精品解析：黑龙江哈尔滨市风华中学2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

哈尔滨市风华中学校2026—2027学年度上学期期中测试八学年数学学科试卷 （分值：120分，总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，可知：B选项能找到一条直线，使得直线两旁部分能够完全重合，其他选项都不符合题意． 2. 下列四个图形中，画出的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义，边上的高需过顶点C且垂直于所在直线． 【详解】解：根据三角形高的定义，的边上的高，应是过顶点C向边所在的直线作垂线段． A、过点A作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； B、不符合三角形高的定义，故此选项不符合题意； C、过点B作的垂线，是边上的高，故此选项不符合题意； D、过点C作延长线的垂线，是边上的高，此选项符合题意，故此选项符合． 3. 若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，，错误． 对选项B，，错误． 对选项C，，正确． 对选项D，，错误． 5. 如图，传统屋顶支撑架由多个三角形组成，其应用的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：传统屋顶支撑架由多个三角形组成，其应用的数学原理是三角形具有稳定性． 6. 如图，，于点，于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，过点D作，根据平分，易得到，由，，即可求得． 【详解】解：如图，过点D作， 则， ，平分， ， ，，， ， 故选：B． 8. 如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 9. 如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点F，由作图方法可知，平分，由角平分线的性质得到的长，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交的延长线于点F， 由作图方法可知，平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 10. 如图，中，，平分，且，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，由题意易得，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律∶(1)关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解∶点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：先计算系数部分的乘积：． 再计算同底数幂部分的乘积：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规则，可得． 将两部分结果相乘，可得． 13. 已知，，且，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 在中，，，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】已知直角三角形的直角和两个锐角的度数比，利用三角形内角和定理计算即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，，，，则的度数是________． 【答案】116 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的外角 是的外角， ． 16. 如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 17. 如图，是等边三角形，边长为5，和的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，同理，则由三角形周长公式可得的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，证明，是解题的关键． 18. 如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 【答案】 5 【解析】 【分析】连接，利用及三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：连接， ，， ，分别是，的高， ， ， ，， ， ， ． 19. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①等腰三角形为锐角三角形；②当等腰三角形为钝角三角形；结合直角三角形性质计算顶角． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，当等腰三角形为锐角三角形时， 设，于， ∵ ，， ∴ 顶角； ②当等腰三角形为钝角三角形时， 设，的延长线于， ∵ ，， ∴ 顶角； 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或． 20. 如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和，交、于点、．和相交于点，连接．以下结论：①，②平分，③是等边三角形，④，⑤，其中正确的有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明可判断①正确；过点分别作于点，于点，可判断平分，无法说明平分，可判断②错误；证明可判断③正确；求出可判断④正确；若，则，可判断⑤错误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点分别作于点，于点， 由①知， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分，无法说明平分，故②错误； ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点到、的距离相等， ∴，故④正确； ∵为等边三角形， ∴． 若，则， ∴，这与矛盾，故⑤错误． 综上可知，正确的有①③④． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 化简求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简代数式，再代入和的值求出代数式的值即可． 【详解】解： 当，时， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） （2）作出关于轴对称的；（点，，的对称点为，，） （3）在轴上找一点，连接，，使最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）所求图形如图所示： （2）所求图形如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式可直接进行作图； （2）由关于轴对称的，可描出点，，，然后问题可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知最小，此时点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知最小， ∴． 24. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC； （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC 【解析】 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC； （2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知AB＝AC， ∠BAC＝108°， ， AD＝AE，∠DAE＝36°， ， 是的一个外角， ， 同理，， ∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键． 25. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则__________． （3）【综合应用】如图3，四边形中，，与是积等三角形，平分，，，求的长． 【答案】（1）2 （2）①；②2 （3）13 【解析】 【分析】（1）过点作，然后根据等积法可得，进而问题可求解； （2）①延长，使，连接，由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由①可进行求解； （3）延长交的延长线于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据等腰三角形的判定可进行求解． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∴， ∵与是积等三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：延长，使，连接，如图2所示： ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中由三角形三边关系可得， ∴，即， ∴； ②由①可知：， ∵的长度为正整数， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点，如图所示： ∵与是积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 26. 已知：等边，在上，在上，连接，交于一点F，且． （1）求证：； （2）如图2，过点作于点，求、、的关系，并证明； （3）如图3，在（2）问条件下，点在的延长线上，且，连接，，，，求的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中： ， ， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ，， ， ， ， 又， ， 在中： ， （直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半）， ， ． （3）22 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）在上截取，连接，过点E作，由题意易得，然后可得，，则有平分，根据角平分线的性质定理可得，进而可得，设，，则有，最后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上截取，连接，过点E作，如图所示： ∵， ∴为等边三角形， ∴ ，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ，， ∴中，， ∵，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． （1）如图，求点的坐标； （2）轴上一动点从点出发，沿轴正方向向终点运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为秒，连接，过点作于点，交轴于点，的面积为，请用含的式子表示；（不用写的取值范围） （3）在（2）的条件下，连接，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （3）连接，过点作，过点作，由题意易得，则有，根据角平分线的判定定理可得平分，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：连接，过点作，过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 设，， ，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市风华中学校2026—2027学年度上学期期中测试八学年数学学科试卷 （分值：120分，总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，画出的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 如图，传统屋顶支撑架由多个三角形组成，其应用的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 6. 如图，，于点，于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 16 9. 如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，平分，且，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是___． 12. 计算：_______． 13. 已知，，且，则的值是________． 14. 在中，，，则______． 15. 如图，，，，则的度数是________． 16. 如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 17. 如图，是等边三角形，边长为5，和的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则的周长是___________． 18. 如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 19. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为________． 20. 如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和，交、于点、．和相交于点，连接．以下结论：①，②平分，③是等边三角形，④，⑤，其中正确的有_______． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 化简求值：，其中，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） （2）作出关于轴对称的；（点，，的对称点为，，） （3）在轴上找一点，连接，，使最小，并直接写出点的坐标． 24. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 25. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则__________． （3）【综合应用】如图3，四边形中，，与是积等三角形，平分，，，求的长． 26. 已知：等边，在上，在上，连接，交于一点F，且． （1）求证：； （2）如图2，过点作于点，求、、的关系，并证明； （3）如图3，在（2）问条件下，点在的延长线上，且，连接，，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． （1）如图，求点的坐标； （2）轴上一动点从点出发，沿轴正方向向终点运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为秒，连接，过点作于点，交轴于点，的面积为，请用含的式子表示；（不用写的取值范围） （3）在（2）的条件下，连接，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $