宁夏育才中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

宁夏育才中学2026-2027学年第一学期高一年级期中考试 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 命题人：刘薇 审题人：赵亚娣 王海龙 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，那（     ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，那么命题的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．若，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（     ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 6．已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如右图，其对应的函数可能是（     ） A． B． C． D． 8．若函数且在上为减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．是减函数 C．已知，“且”是“”的充分不必要条件 D．函数的值域为 11．给定函数，，用表示，中较小者，记为对于函数，则下列结论正确的是（     ） A．增区间为 B．值域为 C．， D．若有三解，则 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知幂函数在上单调递增，则_____. 13．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 14．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算： (1)； (2)已知，求的值. 16．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)作出函数的图象，并求函数在上的解析式； (2)写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； 17．（15分）已知是一次函数且为增函数，且，满足， (1)求和的解析式； (2)令函数，求函数在上的最小值. 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； (3)已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 19．（17分）某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1. 设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若．求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，且，求的最小值． ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高一数学期中考试试卷答案》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D C A B A AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】因为集合，集合，故. 2．C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】因为命题为：，， 所以为：，， 故选：C 3．B 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：B. 4．D 【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数的取值范围. 【详解】由题意，得函数的图象的对称轴为直线．∵函数在区间上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是． 故选:D． 5. C 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 【详解】因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 6．A 【分析】先将恒成立问题转化为求函数最值，再利用基本不等式求函数最值，最后解关于实数的不等式即可. 【详解】因为恒成立，所以. 又因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以. 故选：A. 7．B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 8．A 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 9．AC 对于A，令，其定义域为，且，即，所以是偶函数，又时，，故在上单调递增，故A当选； 对于B，由，定义域为R且为奇函数，不符合题意；故B错； 对于C，令，其定义域为，且，即是偶函数，且在上单调递增，故C当选； 对于D： 是偶函数，在 上是减函数，故D错误. 10．ACD 【分析】对于A，因为，所以．又因为，所以，故A正确； 对于选项，根据抽象函数定义域的求解方法得到答案；对于B选项，两函数定义域不同，B错误；对于C选项，先得到，求出，得到值域；对于D选项，由函数单调性定义得到D错误. 【详解】对于A选项，由题意得，则，故函数的定义域为，A正确； 对于B选项，的定义域为，又在上单调递减， 又，，，，故在定义域上不单调递减，B错误. 选项C：若且，则；取，，满足但， 故“且”是“”的充分不必要条件，C正确. 对于D选项，由于，故，所以，则的值域为，D正确； 11．ABD 【分析】先作出两个函数图像，根据定义求出的图像，即可求得结果. 【详解】作出函数，的图像如图： ， 因为表示，中较小者， 所以当时，即，即， 当时，即，即或， 当时，此时或， 可得到的图像如图： ， 由图像可得增区间为，值域为，故选项A、B正确； ，，故选项C错误； 若有三解，即与有三个交点，则，故选项D正确； 故选：ABD. 12．8 【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 13． 【分析】由不等式的解集为，即方程的两个实数根为，可求出，然后代入不等式，可得答案. 【详解】不等式的解集为. 所以是方程的两个实数根，且. 则，所以. 不等式即为，也即是.解得：. 故答案为： 【点睛】本题考查解二次不等式，考查二次方程与二次不等式之间的关系，属于基础题. 14． 【分析】奇函数在上单调递减，故得到在上单调递减， 解不等式即可. 【详解】因为在上单调递减且是奇函数，则在上单调递减, 可得在上是单调递减的. 因为且是奇函数，即, 所以， 解得， 所以的取值范围. 故答案为: 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据幂指数运算法则计算得解. （2）利用指数运算法则化简求解. 【详解】(1)； .（2）由，得，， 所以 16．(1) . (2)单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可；根据奇函数的性质求出函数的解析式. （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； 【详解】（1）（图略） 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. （2）由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 17．(1)，； (2)当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为. 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求得；利用配凑法求出. （2）由（1）的信息求出，再按对称轴与区间的位置关系分类求出最小值. 【详解】（1）由是一次递增函数，设，则， 而，因此，又，则，； 由，得，则， 所以和的解析式分别为，. （2）由（1）得，， 当，即时，函数在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递减，； 当时，， 所以当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 18．(1) 函数为奇函数. 证明：定义域，因为，都有， 且， 所以函数为奇函数. (2) 函数在区间上单调递增. 任取，，则 因为,，，所以， 即，所以函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数定义证明； （2）根据单调性定义证明； （3）作出的图象，观察图象得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）的范围，理由如下： 先证明函数在区间上单调递减. 任取，， 则， 因为，，，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下：    计算可知：， 由图可知， 当时，的值域为，的取值范围为. 19．(1)4 (2) 函数的定义域为， ， ， 当且仅当时取等号，因此恒成立，所以二次函数是上凸函数． (3) 【分析】（1）根据下凹函数的概念以及满足的不等式，代入参数，列出不等式，进而根据指数函数的性质，求出参数范围，求出最大值. （2）根据二次函数性质，通过作差法比较与的大小关系，从而证明结果. （3）现根据定义，证明函数为下凹函数，再根据下凹函数满足的不等式性质，列出不等式，从而证明不等式即可. 【详解】（1）由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，则，即，所以的最大值是4． （2）略 （3）令，，设， 则 ， 即， 于是函数，在上为下凸函数， 依题意，， 因为，可得， 则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 答案第2页（共10页） 答案第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $