精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

数学试题 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数的图象关于原点对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 6. 设函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 若为的一条对称轴，则 11. 已知函数有三个极值点，，，若，则（ ） A. B. 为极大值点 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则与的夹角为__________. 13. 已知，则__________． 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率．某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该学校的男教师中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为. （1）求； （2）为边上一点，满足，求的长. 17. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 19. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得，所以，满足. 2. “函数的图象关于原点对称”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，即 ，解得， 若，，函数一定关于原点对称，则一定满足， 故函数“的图象关于原点对称”是“，”的必要条件； 若函数关于原点对称，则，不一定满足，，故充分性不成立， 故“函数的图象关于原点对称”是“，”的必要不充分条件． 3. 满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，判断出点的轨迹是圆. 【详解】设，由可得： ， 两边平方得：， ∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆. 故选：B 【点睛】方法点睛：复数范围内的轨迹问题的一般方法：设复数的一般形式 运用复数的求模公式把复数问题实数化，从而利用实数范围内的有关轨迹知识来解决. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 5. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，，解得， 则. 6. 设函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，再求，进而得，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以，， 所以， 所以. 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 8. 已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令，， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 因为实数的取值范围为， 所以必有， 由解得， 将代入验证，成立， 综上，， 故选：A. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合不等式的性质判断ABD正确，举反例说明C错误. 【详解】对于选项A，因为，，所以，， 所以，故，A正确， 对于选项B，由选项A的推导可得，B正确， 对于选项C ，取，，，此时，且，但，C错误， 对于选项D，由且，可得，故， 又，所以，D正确. 10. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 若为的一条对称轴，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，当时，，此时单调递增， 在上单调递增，B正确； 对于C，，，即的值域为，C正确； 对于D，若为的一条对称轴，则或，D错误. 11. 已知函数有三个极值点，，，若，则（ ） A. B. 为极大值点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，令得，对求导分析单调性，画出大致图象，即可判断AB；由特殊情况进行分类讨论即可判断CD. 【详解】由，得， 由于，则令，即， 设，， 则， 当时，，单调递减， 且时，，时，， 当时，，单调递增， 且时，， 当时，，单调递减， 且时，， 作出函数的图象如图， 则，故A正确； 当时，，， 所以在上单调递减，故B错误； 由于， 由图可知，若，则，不符合； 若，则，符合，满足题意，此时，故C正确； 而，则，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题可知， 解得， 所以，又， 则. 13. 已知，则__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】利用同角关系式可求得，利用诱导公式可得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简转化为至少有2个不同的根，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，结合得出参数范围. 【详解】因为不是方程的根， 又，故，方程化为， 记，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以原命题等价于在上至少有2个不同的根， 所以或，即或， 令，则， 所以单调递增；单调递减； 且当，当，当， 所以，作出函数的草图： 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有两个交点，与有一个交点，所以或有三个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有两个交点，所以或有三个根符合题意； 所以或， 所以实数a的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率．某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该学校的男教师中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能认为性别与使用AI熟练度有关． （2）分布列为 0 1 2 ，期望． 【解析】 【分析】（1）由列联表数据求卡方值，再由独立性检验的基本思想得到结论； （2）由题设X的可能取值为0，1，2，并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： 能熟练使用 不能熟练使用 合计 男教师 40 10 50 女教师 30 20 50 合计 70 30 100 所以，故不能认为性别与使用AI熟练度有关； 【小问2详解】 分层抽样抽取15名男教师，其中能熟练使用人，不能熟练使用3人， 所以X的可能取值为0，1，2，且，，， 分布列如下： 0 1 2 期望. 16. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为. （1）求； （2）为边上一点，满足，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）先判断三角形的形状，再根据余弦定理求. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理可得： , 又，所以 所以 ， 因为为三角形内角，故，所以. 因为是三角形内角，所以，所以. 【小问2详解】 如图： 因为，所以. 由余弦定理：. 所以. 所以为等边三角形. 又，所以. 在中，. 所以. 17. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接，因为，所以，又，点是的中点， 在中，，，所以， 因为是边长为2的等边三角形，点是的中点， 所以， 已知，在中，，所以， 因为平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形中线的性质和勾股定理证得，根据线面垂直的判定定理证得结果； （2）利用空间向量法计算线面夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 点是线段上一点，且由题意可得M与B不重合， 设， 所以， ， 由题，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 因为二面角为，所以， 即，所以， 于是，，， 设直线与平面所成角为，所以 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2） （ⅰ）0； （ⅱ）证法一：∵，中点坐标为， ∴垂直平分线方程为， 由得，垂直平分线方程为①． 同理得，垂直平分线方程为②． 由可得，即， ①+②得：， ∴， 由②-①得：， ∵直线过点，∴，即， ∴，故， ∴， ∵，∴，故． 证法二：设圆， ∵在圆上，∴ ∵直线与圆交于， ∴联立得（*），其中是方程（*）的两根． 由（ⅰ）可知是方程的两根， 此两方程为同解方程，则有， 解得， ∴圆心， ∴， ∵，∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到的值，利用离心率可得椭圆标准方程. （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理可得的值. （ⅱ）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点的坐标，计算直线的斜率，利用斜率之积为可证明结论. 【小问1详解】 当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线， 联立方程消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴． （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（ⅱ）的关键是掌握三角形外心的特征，根据三角形两边垂直平分线的交点计算外心坐标，表示直线的斜率即可证明结论. 19. 已知函数 ，设函数. （1）当时，求的极值点; （2）证明:当时， （3）若对任意，都有 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，无极大值点 （2）， ， 在单调递增， 取且，则， 取且，则，则， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 即， 两边取对数： ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 代入， ， 由基本不等式，， 当且仅当即取等， 。 因此. （3） 【解析】 【分析】易得，再利用导数法求解； 由可知，当时，存在唯一的，使得，为极小点，则由证明； 设，转化为恒成立和恒成立求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得，， 函数在单调递增，在单调递增， 故在单调递增， 又， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值点为，无极大值点. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 令， 代入，，， ， 得，于是， 题意等价于： ①先处理不等式：设恒成立， 当时，取， ， 不满足条件，故， ②处理不等式：变形， 记，则对恒成立， 求导： ， 令,得或， 当时，，在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，，， 在大于，在小于， 在单调递增，单调递减，故，恒成立， 当时，， 在小于，在大于，在小于， 在单调递减，单调递增，单调递减， ，，满足， 当时，，不满足， 综上，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $