能准确锁定目标．遇险船只从岛出发后，航行多少千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只?（结果精确到千米） 【答案】(1)（千米）(2)千米 【详解】（1）解：延长、，二者交于点F，过点D作于点E，如图， 根据题意有：，，，，， ∴，∴， ∵，∴在中，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴（千米）， 答：求的长度为千米； （2）当快艇处于点M、遇险船处在N点时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只，即， 过点M作于点G，如图，根据速度比可知：， ∴，， ∵，∴在中，，， ∵， ∴， ∵在中，，∴， 解得：（千米），（，不符合题意舍去）， 答：遇险船只从岛出发后，航行千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只． 2．（2026·重庆·二模）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）；(2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 【答案】(1)海里(2)甲与的距离约为海里 【详解】（1）解：由题意可知：海里， 过作交于点，则四边形是矩形，∴， ∵在北偏东方向，∴， 在中，海里，∴海里， 在中，，，∴， 过作于，在中，海里， 在中，，∴海里，即与之间的距离为海里； （2）解：设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里， ∵甲乙速度相等，∴乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为， ∴乙与的距离， 由方向可知：在的南偏西，在的南偏东，∴， 当海里时，过作，交的延长线于，则， 在中： ，∴， 由勾股定理，即， 展开整理得：，解得：， 出发时甲乙距离为，随着行走距离增大，距离先减小后增大，首次相距海里对应较小的根：， 即此时甲与的距离约为海里． 3．（2026·河南周口·模拟预测）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． (1)根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，）(2)已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 【答案】(1)文峰塔的高度约为 (2)，原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 如图，过点N作于点P，在中，，， ，， 在中，，，， 在中，，即，解得． 答：文峰塔的高度AB约为． （2）解：，原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)的长是10米； (2)不同意，理由如下： 作的垂直平分线交于K，交EF于点I，分别延长与交于点L， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米，自动扶梯的坡度是，， ∵，，，，， ，， ∵，，点I不是自动扶梯上的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得，，，米，则， 设，则，，∵点H恰好是屏幕的最佳视野点，， ，解得：舍去，，米， 米，的长是10米； （2）略 5．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______.(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示①点到点之间的水平距离为______米；②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1)(2)千米(3)①米；②约米(4)米 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向，∴在的南偏东方向，∴， ∴，∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，，∴， ．在中，，， ∴，∴，∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟，∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为，∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米，∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则；，∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米，∴（米）． 由塔顶的俯角为得：；， ∴，∴， ∴塔高为米． 6．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：，，； (2)米．(3)米；(4) 【详解】（1）略 （2）解：，四边形是矩形， 米，米， 在中，，， （米），（米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米，米， 四边形是矩形，，米， ，米，设米， 在中，，米， 在中，，（米）， ，，，即米， 米，答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，，设， 在和中，，， ，，解得：，即， ． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）问题提出 (1)如图1，在四边形中，，为对角线，，，，求四边形的面积； 问题解决(2)近年来，我国在航天、深海、人工智能等关键领域的科技进步，让世界对中国刮目相看．为了激发青少年的科创精神，某中学计划在校园的一块空地开设科创区．如图2，该空地的形状为四边形，且，，，．按照设计方案，在该空地的边上确定点M，N，使得，连接后所形成的区域设置为科技体验区，将五边形区域设置为观摩区，经调查，学生希望观摩区的面积尽可能小，请问观摩区的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在， 【详解】（1）解：∵，，，∴． ∵，．∴，， ∴四边形的面积 ； （2）解：存在． 如图，连接，过点A作于点E，过点D作于点F，过点M作于点G， ∵在四边形中，，，∴． ∵，∴，∴， ． ∵，∴ ，∴四边形是矩形， ∴，，，∴ ． ∴，，设 ， ∴ ， ，∴． ∵，∴． ∵四边形的面积是定值，要使五边形的面积最小，只需要的面积最大， ∵，∴面积最大为， ∴，∴观摩区的面积的最小值为． 8．（2026·河北廊坊·二模）太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定．若太阳光线与水平线所成夹角．（结果保留整数．参考数据，，，，，， ）。(1)求的度数及的长；(2)在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 【答案】(1)，(2)斜坡面上最多可以放块电池板 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，，，， 在中， ，∴ ； （2）如图，过点作交的延长线于点， 由（1）得，为等腰直角三角形，由（1）得， ∴， 在中，，， ， ， 电池板的块数是整数，斜坡面上最多可以放块电池板． 9．（2026·山西吕梁·二模）跨学科活动 日晷是古代利用日影计时的仪器，通常由晷针（铜制的指针）、晷面（石制的带有刻度的圆盘）及底座组成，用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻．某数学兴趣小组的同学围绕“日晷构造的调研与计算”开展跨学科学习活动，并形成如下活动报告． 活动主题 日晷构造的调研与计算 调查方式 查阅资料、实地查看了解 调查过程 日晷 实物图 如图1，晷面安放在长方体底座上，与赤道平行，晷针垂直穿过晷面中心，与地轴平行，上端指向北极，下端指向南极．其放置示意图如图2所示． 放置 示意图 如图2，日晷底座与地球截面所在相切于点，点处的纬度为，即，晷面赤道，且与底座的倾角为，晷针平行于地轴（日晷底座及晷面厚度均忽略不计）． 截面 示意图 如图3是经过晷面中心点的截面示意图，晷面上下表面所在直线，上端侧面所在直线，底座上表面所在直线地面，测得，晷面截面厚度，底座高度为． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，完成下列计算：(1)在图2中计算日晷晷面与底座的倾角的度数； (2)结合（1）中所得的度数，在图3中计算晷面最高点H到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)日晷晷面与底座的倾角的度数为 (2)点H到地面的距离为 【详解】（1）解：∵与相切于点C，∴，即， ∵，∴，∴，∴．答：日晷晷面与底座的倾角的度数为． （2）如图，过点F作于点M．过点H作，垂足为点N．则． ∵，∴，∴， 在中，∵，∴，∴， 在中，∵，，∴， 在中，∵，，∴， ∵底座高度为，∴点H到地面的距离． 答：点H到地面的距离为． 10．【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴，∴， 设，∴，∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，，∵，设，则， ∴，∴，∴，∴， 如图，在中，，设，， 在上截取，∴，， ∵，∴设，则，设， ∴，解得：，∴，∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵，∴，同理：， ∵，，，设，， ∴，，，， ∴，解得：，∴，， ∴，∴，解得：， ∴，即树的高度为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 三角函数的应用 教学目标 1.认识仰角、俯角，读懂仰角、俯角实际情境图，利用三角函数解决简单的测高问题。 2.认识方位角，利用方位角和三角函数解决简单的距离问题。 3.认识坡角、坡度（坡比），能运用相关知识解决的堤坝等问题。 4.了解计算结果精确度要求，能按要求取近似值，并解释结果的实际意义。 5.在利用计算器计算、解决测量问题的过程中，体会工具在数学中的作用；经历把仰角俯角、方位角、坡角问题抽象为直角三角形模型的过程，发展几何直观。 6.通过例题对比，学会根据条件合理选择 (sinα、cosα、tanα)，提升运算能力。 7.感受三角函数在测量中的实用价值，养成规范运算、合理近似的习惯；发展模型观念、运算能力、应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）理解仰角、俯角概念，能建立直角三角形模型，借助三角函数解决简单测高问题。 （2）理解方位角概念，能建立直角三角形模型，借助三角函数解决简单距离问题。 2.难点 （1）准确区分坡角、坡度（坡比）等概念。 （2）在仰角俯角问题中，准确找准直角三角形、对应边角，区分仰角和俯角，正确画图建模。 知识点01 三角函数的应用1．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，如图1。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图1。 图1 图2 图3 2．坡度和坡角 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），如图2，记作i=。 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图2，记作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡。 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，如图3。 4．解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。 注意： 1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。 2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 【即学即练】 1．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高；(2)求水库坝底宽的长． 2．（2026·山西阳泉·三模）我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港的北偏东方向，距离点250海里的处．一艘渔船在处模拟遇险，处位于海港的北偏东方向，同时位于处的南偏东方向上，此时，渔政巡逻船以24海里/时的速度前往处，求渔政巡逻船大约多长时间到达处（结果精确到0.1时．参考数据：，，，）． 3．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 4．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______；(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号）；(3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为___米；②山顶点处的垂直高度是___米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 5．（2026·浙江台州·三模）某款多功能可折叠桌面，如图是其侧面横截面图，底座的长度为，为可旋转的定长支架，为可旋转桌面，其长度为，点C为旋转支点，． (1)如图1是阅读模式，此时B与D、E在同一直线上，且E恰好在点A正上方（即），桌面的倾斜角（）约为，求支架的长度． (2)如图2是画架模式，此时D与A、B在同一直线上，若约为，求此时桌面的倾斜度（即的正切值）．（参考值：，，） 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2026·山东聊城·模拟预测）某校数学应用实践小组为了测量某楼房上信号塔的高度，做了如下的探索： 实践一：利用皮尺和测角仪测量楼房的高度．设计如图的测量方案：从点测得信号塔底端即楼房顶端 的仰角为，再用皮尺量得点与楼房底部的距离为米即米． 实践二：测量的高度点、、在一条直线上．提供选用的测量工具有：Ⅰ．皮尺一根；Ⅱ．长为米的标杆一根；Ⅲ．小平面镜大小忽略不计． 实践结论：信号塔的高度：． (1)根据实践一，请计算出楼房的高度参考数据：，测角仪高度忽略不计； (2)请根据实践二提供的测量工具，选出你所需的工具，设计一种测量方案，回答下列问题： ①在你设计的方案中，选用的测量工具是______用工具的序号填写，并画出测量方案示意图； ②你需要测得示意图中的哪些数据，并用所测数据表示出的高度用、等表示测得线段的长度． 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．）(1)求塔架的长度；(2)求风叶的长度．（精确到1米） 【变式2】（2026·贵州黔南·一模）如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 【变式3】（2026·河北廊坊·二模）【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米；(2)计算大剧院的高度（）． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 题型02 坡度坡比问题 【典例1】（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【变式1】（26-27九年级上·广东·期中）如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积．(2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【变式2】（2026·海南省直辖县级单位·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角；(2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，一儿童游乐场滑道的坡角为（即），从安全角度考虑要降低坡角，变成新滑道．小明实地测量后得到点到水平地面的垂直距离为4.8米，也为4.8米．(1)求修改后的滑道的坡角比修改前滑道的坡角减缓了多少度；(2)求修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 题型03 方向角问题 【典例1】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【变式3】（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【变式4】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为．(1)求配送点到配送点的距离；(2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 题型04 坡度（坡比）与仰角俯角综合问题 【典例1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）综合实践 主题 校园文化建筑测绘实践 实验背景 某学校面对校门的孔子雕像是该校校园的一项重要的文化景观．为了解雕像的高度和周围环境的设计特点，该校九年级的数学兴趣小组的四名同学利用测角仪等测量仪器开展了实地测量．    实地测量 甲同学站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，乙同学站在雕像前方某处台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，丙同学测得甲乙两人的水平距离为，丁同学测得雕像前的台阶斜坡的坡比为．    注意事项 测量过程中确保雕像底端、点、以及台阶坡脚点在同一水平线上，且、、三点共线，点在台阶斜坡顶端． 解决问题：参考数据：，， (1)计算台阶的高度．(2)求出孔子雕像的高度． 【变式1】（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号）。(1)求索塔桥面以上部分的高度；(2)求索塔的高度． 【变式2】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为米，登山者需由山底处先步行米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点在同一平面内，于点，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平线的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度；(2)若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要分钟，换乘登山缆车的时间忽略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，，） 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． (1)根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，）；(2)已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 【变式4】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 题型05 三角函数实际应用之跨学科融合 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）【活动背景】如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； ③调整反射镜与水平线的夹角，使得从A处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最右端处； ④在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好射到坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内．根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．） 【问题解决】测得，，，且此时无人机显示距离水平地面高度为，．(1)_________；点到点的距离为_________． (2)计算土坑的深度．（参考数据：，，，，，，，，结果精确到） 【变式1】（2026·安徽·二模）无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【变式3】（2026·山西太原·三模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 题型06 三角函数的实际应用之数学文化 【典例1】（26-27九年级上·重庆·单元复习）赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，她进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角是，，米． 【数据应用】晷针，晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题：(1)求该晷针北极端的长度；（结果精确到） (2)求晷针的针尖到地面的垂直高度．（结果精确到）（参考数据，，，，，） 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角．解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） (1)已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； (2)根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 【变式2】（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【变式3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 题型07 三角函数的实际应用之视线遮挡问题 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含α的代数式表示仰角β． (2)如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【变式1】（2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． (1)求盲区中线段的长． (2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 【变式2】（2026·安徽合肥·二模）某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示：    数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 【变式3】如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离．(1)求的长度；(2)求的长度． 题型08 三角函数的实际应用之测量河宽或距离 【典例1】（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【变式1】（2026·广东清远·三模）党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度．(2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 【变式2】（2026·山西阳泉·三模）问题情境： 汾河是黄河的第二大支流．汾河景区内的河面宽度在至左右，景区北起上兰漫水桥，南至迎宾桥南，全长．汾河的宽度在不同河段有所不同． 测量计算：如图，某河段的汾河两岸互相平行．甲、乙两同学分别站在河东岸的A，B处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端C在A处的北偏西的方向上，乙同学测得该建筑物另一端D在B处的南偏西的方向上．已知A，B两点相距，图中各点均在同一平面内，点A，B在同一条直线上，测得景观建筑物两端点C，D之间的距离为，求此段汾河的河宽．（结果精确到；参考数据：，） 【变式3】（2026·西藏·中考真题）某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 题型09 三角函数的实际应用之旗杆或塔高测量 【典例1】（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【变式1】（2025·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题：(1)表格中的值为____；(2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】1．在点处测得的仰角为；2．在点处测得的仰角为；3．；4．斜坡的坡角为．请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【变式3】（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 题型10 三角函数的实际应用之实物建模问题 【典例1】（2026·江苏淮安·中考真题）我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行．(1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【变式1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 【变式2】（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【变式3】（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 题型11 方案设计问题 【典例1】（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决，根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ．(2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【变式1】（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【变式2】（2026·广东·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 1．（2026·河南平顶山·二模）贾鲁河发源于郑州西南山区，郑州段长137公里，流域面积2750平方公里，数学实践小组的同学在学习过锐角三角函数之后，尝试用所学的知识来测量贾鲁河的宽度．如图，小亮选取了一段两岸相互平行的河段，然后站在河的南岸A点处观察，发现在其北偏东方向的北岸岸边有一棵大树B，接着小亮沿着河边向东前进9.4米到达C处，此时这棵树恰好在其东北方向，请根据以上信息计算该河段贾鲁河的宽度，（结果保留整数．参考数据：， ，） 2．（2026·湖南益阳·二模）我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）；(2)求点到地面的距离（结果精确到）． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，是一款可调节高度和角度的阅读支架．调整到如图2所示位置，立柱垂直于桌面，测得，，面板与水平方向夹角．（参考数据：，） (1)求点到的距离；(2)根据《青少年近视防控指南》要求，看书应保证“一拳一尺一寸”的正确姿势，其中眼睛与面板的距离至少保持一尺（约）．若坐在距点左侧处，眼睛平视面板中点．试判断用眼距离是否符合标准． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）项目课题：在不过河的前提下，测量河对岸两棵树之间的距离（与河岸平行）． 方案设计 方案一：如图①，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，； 方案二：如图②，某同学提出可以构造全等三角形，利用全等三角形的方法测量两棵树之间的距离． 问题解决(1)请根据方案一的设计，计算出两棵树之间的距离．（参考数据：，，）；(2)你同意方案二的设计吗?请说明理由． 5．（2026·河南商丘·模拟预测）图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢为矩形，对角线，交于点，车架大梁与地面平行，且点与地面的距离，卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点与对角线交点的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线为．假设该车在水平地面上进行卸货作业，． (1)求的长；(2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由．（参考数据：，，） 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点与地面的距离时，会发生车辆倾覆事故． 6．（2026·山西晋中·二模）某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究 项目背景 夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．） 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容及示意 活动一：利用不同时刻的影长求树高 实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米…    活动二：利用树影计算休息区的长度 实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘．    请根据活动报告计算：(1)求活动一中树的高度．(2)求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 7．（2026·山西大同·三模）大型雕塑《力量》位于太原市五一广场南广场，于2022年3月3日落成，以“伟大的开端”为主题，以太行山与吕梁山为背景，通过105个历史人物群像再现八路军三大主力师东渡黄河及民众支前场景，展现中国共产党领导下山西军民共筑抗日统一战线的历史画卷．某数学小组利用课余时间对该雕塑的高度进行了测量．    活动主题 测量雕塑的高度 测量工具的制作 自制测高仪：将两根的木棍按如图所示的方式钉在一起，其中，点A，C处用橡皮筋连接，在上标出刻度，可在上滑动，且保持．在A处用细线挂一个小铁球，测量时，点B落在细线上，调整点D的位置，使得点C，A与被测量物体在一个平面内． 测量方案 如图1，分别站在雕塑的两侧进行测量，在雕塑的右侧处，点C与点E重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时测量工具的示意图如图2，记下的长度h；在雕塑的左侧处，点C与点G重合，调整点D的位置，使点C，A，P刚好在一条直线上，此时点D恰好为的中点，如图3． 测量数据 ，，． 备注 点P，Q，E，F，G，H均在同一平面内，点H，Q，F在同一水平线上． 请根据上述数据求出雕塑的高度． 8．（2026·吉林延边·二模）某同学在数学实践活动中做了如下探究： (1)探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪． 操作过程：如图①，将量角器底边水平放置，在量角器圆心处设计了和半径等长的旋转杆，使的外端点始终在量角器的圆周上，在点处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边的交点（垂足）为点． 经测量可知，，则_____，______； (2)探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料． 操作过程：如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，已知绳子总长为，该绳自然下垂时两端恰好落在地面；如图③，在（1）的条件下，定滑轮固定点为点（定滑轮半径忽略不计），在绳子的一端点处挂上装修材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点，走到距离定滑轮正下方水平距离的位置，即，拉起的绳子与水平线的夹角与图①中相等，求工人师傅将装修材料从地面点处提升到点处上升了多少米． 9．（2026·河南开封·二模）为提升学生午休舒适度，某校配备了可调节靠背的午休课桌椅．下图①为该套课桌椅躺睡模式实物图，其侧面结构可抽象为如图②所示的几何模型（材料厚度忽略不计），椅子的椅面与地面平行，椅腿垂直于地面，，当椅背最高点P距离地面为时，椅面与椅背的夹角．研究表明，当时，学生脊柱更接近自然舒展状态，午休更舒适．若教室空间足够的情况下，请求出椅背最高点P与地面的距离在什么范围内时，学生午休更舒适．（结果保留整数，参考数据：，，，） 10．（2026·河北邯郸·一模）图1是《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具——“碓”的结构示意图，图2是当碓抬起到最高处的平面示意图，测得，已知于点B，（地面），垂足为E，（地面），垂足为F，，，图中所有的点均在同一平面．珍珍过点A作，垂足为点G，请结合她的思路解决下列问题． (1)求证：；(2)求的长．（参考数据：取0.33，取0.95，取0.34） 1．（2026·重庆·三模）如图，，是两个港口，，是两座小岛，A，B，C，D四点位于同一水平面．点在点的正东方向．点在点的正北方向2千米处，点在点的北偏西方向6千米处，且在点的北偏东方向．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）；(2)某海上救援中心接到求救信号，救援快艇从港匀速出发，沿的航线前往岛执行任务；同时，遇险船只从岛出发，沿线段匀速驶向岛避风．已知救援快艇的速度是遇险船只速度的2倍，且救援快艇上的雷达只有在与遇险船只的距离不超过3千米时，才能准确锁定目标．遇险船只从岛出发后，航行多少千米时，救援快艇上的雷达首次能准确锁定该船只?（结果精确到千米） 2．（2026·重庆·二模）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）；(2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 3．（2026·河南周口·模拟预测）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． (1)根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，）(2)已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 4．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 5．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______.(2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示①点到点之间的水平距离为______米；②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 6．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）问题提出 (1)如图1，在四边形中，，为对角线，，，，求四边形的面积； 问题解决(2)近年来，我国在航天、深海、人工智能等关键领域的科技进步，让世界对中国刮目相看．为了激发青少年的科创精神，某中学计划在校园的一块空地开设科创区．如图2，该空地的形状为四边形，且，，，．按照设计方案，在该空地的边上确定点M，N，使得，连接后所形成的区域设置为科技体验区，将五边形区域设置为观摩区，经调查，学生希望观摩区的面积尽可能小，请问观摩区的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2026·河北廊坊·二模）太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定．若太阳光线与水平线所成夹角．（结果保留整数．参考数据，，，，，， ）。(1)求的度数及的长；(2)在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 9．（2026·山西吕梁·二模）跨学科活动 日晷是古代利用日影计时的仪器，通常由晷针（铜制的指针）、晷面（石制的带有刻度的圆盘）及底座组成，用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻．某数学兴趣小组的同学围绕“日晷构造的调研与计算”开展跨学科学习活动，并形成如下活动报告． 活动主题 日晷构造的调研与计算 调查方式 查阅资料、实地查看了解 调查过程 日晷 实物图 如图1，晷面安放在长方体底座上，与赤道平行，晷针垂直穿过晷面中心，与地轴平行，上端指向北极，下端指向南极．其放置示意图如图2所示． 放置 示意图 如图2，日晷底座与地球截面所在相切于点，点处的纬度为，即，晷面赤道，且与底座的倾角为，晷针平行于地轴（日晷底座及晷面厚度均忽略不计）． 截面 示意图 如图3是经过晷面中心点的截面示意图，晷面上下表面所在直线，上端侧面所在直线，底座上表面所在直线地面，测得，晷面截面厚度，底座高度为． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，完成下列计算：(1)在图2中计算日晷晷面与底座的倾角的度数； (2)结合（1）中所得的度数，在图3中计算晷面最高点H到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 10．【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $