精品解析：贵州省铜仁市碧江区 2026-2027学年度第一学期期中质量监测试卷八年级数学

2026—2027学年度第一学期期中质量监测试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分，每小题3分） 1. 下列各式：，，，，属于分式的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母含有字母则是分式，分母为常数不含字母则不是分式． 【详解】解： 的分母含有字母，即是分式； 是整式，不是分式； 是常数， 的分母是常数，不含字母，即 不是分式； 的分母含有字母，即 是分式． 综上，分式共有 个． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． B． 的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． C． 属于因式分解，符合题意． D． 的左边是单项式，不是多项式，单项式不能进行因式分解，不符合题意． 3. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 0.6 B. 25 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式满足的两个条件，①被开方数是非负数且不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵ 当时，的被开方数为小数， ∴ 不是最简二次根式； B、∵ 当时，，被开方数含能开得尽方的因数， ∴ 不是最简二次根式； C、∵ 当时，的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数， ∴ 是最简二次根式； D、∵ 当时，，被开方数含能开得尽方的因数， ∴ 不是最简二次根式． 4. 现在市面上流行的折叠屏手机，其中有一种关键材料是由山西太钢王天翔团队主导研发的“手撕钢”，正因为它比纸还薄，折叠屏才能承受数十万次的使用而不变形、不断裂．据悉，该材料的厚度仅有米．将米用科学记数法表示为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 6. 根据如图对算式的分析，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式分解因式可得，由此即可得． 【详解】解： ， 由图可知，， 则， 故选：C． 7. 若把a、b的值同时扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程转化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为原方程的增根两种情况解答即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘，得， 去括号，得. 移项、合并同类项，得， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论： ①当整式方程无解时，， 解得； ②当整式方程的解为原方程的增根时，， 将代入，得， 解得； 综上，的值为或． 9. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是先化简式子，再通过比较被开方数的大小来估算无理数的范围． 先对式子进行化简，然后估算化简后式子中无理数的取值范围，进而确定整个式子的取值范围，从而判断其对应的点的位置． 【详解】， ， ， ，即， 的值所对应的点可能落在点D处． 故选：D． 10. 2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式“时间=路程÷速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到达的时间关系列出方程即可 【详解】解：∵设乙选手的平均速度为， ∴甲选手的平均速度为. ∵总路程为，时间， ∴乙跑完全程的时间为，甲跑完全程的时间为. ∵甲比乙提前分钟到达，统一单位得分钟，且乙的用时大于甲的用时， ∴可列方程 11. 三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 12. 如果成立，那么满足它的所有整数x的值是（ ） A. B. 0或2 C. D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】非零数的零次幂等于1，1的任何次幂等于1，的偶次幂等于1．据此分类讨论即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当且时，原式成立， 此时 ②当时，原式成立， 此时； ③当且为偶数时，原式成立， 此时； 综上，满足条件的整数为或． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共16分，每小题4分） 13. 如果分式的值为零，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，列式求解即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解方程得或，由得， ． 14. 若，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】对已知等式通分得到与的等量关系，将所求分式变形为含和的结构，通过整体代入计算结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 15. 边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用面积割补法，用和表示出阴影部分的面积，结合完全平方公式  进行变形，代入已知数值求解即可． 【详解】解：由图可知，   ， ∵ ， ∴  ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴． 16. 已知，，且．则正整数n的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】观察x与y的表达式结构，可通过平方差公式计算与的值，再将给定方程变形为含的形式，代入后建立关于的方程求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 将代入得：， ∴ ∵ ， ∴ （舍去负根）． ∴， 解得：． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）因式分解： （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）将变形为，提取公因式后利用平方差公式完成因式分解． （2）分别计算每一项的乘方、绝对值、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再进行有理数加减运算． 【小问1详解】 解：   ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算及解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）原分式方程无解． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 若，且为整数，请对先化简再求值． 【答案】 化简结果为，原式的值为． 【解析】 【分析】化简分式后，根据分式有意义的条件筛选给定范围内的有效整数x，代入化简式计算求值． 【详解】 解：原式 ， ∵分式有意义需满足，， ∴，， 又∵且x为整数， ∴x的取值为， ∴当时，原式． 20. 按要求解答下列各小题． （1）已知，，则________； （2）如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则逆用可直接进行求解； （2）根据幂乘方的法则逆用，同底数幂的乘法法则的逆用可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）将待求式用平方差公式变形为，代入预先计算的、的整体值求解． （2）将待求式通分变形为，结合完全平方公式将分子变形为，代入预先计算的、的整体值求解． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴ ． 22. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． （1）如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； （2）按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用； （1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论； 【小问1详解】 左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①拼成的大长方形的长为，宽为， 故答案为： ； ②依题意，． 23. 铜仁被誉为“中国抹茶之都”，抹茶产销量居全国第一、出口量全球第二．铜仁抹茶衍生出了很多抹茶商品，如抹茶酥，抹茶月饼，抹茶冰激凌，抹茶米酒等等．某超市销售甲、乙两种抹茶产品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共120件．其中购进甲种商品用去400元，购进乙种商品用去2000元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． （1）求两种商品购进的数量分别是多少件？ （2）由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共120件，但甲商品进价在原基础上降了20%，乙商品进价在原基础上涨了20%，4月份甲种商品每件售价25元，乙种商品每件售价36元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于1240元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 【答案】（1） 甲种商品购进20件，乙种商品购进100件 （2） 该超市最多购进甲种商品66件 【解析】 【分析】（1）以甲、乙商品单件进价相同为等量关系，列分式方程求解购进数量； （2）先计算4月份甲、乙商品的调整后进价，再根据总利润不低于1240元列不等式，结合正整数条件求甲的最大购进量． 【小问1详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件． ∵甲、乙两种商品每件的进价相同， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 此时乙种商品数量为（件） 答：甲种商品购进20件，乙种商品购进100件． 【小问2详解】 解：∵3月份甲种商品进价为（元/件），且甲、乙原进价相同， ∴4月份甲种商品进价为（元/件）， 4月份乙种商品进价为（元/件）， 设4月份购进甲种商品件，则购进乙种商品件， ∵4月份全部售出后总利润不少于1240元， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为66． 答：该超市最多购进甲种商品66件． 24. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是__________；的“湘一区间”是__________； （2）实数，，满足关系式：，求的“湘一区间”； （3）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据“湘一区间”的概念求解即可； （2）根据二次根式中的被开方数是非负数的性质确定的值，继而得到的值，再根据“湘一区间”的概念即可得出答案； （3）根据“湘一区间”的概念列出关于的不等式，求出的范围，根据为正整数确定的值，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴的“湘一区间”是， ∴的“湘一区间”是； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴的“湘一区间”是， 即的“湘一区间”是； 【小问3详解】 解：无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或或． 25. 阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当，时， ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为__________； （2）已知分式的值为整数，求整数的值； （3）当时，求代数式的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）或 （3）最小值为，此时的值为． 【解析】 【分析】（1）将分子拆分为含分母因式的整式与常数的和，实现分式分离． （2）先分离整数部分，结合分式值为整数的条件确定分母的约数，求解整数x． （3）先分离整数部分，构造完全平方式，利用非负性求最值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵x为整数， ∴都是整数， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当时取得等号，即时取得等号， ∴， ∴的最小值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中质量监测试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分，每小题3分） 1. 下列各式：，，，，属于分式的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A. 0.6 B. 25 C. 15 D. 20 4. 现在市面上流行的折叠屏手机，其中有一种关键材料是由山西太钢王天翔团队主导研发的“手撕钢”，正因为它比纸还薄，折叠屏才能承受数十万次的使用而不变形、不断裂．据悉，该材料的厚度仅有米．将米用科学记数法表示为（　　　） A. B. C. D. 5. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 根据如图对算式的分析，则（ ） A. B. C. D. 7. 若把a、b的值同时扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 10. 2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 12. 如果成立，那么满足它的所有整数x的值是（ ） A. B. 0或2 C. D. 0或 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共16分，每小题4分） 13. 如果分式的值为零，那么的值为___________． 14. 若，则的值为__________． 15. 边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，，则__________． 16. 已知，，且．则正整数n的值为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）因式分解： （2） 18. 计算及解方程 （1）计算： （2）解方程： 19. 若，且为整数，请对先化简再求值． 20. 按要求解答下列各小题． （1）已知，，则________； （2）如果，求的值． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 22. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． （1）如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； （2）按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 23. 铜仁被誉为“中国抹茶之都”，抹茶产销量居全国第一、出口量全球第二．铜仁抹茶衍生出了很多抹茶商品，如抹茶酥，抹茶月饼，抹茶冰激凌，抹茶米酒等等．某超市销售甲、乙两种抹茶产品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共120件．其中购进甲种商品用去400元，购进乙种商品用去2000元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． （1）求两种商品购进的数量分别是多少件？ （2）由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共120件，但甲商品进价在原基础上降了20%，乙商品进价在原基础上涨了20%，4月份甲种商品每件售价25元，乙种商品每件售价36元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于1240元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 24. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是__________；的“湘一区间”是__________； （2）实数，，满足关系式：，求的“湘一区间”； （3）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值． 25. 阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当，时， ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为__________； （2）已知分式的值为整数，求整数的值； （3）当时，求代数式的最小值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $