广西柳州市柳城县中学2026-2027学年高二上学期11月期中检测数学试题

2026年秋季学期高二期中检测 数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．（5分）已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（5分）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量．若，则（ ） A． B． C． D． 3．（5分）已知，，，，的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 4．（5分）已知两点，，若直线的倾斜角为135°，则的值为（ ） A．-6 B．6 C．-4 D．4 5．（5分）已知，且是第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 6．（5分）直线与圆相交于、两点，则（ ） A． B． C． D． 7．（5分）已知过点的直线与抛物线交于，两点，且，点满足，点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题．若曲线C：，且点，分别在曲线和圆：上，则，两点间的最大距离为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（6分）已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A．在复平面内对应的点在第一象限 B．的虚部为 C． D． 10．（6分）下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 11．（6分）在长方体中，，，为的中点，点满足，则（ ） A．若为的中点，则三棱锥体积为定值 B．存在点使得 C．当时，平面截长方体所得截面的面积为 D．若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 三、填空题（共15分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．（5分）已知直线：和：，若，则实数_____________． 13．（5分）已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是_____________． 14．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为_____________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知直线l过点，点O是坐标原点． （1）若直线l与直线垂直，求直线l方程 （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程 16．（15分）已知两个定点、，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E， （1）求曲线E的方程； （2）过点的直线l与曲线E相交于M、N两点，且，求直线l的方程． 17．（本题15分）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示． （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率（写出计算过程）； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数（写出计算过程）； （3）估计测评成绩的分位数．（写出计算过程） 18．（17分）如图，在直角梯形中，，，，，点B是线段的中点．将，分别沿，向上折起，使，重合于点O，得到三棱锥，且，在三棱锥中解答下列问题． （1）求三棱锥的体积； （2）记的中点为，求异面直线与所成角的余弦； （3）记的重心为，求平面和平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知双曲线：经过点，，右顶点为． （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线交于，两点． （i）是否存在直线，使得与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （ii）直线，分别与轴交于，两点，记的中点为，轴上是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年秋季学期高二期中检测（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C D C C AD BCD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．（1） （2）或 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求解即可； （2）根据截距是否为0进行分类讨论求解答案即可． 【详解】（1）因为直线l与直线垂直，直线即，斜率为， 所以直线l斜率为， 又因为直线l过点，所以直线l方程为，即 （2）因为直线l在两坐标轴上的截距相等，且直线l过点 所以当截距为0时，直线l方程为， 当截距不为0时，设直线l方程为， 代入点，得，得，所以直线l方程为，即， 所以直线l方程为或 16．（1）； （2）或． 【分析】（1）结合两点距离公式求轨迹方程即可； （2）根据圆中的弦长公式结合点斜式计算即可． 【详解】（1）设，则，， 因为，则， 整理得， 即曲线E的方程为：； （2） 不妨设l：，如上图所示，设曲线E是以B为圆心的圆， 由（1）知，半径为2， 取中点，则， 由，则， 即圆心到直线l的距离，解之得或， 所以l的方程为：或． 17．（1）0.2 （2）25人 （3）78.75 【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值； （2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间内的人数； （3）测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在哪个区间，再通过频率求出． 【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2． （2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：，则分数在区间内的人数为：人． 则总体中分数在区间内的人数为：人． （3）由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8，则测评成绩的75%分位数落在区间上，则测评成绩的75%分位数为． 18．（1） （2） （3） 【分析】（1）由折起前后图形的联系，得线段，，的长度，进而可得； （2）由空间向量法求线线角； （3）由空间向量法求面面角． 【详解】（1）由题知：，，所以， 所以在三棱锥中， 所以在直角梯形中，取的中点E，则是直角三角形， 所以，，解得，故， 所以， （2）由（1）知：，，又： 以为坐标原点，以，，的方向分别作为轴，轴，轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 设异面直线与所成角为， 所以， （3） 由题知： 所以， 设为平面的法向量， 由可得：，令得： 为平面的法向量， 设平面和平面夹角为，所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 19．（1） （2）（i）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 由题可知，直线l的斜率存在，设直线l：， 与C的方程联立， 得， 由题，，得，且， 设，，则，， 由，得方程无解， 所以不存在直线l，使得与的面积相等． （ii）存在， 【分析】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）（i）设l：，将其与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据面积相等，得到方程，解出即可； （ii）设，，计算，从而得到中点坐标，再求出圆的方程即可． 【详解】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的方程为． （2）（i）略 （ii）存在，使得，，，四点共圆，理由如下： 设，，又，所以AM：， 令得，同理可得， 故， 又 ， ， 所以， 所以的中点为， 线段的中垂线为，线段的中垂线为，即， 联立，得外接圆圆心为，半径， 故外接圆的方程为， 令，得或2，故存在，使得，，，四点共圆． 学科网（北京）股份有限公司 $