精品解析：湖南省长沙市一中集团联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下学期九年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 辰州剪纸是流传于怀化市沅陵县的传统美术形式，已列入湖南省级非物质文化遗产代表性项目名录扩展项目，下列剪纸图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，长沙位列全国先进制造业百强市第5位，工程机械产业集群规模突破2500亿元，同比增长，持续领跑全国．将2500亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如表是李明体育课8次练习投掷实心球的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/米 8.5 9 10 10.5 10 8 8.5 10 则李明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8.5，9.5 B. 10，9.5 C. 10，9 D. 8.5，10 5. 如图，在中，点在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. “湘超”是2026年湖南省内最大的群众足球赛事．湘超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行91场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过第二、四象限，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若二次函数的图象上存在两个不同的点关于原点对称，则称该函数为“中心对称友好”函数．已知二次函数（为实数），有如下结论： ①该函数图象的顶点在直线上； ②无论取何值，该函数图象与轴总有交点； ③当时，该函数为“中心对称友好”函数； ④该函数图象与直线总有交点． 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 化简的结果是______． 13. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，则考核成绩更为稳定的运动员是_________．（填“甲”或“乙”）． 14. 若，则_________． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若．则四边形的周长为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上一点，以为边作正方形，使点落在该反比例函数图象上，点在第四象限，已知点的横坐标为1． （1）则_________； （2）点的坐标为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出关于轴成轴对称的； （2）作出绕点逆时针方向旋转后得到的． 19. “春暖三湘，阅启新程”，岳麓书会暨长沙图书交易会顺利举办，长沙某中学抓住书展优惠契机，计划为各班图书角采购一批人文读本与自然科普读物．已知采购自然科普读物25本和人文读本30本共需要1500元；采购自然科普读物30本和人文读本20本共需要1400元． （1）求自然科普读物、人文读本的单价分别是多少元？ （2）若学校现打算在书展上一次性采购这两类书籍一共450本，并且要求人文读本的购买数量不超过自然科普读物数量的2倍，请求出采购这一批图书所需要的最低总费用． 20. 2026年长株潭一体化加速推进，长沙地铁2号线西延二期进入试运行，长浏市域铁路加快建设．某交通研究中心调查了长株潭城际通勤者每日单程通勤时间（单位：分钟），随机抽取了80名通勤者的数据并整理如下． 通勤时间频数分布表 时间（分钟） 频数 8 16 28 20 8 频率 解答下列问题： （1）表中_________； （2）在扇形统计图中，表示通勤时间在“”分钟组的扇形圆心角度数是_________； （3）已知这80名通勤者的通勤时间数据（单位：分钟）从小到大排列后的部分数据如下： 第1~8位：16，18，20，22，25，26，28，29，第20~22位：36，40，41，第40~42位：50，52，53，第60~62位：62，65，68，求这组数据第一四分位数； （4）长株潭区域城际通勤者总数约有12万人，若按本次调查中通勤时间达到60分钟（即第4、5组）的通勤者比例估算，长株潭区域每日单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有多少万人？ 21. 如图，平行四边形的对角线交于点平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若的延长线于点，求线段的长． 22. 为积极响应国家“十四五”规划中关于绿色低碳与新型储能技术发展的号召，某新能源科技公司致力于研发新一代光伏储能电池．在实验室测试阶段，研究员小王对一块新型储能电池进行了放电特性测试．实验中，电池的放电时间记为（单位：小时），电池的端电压记为（单位：伏特，）．为了预测电池在复杂工况下的电压变化趋势，小王根据采集到的离散数据，分别选用了“一次函数模型”和“反比例函数模型”对数据进行曲线拟合．在测试记录中，小王发现：当放电时间进行到第1小时，电池端电压为；当放电时间进行到第3小时，端电压降至，且这两组数据恰好满足一次函数模型的变化规律．同时，通过对数据的进一步分析发现，两个函数模型图象的两个交点中，交点的横、纵坐标恰好相等． 请根据以上实验记录与背景信息，结合所学的函数知识，解决下列问题： （1）求两个函数模型对应的解析式； （2）求出这两个拟合模型图象的交点的坐标； （3）在放电时间的范围内，为了评估电池在不同阶段的特性，需要比较两种模型的预测差异．请结合函数图象分析：当反比例函数模型预测的电压高于一次函数模型预测的电压时，直接写出此时放电时间的取值范围． 23. 手工实践课上，同学们利用一块矩形纸片开展图形探究活动．已知在矩形中，，点是边上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点为的中点时，求线段的长度； （2）如图2，以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，试探究：点在运动过程中，是否存在一条定直线，使得点始终在这条直线上运动？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由； （3）如图3，设，连接．记的面积为的面积为． （i）求关于的函数关系式； （ii）求的最大值． 24. 已知抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点，使得为等边三角形，求证：为定值； （3）反比例函数的图象经过该抛物线的顶点，若将（2）中的直线平移得到直线，直线与该抛物线交于点，与反比例函数图象交于点，且点落在两点之间，且四点互不重合．过点分别作轴的平行线，交反比例函数图象于、两点，记，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 辰州剪纸是流传于怀化市沅陵县的传统美术形式，已列入湖南省级非物质文化遗产代表性项目名录扩展项目，下列剪纸图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合的图形，逐一判断即可． 【详解】A选项，花鸟图案，对折后不能重合， B选项，花卉纹样，存在对称轴，对折可以完全重合， C选项，鱼的图案，不对称， D选项，舞狮图案，不对称， 故B选项符合题意． 2. 2025年，长沙位列全国先进制造业百强市第5位，工程机械产业集群规模突破2500亿元，同比增长，持续领跑全国．将2500亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2500亿． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误． 4. 如表是李明体育课8次练习投掷实心球的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/米 8.5 9 10 10.5 10 8 8.5 10 则李明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8.5，9.5 B. 10，9.5 C. 10，9 D. 8.5，10 【答案】B 【解析】 【分析】先把数据从小到大排序，根据众数是出现次数最多的数据，中位数是偶数个数据里中间两个数的平均数进行求解． 【详解】解：将8次成绩从小到大排列为：，，，，，，，； 出现次数最多，众数为； 共8个数据，中位数为第4、5个数据的平均数，即． 5. 如图，在中，点在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ． 6. “湘超”是2026年湖南省内最大的群众足球赛事．湘超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行91场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则，需对累计场次去重后结合总场数列方程即可解答． 【详解】解：∵有支球队参加单循环赛，每两支球队之间比赛1场， ∴每支球队需和其余支球队各赛1场，所有球队累计比赛场次为， ∴每场比赛被两支球队各计算1次，存在重复计数， ∴实际总比赛场数为， ∵实际总比赛场数为91场， ∴可列方程． 7. 若关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数以及判别式大于0两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵该二次函数的图象与轴有两个不同交点， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过第二、四象限，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质判断k的符号，推导一次函数的系数符号，即可解答． 【详解】解： ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴，， ∴的图象经过第一、二、三象限，只有选项C的图象符合． 10. 定义：若二次函数的图象上存在两个不同的点关于原点对称，则称该函数为“中心对称友好”函数．已知二次函数（为实数），有如下结论： ①该函数图象的顶点在直线上； ②无论取何值，该函数图象与轴总有交点； ③当时，该函数为“中心对称友好”函数； ④该函数图象与直线总有交点． 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数配方，依次验证四个结论，借助顶点坐标、一元二次方程判别式、新定义条件联立方程判断每个结论的对错． 【详解】解：对函数配方：． ①顶点坐标为，纵坐标恒等于，所以顶点在直线上，①正确． ②令，得方程， ， 因此无论取何值，函数图象与轴总有交点，②正确． ③设抛物线上关于原点对称的两点为、，，代入函数解析式： 两式相加，得， 整理得到． 两点不重合，故，即， 解得，③正确． ④联立 整理得， ， 当时，，方程无实数根，两个图象没有交点，④错误． 综上，①②③正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同分母分式的加减法法则计算分式减法，再将分子因式分解，约分． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算．解题的关键是将分子因式分解，约分． 13. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，则考核成绩更为稳定的运动员是_________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据甲乙两人考核成绩的平均数相同，结合方差的统计意义，方差越小成绩越稳定，通过比较两人的方差大小即可判断结果． 【详解】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，． ∴． ∴考核成绩更为稳定的运动员是甲． 14. 若，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用完全平方和公式展开待求式，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若．则四边形的周长为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 同理可得， 四边形的周长为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上一点，以为边作正方形，使点落在该反比例函数图象上，点在第四象限，已知点的横坐标为1． （1）则_________； （2）点的坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）构造全等三角形，将点B坐标表示出来结合函数解析式列方程． （2）构造全等三角形转化线段表示出坐标． 【详解】解：过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为点N、M，过点B作的垂线，交其延长线于点T， （1）∵点A在图像上，且其横坐标为1， 则点A坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，， 由作图得， 则有， ∴， ∴在和中有， ， ∴， ∴、， ∴、， 即点B的坐标为， 又∵点B在图像上， 则有，解得， ∵， ∴． （2）解：同（1）可证， ∴、， ∴、， 故点C的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出关于轴成轴对称的； （2）作出绕点逆时针方向旋转后得到的． 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化，求出点，，的坐标，在坐标系中描出点，，，再依次连接，即可解答； （2）根据旋转的性质作出点，，，再依次连接，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴关于x轴对称的点分别为，，， 作图略． 【小问2详解】 略 19. “春暖三湘，阅启新程”，岳麓书会暨长沙图书交易会顺利举办，长沙某中学抓住书展优惠契机，计划为各班图书角采购一批人文读本与自然科普读物．已知采购自然科普读物25本和人文读本30本共需要1500元；采购自然科普读物30本和人文读本20本共需要1400元． （1）求自然科普读物、人文读本的单价分别是多少元？ （2）若学校现打算在书展上一次性采购这两类书籍一共450本，并且要求人文读本的购买数量不超过自然科普读物数量的2倍，请求出采购这一批图书所需要的最低总费用． 【答案】（1）自然科普读物单价为30元，人文读本单价为25元 （2）最低总费用为12000元 【解析】 【分析】（1）设两种读物单价，根据两组采购费用列二元一次方程组，求解得到单价； （2）设自然科普读物数量，得到人文读本数量，根据数量限制求出自变量取值范围，列出总费用的一次函数，利用一次函数增减性求最小值． 【小问1详解】 解：设自然科普读物单价为x元，人文读本单价为y元，由题意得， 解得 答：自然科普读物单价为30元，人文读本单价为25元． 【小问2详解】 设采购自然科普读物a本，人文读本本，总费用为W元， 则， 解得（且为整数）． ． ， 随着a的增大而增大， 时，W最小，元． 答：最低总费用为12000元． 20. 2026年长株潭一体化加速推进，长沙地铁2号线西延二期进入试运行，长浏市域铁路加快建设．某交通研究中心调查了长株潭城际通勤者每日单程通勤时间（单位：分钟），随机抽取了80名通勤者的数据并整理如下． 通勤时间频数分布表 时间（分钟） 频数 8 16 28 20 8 频率 解答下列问题： （1）表中_________； （2）在扇形统计图中，表示通勤时间在“”分钟组的扇形圆心角度数是_________； （3）已知这80名通勤者的通勤时间数据（单位：分钟）从小到大排列后的部分数据如下： 第1~8位：16，18，20，22，25，26，28，29，第20~22位：36，40，41，第40~42位：50，52，53，第60~62位：62，65，68，求这组数据第一四分位数； （4）长株潭区域城际通勤者总数约有12万人，若按本次调查中通勤时间达到60分钟（即第4、5组）的通勤者比例估算，长株潭区域每日单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有多少万人？ 【答案】（1） （2）72 （3）38 （4）每日单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有万人 【解析】 【分析】（1）利用各组频率之和等于1求m； （2）用该组频率乘得到扇形圆心角度数； （3）先确定第一四分位数的位置，再读取对应位置数据计算； （4）先算出样本中60分钟及以上的频率，再用总数乘该频率估算总体数量． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：方法一：一共有80个数据，，第一四分位数是第20项和第21项数据的平均数． 由题意，第20位为36，第21位为40， ． 方法二： 一共有80个数据，中位数为第40项、第41项数据的平均数，将全部数据分成前半段（第1～40项）、后半段（第41～80项）； 第一四分位数是前半段数据的中位数． 前半段共40个数据，它的中位数为第20项、第21项数据的平均数， ． 【小问4详解】 解：样本里通勤时间60分钟及以上的频率：， （万人）． 答：长株潭区域每日单程通勤时间需要一个小时及以上的通勤者约有万人． 21. 如图，平行四边形的对角线交于点平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若的延长线于点，求线段的长． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，， ． 平分， ， ， ， 四边形为菱形 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可证明，推出四边形为菱形； （2）根据菱形的性质求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ． ， ． 为的中点， ． 22. 为积极响应国家“十四五”规划中关于绿色低碳与新型储能技术发展的号召，某新能源科技公司致力于研发新一代光伏储能电池．在实验室测试阶段，研究员小王对一块新型储能电池进行了放电特性测试．实验中，电池的放电时间记为（单位：小时），电池的端电压记为（单位：伏特，）．为了预测电池在复杂工况下的电压变化趋势，小王根据采集到的离散数据，分别选用了“一次函数模型”和“反比例函数模型”对数据进行曲线拟合．在测试记录中，小王发现：当放电时间进行到第1小时，电池端电压为；当放电时间进行到第3小时，端电压降至，且这两组数据恰好满足一次函数模型的变化规律．同时，通过对数据的进一步分析发现，两个函数模型图象的两个交点中，交点的横、纵坐标恰好相等． 请根据以上实验记录与背景信息，结合所学的函数知识，解决下列问题： （1）求两个函数模型对应的解析式； （2）求出这两个拟合模型图象的交点的坐标； （3）在放电时间的范围内，为了评估电池在不同阶段的特性，需要比较两种模型的预测差异．请结合函数图象分析：当反比例函数模型预测的电压高于一次函数模型预测的电压时，直接写出此时放电时间的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知两点求出一次函数解析式，再根据点B横纵坐标相等求出B点坐标，进而求出反比例函数解析式； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程求出两个交点坐标； （3）结合函数图象，图象在上方代表函数值更大，以交点为分界点确定自变量取值范围． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 代入点得， ， 解得， 一次函数解析式为． 点B的横、纵坐标相等，设， 代入一次函数解析式得， ， 解得， 设反比例函数的解析式为， 代入得， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立 得， 两边同乘得， 整理得， 因式分解得， 解得， 当时，，得 ； 当时，，得 ． 两个拟合模型图象的交点坐标为． 【小问3详解】 解：函数图象的上下位置对应函数值的大小，图象在上，则函数值更大． 在范围内，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，反比例函数对应的电压值更大． 的取值范围是或． 23. 手工实践课上，同学们利用一块矩形纸片开展图形探究活动．已知在矩形中，，点是边上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点为的中点时，求线段的长度； （2）如图2，以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，试探究：点在运动过程中，是否存在一条定直线，使得点始终在这条直线上运动？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由； （3）如图3，设，连接．记的面积为的面积为． （i）求关于的函数关系式； （ii）求的最大值． 【答案】（1） （2）解：存在，证明如下： 以A为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系， 各点坐标为． 设，则． 过点F作的延长线，垂足为G． 绕点E逆时针旋转得到， ． 四边形为矩形， ， ∴． ，且点G，E，B在同一直线上， ， ． 在和中， ， ． ， 点G的横坐标为， ． ∵， ∴点F在直线上， 即存在定直线，点F始终在这条直线上运动． （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由旋转可得，，由勾股定理求解即可； （2）根据坐标系可得．设，则．过点F作的延长线，垂足为G．证明，得到，得出点，即可判断点F在直线上； （3）（i）在中，根据勾股定理得到，结合旋转的性质得到．过点F作，垂足为G，由得到，，因此，即可求出； （ii）设，则，，根据完全平方公式的变形得到，进而即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ． 是的中点， ， ∴在中，． 由旋转可得，， ∴在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（i）在中，， ． ∵，， ∴． 过点F作，垂足为G． 由（2）得， ， ∴， ， ． （ii）设，则， 则， 根据完全平方公式变形可得，，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， 又时，符合条件， 的最小值为． 的最大值是． 24. 已知抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点，使得为等边三角形，求证：为定值； （3）反比例函数的图象经过该抛物线的顶点，若将（2）中的直线平移得到直线，直线与该抛物线交于点，与反比例函数图象交于点，且点落在两点之间，且四点互不重合．过点分别作轴的平行线，交反比例函数图象于、两点，记，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线解析式为、顶点坐标为 （2）证明：由题点E、F为直线l与抛物线的交点， 联立，得， 设、， 则由韦达定理有、， 又∵点E、F在直线l上， 则有、， ∴ ， ， 设的中点为， ∴、， 故， 过点H作x轴的平行线，过点F、点M作该平行线的垂线，垂足为N、Q， ∴、， 即， ∴， ∵为等边三角形，且点H为中点， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， 故点M的坐标为， 有， 同时又有， 则，即①， ∵点M在抛物线上， 则有，整理得， 代入①有，得②， ∴， 代入②得， 综上为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和已知点A的坐标列方程组求出 a、b，得到解析式，再由对称轴代入求顶点坐标． （2）联立直线与抛物线方程，用韦达定理求出交点中点，结合等边三角形三线合一与 45° 角得到 M 点参数化坐标，再利用 M 在抛物线上化简，证得为定值． （3）先求出反比例函数解析式，分别联立直线与抛物线、直线与反比例函数，由判别式初步限定t范围，结合图像得到精确ｔ的区间，把S表示为t的函数，利用反比例函数单调性求出S取值范围． 【小问1详解】 解：由抛物线对称轴公式可得，得①， ∵抛物线经过点，代入有②， 联立①②解得， ∴抛物线解析式为， 由抛物线图像的性质可知顶点的横坐标即为对称轴， 故顶点的纵坐标为， 故顶点坐标为， 综上抛物线解析式为、顶点坐标为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵反比例函数的图象经过顶点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立抛物线与直线有，得， ∵直线与该抛物线有两个不同的交点、， ∴，解得， 由韦达定理得、， 联立反比例函数与直线有，得， ∵直线与反比例函数图像有两个不同的交点、， ∴，解得或， ∴， 下面讨论满足点、在、两点之间时t应满足的范围， 记抛物线与反比例函数在第四象限的交点为A、B， 当或时，分别与反比例函数相切和抛物线相切， 当将直线向下平移至直线时， 当没有经过点B时， 如图不满足点、在、两点之间， 当经过点B时，没有过点A时， 如图不满足点、在、两点之间， 当经过点A没有到直线时， 如图满足点在两点之间，联立反比例函数与抛物线有 ，解得，， 由图可得点A的坐标为， 代入有，解得 故， 由作图得、， ∵点、两点在上， ∴、， ∴， 令，， ∴， ∵，， ∴S随着u的增大而减少， 当时，、时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $