3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 3 章 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 人教A版2019选择性必修第一册 目录 C A T A L O G 01.椭圆的定义与轨迹 02.椭圆的标准方程 03.焦点距离与定义应用 04.求椭圆的标准方程 05.轨迹问题与随堂检测 导入新知 一根细绳，两个图钉 绳长固定，用笔尖把绳子拉直，绕行一周就画出一条封闭曲线。 P 到 、 的距离之和 始终是 ，即一个常数。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　导入与目标　·　03/55　·　步 1/2 导入新知 一根细绳，两个图钉 绳长固定，用笔尖把绳子拉直，绕行一周就画出一条封闭曲线。 P 到 、 的距离之和 始终是 绳长 ，即一个常数。 关键问题： 与 谁大谁小？ 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　导入与目标　·　03/55　·　步 2/2 学习目标 1．结合画椭圆的实验理解椭圆的定义，能指出椭圆的焦点与焦距，会依据定义判断动点的轨迹是否为椭圆。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　导入与目标　·　04/55　·　步 1/3 学习目标 1．结合画椭圆的实验理解椭圆的定义，能指出椭圆的焦点与焦距，会依据定义判断动点的轨迹是否为椭圆。 2．经历建立坐标系推导椭圆标准方程的过程，掌握焦点在 x 轴与 y 轴上的两种标准方程，会由方程求出 a、b、c 与焦点坐标。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　导入与目标　·　04/55　·　步 2/3 学习目标 1．结合画椭圆的实验理解椭圆的定义，能指出椭圆的焦点与焦距，会依据定义判断动点的轨迹是否为椭圆。 2．经历建立坐标系推导椭圆标准方程的过程，掌握焦点在 x 轴与 y 轴上的两种标准方程，会由方程求出 a、b、c 与焦点坐标。 3．会用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，能处理焦点位置未定与含参数的情形，会求与椭圆有关的简单轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　导入与目标　·　04/55　·　步 3/3 3.1.1 椭圆及其标准方程 01 椭圆的定义与轨迹 学习新知 定义　平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　06/55　·　步 1/3 学习新知 定义　平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 记 （ ），常数为 。 则椭圆上任一点 P 都满足 ，并且 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　06/55　·　步 2/3 学习新知 定义　平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离的和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 记 （ ），常数为 。 则椭圆上任一点 P 都满足 ，并且 。 为什么强调“大于”：P 不在直线上时两边之和大于第三边；P 落在线段上时，和恰等于 |F₁F₂|。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　06/55　·　步 3/3 应用新知 考点：用定义判断轨迹 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。（　） (2) 已知 、 ，动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹是椭圆。（　） 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　07/55　·　步 1/2 应用新知 考点：用定义判断轨迹 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。（　） (2) 已知 、 ，动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹是椭圆。（　） （1）×。定义要求常数严格大于 |F₁F₂|，否则轨迹不是椭圆。 （2）√。常数 10 大于 |F₁F₂|=6，符合定义，轨迹是以 F₁、F₂ 为焦点的椭圆。 追问：把常数改成 6——满足条件的点全在线段 F₁F₂ 上，轨迹是线段。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　07/55　·　步 2/2 学习新知 记 （ ），常数 与 的大小关系决定轨迹的形状： 常数与焦距的关系 点 P 的轨迹 2a > 2c 以 F₁、F₂ 为焦点的椭圆 2a = 2c 线段 F₁F₂ 2a < 2c 轨迹不存在 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　08/55　·　步 1/3 学习新知 记 （ ），常数 与 的大小关系决定轨迹的形状： 常数与焦距的关系 点 P 的轨迹 2a > 2c 以 F₁、F₂ 为焦点的椭圆 2a = 2c 线段 F₁F₂ 2a < 2c 轨迹不存在 依据：P 不在直线 F₁F₂ 上时，三角形两边之和大于第三边；P 落在线段 F₁F₂ 上时，两边之和恰等于第三边。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　08/55　·　步 2/3 学习新知 记 （ ），常数 与 的大小关系决定轨迹的形状： 常数与焦距的关系 点 P 的轨迹 2a > 2c 以 F₁、F₂ 为焦点的椭圆 2a = 2c 线段 F₁F₂ 2a < 2c 轨迹不存在 依据：P 不在直线 F₁F₂ 上时，三角形两边之和大于第三边；P 落在线段 F₁F₂ 上时，两边之和恰等于第三边。 判断轨迹三步：一算焦距 2c，二比常数与 2c 的大小，三看动点能否落在焦点连线上。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　定义与轨迹　·　08/55　·　步 3/3 3.1.1 椭圆及其标准方程 02 椭圆的标准方程 学习新知 求曲线的方程要把图形放进坐标系。把 F₁、F₂ 放在 x 轴上， 并使线段 F₁F₂ 的中点成为原点，于是可设 、 （ ）。 再设椭圆上任意一点为 ，由定义 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　10/55　·　步 1/3 学习新知 求曲线的方程要把图形放进坐标系。把 F₁、F₂ 放在 x 轴上， 并使线段 F₁F₂ 的中点成为原点，于是可设 、 （ ）。 再设椭圆上任意一点为 ，由定义 。 用两点间距离公式表示这两个距离： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　10/55　·　步 2/3 学习新知 求曲线的方程要把图形放进坐标系。把 F₁、F₂ 放在 x 轴上， 并使线段 F₁F₂ 的中点成为原点，于是可设 、 （ ）。 再设椭圆上任意一点为 ，由定义 。 用两点间距离公式表示这两个距离： 为什么这样建系：以焦点连线的中垂线为 y 轴，两个焦点关于原点对称，根式里的数最简。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　10/55　·　步 3/3 学习新知 把一个根式移到右边，两边平方并整理： 去根号：移一个、平方一次，再移、再平方。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　11/55　·　步 1/3 学习新知 把一个根式移到右边，两边平方并整理： 去根号：移一个、平方一次，再移、再平方。 第二次平方，把含 x²、y² 的项归到左边： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　11/55　·　步 2/3 学习新知 把一个根式移到右边，两边平方并整理： 去根号：移一个、平方一次，再移、再平方。 第二次平方，把含 x²、y² 的项归到左边： 令 （ ），两边同除以 ： 为什么同除 a²b²：右边化成 1，两个分母才是 a² 与 b²。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　11/55　·　步 3/3 学习新知 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： 其中 ，两个焦点的坐标是 、 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　12/55　·　步 1/3 学习新知 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： 其中 ，两个焦点的坐标是 、 。 三个量的关系： ，其中 a 最大；焦距是 2c，不是 c。 反过来，满足这个方程的任意一点到两焦点的距离之和都等于 2a，所以它就是椭圆的方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　12/55　·　步 2/3 学习新知 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： 其中 ，两个焦点的坐标是 、 。 三个量的关系： ，其中 a 最大；焦距是 2c，不是 c。 反过来，满足这个方程的任意一点到两焦点的距离之和都等于 2a，所以它就是椭圆的方程。 易错：a>b>0 与“右边等于 1”都是标准方程的一部分。 a² 在哪一项上，焦点就在哪条轴上，与谁写在前面无关。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　12/55　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 已知 ，则椭圆的标准方程是 。（　） (2) 椭圆 的焦距为 。（　） 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　13/55　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 已知 ，则椭圆的标准方程是 。（　） (2) 椭圆 的焦距为 。（　） （1）×。a、b 只定形状，焦点所在轴未定，还可能写成焦点在 y 轴上的方程。 （2）√。16>9，故 a²=16、b²=9，c²=16−9=7，c=√7，焦距 2c=2√7。 方法：先比大小定 a²，再用 a²=b²+c² 求 c，最后按 a² 所在项定焦点轴。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　13/55　·　步 2/2 学习新知 把两个焦点改放在 y 轴上，即 、 ， 重复上面的推导，只要把 x 与 y 互换位置： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　14/55　·　步 1/3 学习新知 把两个焦点改放在 y 轴上，即 、 ， 重复上面的推导，只要把 x 与 y 互换位置： 项目 焦点在 x 轴 焦点在 y 轴 a² 在哪一项 x² y² 焦点坐标 (−c,0)、(c,0) (0,−c)、(0,c) 焦距 2c 2c 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　14/55　·　步 2/3 学习新知 把两个焦点改放在 y 轴上，即 、 ， 重复上面的推导，只要把 x 与 y 互换位置： 项目 焦点在 x 轴 焦点在 y 轴 a² 在哪一项 x² y² 焦点坐标 (−c,0)、(c,0) (0,−c)、(0,c) 焦距 2c 2c 判断焦点在哪条轴：只看哪个分母大，大分母是 a²，它在哪一项，焦点就在哪条轴上。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　14/55　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 椭圆 的焦点在 x 轴上。（　） (2) 方程 表示椭圆的条件是 且 。（　） 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　15/55　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 椭圆 的焦点在 x 轴上。（　） (2) 方程 表示椭圆的条件是 且 。（　） （1）×。9>4，故 a²=9 在 y² 项上，焦点在 y 轴上，c²=9−4=5。 （2）×。还须 m≠n。取 m=n=2，方程成为 x²+y²=2，由 2.4.1 它表示圆。 辨析：x²、y² 的系数同为正且不相等，曲线才可能是椭圆。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　15/55　·　步 2/2 例题精讲 考点：由标准方程读焦点坐标 例 1 椭圆 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　16/55　·　步 1/3 例题精讲 考点：由标准方程读焦点坐标 例 1 椭圆 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 25>16，故 a²=25 在 y² 项上，b²=16，c²=25−16=9，c=3， 焦点在 y 轴上，坐标为 、 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　16/55　·　步 2/3 例题精讲 考点：由标准方程读焦点坐标 例 1 椭圆 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 25>16，故 a²=25 在 y² 项上，b²=16，c²=25−16=9，c=3， 焦点在 y 轴上，坐标为 、 。 答案　B 点评：看分母大小定轴，不看谁写在前面；焦距是 2c。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　16/55　·　步 3/3 变式训练 考点：由标准方程读焦点坐标 变式 1 求椭圆 的焦距与焦点坐标。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　17/55　·　步 1/4 变式训练 考点：由标准方程读焦点坐标 变式 1 求椭圆 的焦距与焦点坐标。 两边同除以 12，把右边化成 1： 　此时 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　17/55　·　步 2/4 变式训练 考点：由标准方程读焦点坐标 变式 1 求椭圆 的焦距与焦点坐标。 两边同除以 12，把右边化成 1： 　此时 a² 在 x² 项上，焦点在 x 轴上，且 ，焦距 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　17/55　·　步 3/4 变式训练 考点：由标准方程读焦点坐标 变式 1 求椭圆 的焦距与焦点坐标。 两边同除以 12，把右边化成 1： 　此时 a² 在 x² 项上，焦点在 x 轴上，且 ，焦距 焦距为 2，焦点为 、 。 点评：系数不是 1 时先同除常数项；右边不是 1 就不能直接读分母。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　17/55　·　步 4/4 方法归纳 考点：由标准方程读焦点坐标 ① 化：把方程化成右边为 1 的形式； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　18/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：由标准方程读焦点坐标 ① 化：把方程化成右边为 1 的形式； ② 比：比较两个分母，较大者是 a²，它在哪一项焦点就在哪条轴上； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　18/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：由标准方程读焦点坐标 ① 化：把方程化成右边为 1 的形式； ② 比：比较两个分母，较大者是 a²，它在哪一项焦点就在哪条轴上； ③ 算：由 c²=a²−b² 求 c，按轴写出 (±c,0) 或 (0,±c)。 a 最大：a²=b²+c²；把 c² 记成 a²+b² 会算错焦点。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　标准方程　·　18/55　·　步 3/3 3.1.1 椭圆及其标准方程 03 焦点距离与定义应用 学习新知 方程定了 a、b、c，椭圆上任一点 P 到两焦点的距离就满足两个关系： (1) 和为定值： ，与 P 的位置无关； (2) 知一求二： ，两段互相确定。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　20/55　·　步 1/3 学习新知 方程定了 a、b、c，椭圆上任一点 P 到两焦点的距离就满足两个关系： (1) 和为定值： ，与 P 的位置无关； (2) 知一求二： ，两段互相确定。 (3) 取值范围：由三角形两边之差小于第三边， ，所以 ，最小、最大在曲线与焦点连线的交点处取到。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　20/55　·　步 2/3 学习新知 方程定了 a、b、c，椭圆上任一点 P 到两焦点的距离就满足两个关系： (1) 和为定值： ，与 P 的位置无关； (2) 知一求二： ，两段互相确定。 (3) 取值范围：由三角形两边之差小于第三边， ，所以 ，最小、最大在曲线与焦点连线的交点处取到。 用途：求出的距离要落在这个区间内；落在区间外，说明满足条件的点 P 不存在。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　20/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：由定义写出距离之和 例 2 设 P 是椭圆 上的动点，则 P 到该椭圆两个焦 点的距离之和为（　） A． B． C． D． 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　21/55　·　步 1/3 例题精讲 考点：由定义写出距离之和 例 2 设 P 是椭圆 上的动点，则 P 到该椭圆两个焦 点的距离之和为（　） A． B． C． D． 5>3，故 a²=5、b²=3，焦点在 x 轴上，a=√5。由定义： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　21/55　·　步 2/3 例题精讲 考点：由定义写出距离之和 例 2 设 P 是椭圆 上的动点，则 P 到该椭圆两个焦 点的距离之和为（　） A． B． C． D． 5>3，故 a²=5、b²=3，焦点在 x 轴上，a=√5。由定义： 答案　C 点评：距离之和取 2a；2b、2c 是另外两个量，不能混用。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　21/55　·　步 3/3 变式训练 考点：由定义写出距离之和 变式 2 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 ＝＿＿＿。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　22/55　·　步 1/4 变式训练 考点：由定义写出距离之和 变式 2 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 ＝＿＿＿。 a=5，故 2a=10。把定义与条件联立： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　22/55　·　步 2/4 变式训练 考点：由定义写出距离之和 变式 2 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 ＝＿＿＿。 a=5，故 2a=10。把定义与条件联立： 检验范围： ，而 ，故成立。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　22/55　·　步 3/4 变式训练 考点：由定义写出距离之和 变式 2 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 ＝＿＿＿。 a=5，故 2a=10。把定义与条件联立： 检验范围： ，而 ，故成立。 答案　 。 点评：求单个距离靠“和为 2a”，解出后还要落在 [a−c, a+c] 内。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　22/55　·　步 4/4 方法归纳 考点：由定义写出距离之和 ① 只问距离之和：直接写 2a，不必把两段都求出来； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　23/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：由定义写出距离之和 ① 只问距离之和：直接写 2a，不必把两段都求出来； ② 已知一段求另一段：用 |PF₂|=2a−|PF₁|； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　23/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：由定义写出距离之和 ① 只问距离之和：直接写 2a，不必把两段都求出来； ② 已知一段求另一段：用 |PF₂|=2a−|PF₁|； ③ 两段都要：把和式与另一个条件联立解方程组。 解出的距离还要落在 [a−c, a+c] 内，否则这样的点 P 不存在。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　23/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：垂直条件与焦点距离 例 3 已知 F₁、F₂ 是椭圆 的两个焦点，点 P 在 C 上， 若 ，求 的值。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　24/55　·　步 1/5 例题精讲 考点：垂直条件与焦点距离 例 3 已知 F₁、F₂ 是椭圆 的两个焦点，点 P 在 C 上， 若 ，求 的值。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　24/55　·　步 2/5 例题精讲 考点：垂直条件与焦点距离 例 3 已知 F₁、F₂ 是椭圆 的两个焦点，点 P 在 C 上， 若 ，求 的值。 数量积为 0 即 PF₁⊥PF₂，由勾股定理： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　24/55　·　步 3/5 例题精讲 考点：垂直条件与焦点距离 例 3 已知 F₁、F₂ 是椭圆 的两个焦点，点 P 在 C 上， 若 ，求 的值。 数量积为 0 即 PF₁⊥PF₂，由勾股定理： 又由定义 |PF₁|+|PF₂|=2√5，两边平方得： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　24/55　·　步 4/5 例题精讲 考点：垂直条件与焦点距离 例 3 已知 F₁、F₂ 是椭圆 的两个焦点，点 P 在 C 上， 若 ，求 的值。 数量积为 0 即 PF₁⊥PF₂，由勾股定理： 又由定义 |PF₁|+|PF₂|=2√5，两边平方得： 两式相减得 ，即 。 点评：和与平方和各占一个式子，相减就得到乘积，不必求点 P 的坐标。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　24/55　·　步 5/5 变式训练 考点：垂直条件与焦点距离 变式 3 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，求 的面积。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　25/55　·　步 1/4 变式训练 考点：垂直条件与焦点距离 变式 3 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，求 的面积。 a=5、b=3、c=4：由定义得距离之和为 10，由直角得平方和为 64， 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　25/55　·　步 2/4 变式训练 考点：垂直条件与焦点距离 变式 3 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，求 的面积。 a=5、b=3、c=4：由定义得距离之和为 10，由直角得平方和为 64， 　恰为 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　25/55　·　步 3/4 变式训练 考点：垂直条件与焦点距离 变式 3 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，求 的面积。 a=5、b=3、c=4：由定义得距离之和为 10，由直角得平方和为 64， 　恰为 面积　9 点评：直角三角形面积用两直角边相乘；乘积由和的平方减平方和取得。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　25/55　·　步 4/4 方法归纳 考点：垂直条件与焦点距离 ① 写和：由方程定 a，得 |PF₁|+|PF₂|=2a； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　26/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：垂直条件与焦点距离 ① 写和：由方程定 a，得 |PF₁|+|PF₂|=2a； ② 写平方和：由 PF₁⊥PF₂ 得 |PF₁|²+|PF₂|²=4c²； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　26/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：垂直条件与焦点距离 ① 写和：由方程定 a，得 |PF₁|+|PF₂|=2a； ② 写平方和：由 PF₁⊥PF₂ 得 |PF₁|²+|PF₂|²=4c²； ③ 两式相减得乘积，再代入面积公式或求单个距离。 焦点距离问题只列一个和式不够，还要配一个平方关系。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　焦点距离　·　26/55　·　步 3/3 3.1.1 椭圆及其标准方程 04 求椭圆的标准方程 学习新知 同一个椭圆上， 把三个量联系在一起，知道其中两个就能求出第三个。 求标准方程有两条常用途径。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　28/55　·　步 1/4 学习新知 同一个椭圆上， 把三个量联系在一起，知道其中两个就能求出第三个。 求标准方程有两条常用途径。 途径一（定义法）：已知两焦点与椭圆上一点，先算该点到两焦点的距离之和得 2a，再由 b²=a²−c² 求 b²。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　28/55　·　步 2/4 学习新知 同一个椭圆上， 把三个量联系在一起，知道其中两个就能求出第三个。 求标准方程有两条常用途径。 途径一（定义法）：已知两焦点与椭圆上一点，先算该点到两焦点的距离之和得 2a，再由 b²=a²−c² 求 b²。 途径二（待定系数法）：一定焦点所在轴，二设标准方程，三解 a² 与 b²，四检验 a>b>0 及焦点位置。 焦点位置未定时，统一设 （ ）。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　28/55　·　步 3/4 学习新知 同一个椭圆上， 把三个量联系在一起，知道其中两个就能求出第三个。 求标准方程有两条常用途径。 途径一（定义法）：已知两焦点与椭圆上一点，先算该点到两焦点的距离之和得 2a，再由 b²=a²−c² 求 b²。 途径二（待定系数法）：一定焦点所在轴，二设标准方程，三解 a² 与 b²，四检验 a>b>0 及焦点位置。 焦点位置未定时，统一设 （ ）。 提醒：位置未定时只设一种形式，会漏掉另一种答案。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　28/55　·　步 4/4 例题精讲 考点：定义法求标准方程 例 4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ，求它的标准方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　29/55　·　步 1/4 例题精讲 考点：定义法求标准方程 例 4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ，求它的标准方程。 焦点在 x 轴上且 c=2。由定义，2a 等于该点到两焦点的距离之和： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　29/55　·　步 2/4 例题精讲 考点：定义法求标准方程 例 4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ，求它的标准方程。 焦点在 x 轴上且 c=2。由定义，2a 等于该点到两焦点的距离之和： 所以 ， 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　29/55　·　步 3/4 例题精讲 考点：定义法求标准方程 例 4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ，求它的标准方程。 焦点在 x 轴上且 c=2。由定义，2a 等于该点到两焦点的距离之和： 所以 ， 。 标准方程为 。 点评：焦点给出轴与 c，定义给出 a，最后只剩一次减法。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　29/55　·　步 4/4 变式训练 考点：定义法求标准方程 变式 4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在 轴上， ；(2) 焦点在 轴上， 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　30/55　·　步 1/3 变式训练 考点：定义法求标准方程 变式 4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在 轴上， ；(2) 焦点在 轴上， 。 (1) 焦点在 x 轴上，先求 b²： 注意：a 总在较大分母上；(2) 中 a² 是 y² 的分母。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　30/55　·　步 2/3 变式训练 考点：定义法求标准方程 变式 4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在 轴上， ；(2) 焦点在 轴上， 。 (1) 焦点在 x 轴上，先求 b²： 注意：a 总在较大分母上；(2) 中 a² 是 y² 的分母。 (2) 焦点在 y 轴上，先求 a²： 点评：知二求一：先定 a² 在哪一项，再算另一个，最后检验 a>b>0。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　30/55　·　步 3/3 方法归纳 考点：定义法求标准方程 ① 由焦点坐标定焦点所在轴，并读出 c； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　31/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：定义法求标准方程 ① 由焦点坐标定焦点所在轴，并读出 c； ② 用两点间距离公式算该点到两焦点的距离之和，得 2a； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　31/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：定义法求标准方程 ① 由焦点坐标定焦点所在轴，并读出 c； ② 用两点间距离公式算该点到两焦点的距离之和，得 2a； ③ 由 b²=a²−c² 求 b²，按所在轴写出标准方程。 用定义求 2a，通常比把点代入方程再解方程组省运算。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　31/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：待定系数法与对称点 例 5 已知椭圆 （ ），点 、 、 、 中恰有三点在 C 上，求 C 的方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　32/55　·　步 1/4 例题精讲 考点：待定系数法与对称点 例 5 已知椭圆 （ ），点 、 、 、 中恰有三点在 C 上，求 C 的方程。 定形：P₃ 与 P₄ 关于 y 轴对称，代入方程得到的条件完全一样，两点同在或同不在。 若两点都不在，则至多只有 P₁、P₂ 在 C 上，与“恰有三点”矛盾，故 P₃、P₄ 都在 C 上。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　32/55　·　步 2/4 例题精讲 考点：待定系数法与对称点 例 5 已知椭圆 （ ），点 、 、 、 中恰有三点在 C 上，求 C 的方程。 定形：P₃ 与 P₄ 关于 y 轴对称，代入方程得到的条件完全一样，两点同在或同不在。 若两点都不在，则至多只有 P₁、P₂ 在 C 上，与“恰有三点”矛盾，故 P₃、P₄ 都在 C 上。 第三点只能是 （若 也在则四点都在）。代入： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　32/55　·　步 3/4 例题精讲 考点：待定系数法与对称点 例 5 已知椭圆 （ ），点 、 、 、 中恰有三点在 C 上，求 C 的方程。 定形：P₃ 与 P₄ 关于 y 轴对称，代入方程得到的条件完全一样，两点同在或同不在。 若两点都不在，则至多只有 P₁、P₂ 在 C 上，与“恰有三点”矛盾，故 P₃、P₄ 都在 C 上。 第三点只能是 （若 也在则四点都在）。代入： 所以 C 的方程为 ，满足 。 点评：把 a²、b² 当未知数，代入点坐标得到的是二元一次方程组。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　32/55　·　步 4/4 变式训练 考点：待定系数法与对称点 变式 5 求焦点在 轴上，且经过点 与 的椭圆的标准方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　33/55　·　步 1/4 变式训练 考点：待定系数法与对称点 变式 5 求焦点在 轴上，且经过点 与 的椭圆的标准方程。 焦点在 x 轴上，设标准方程并代入两个点： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　33/55　·　步 2/4 变式训练 考点：待定系数法与对称点 变式 5 求焦点在 轴上，且经过点 与 的椭圆的标准方程。 焦点在 x 轴上，设标准方程并代入两个点： 检验： 与焦点在 x 轴一致；两点各定一个分母。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　33/55　·　步 3/4 变式训练 考点：待定系数法与对称点 变式 5 求焦点在 轴上，且经过点 与 的椭圆的标准方程。 焦点在 x 轴上，设标准方程并代入两个点： 检验： 与焦点在 x 轴一致；两点各定一个分母。 所求方程为 。 点评：点在坐标轴上时代入只剩一项，是求分母最省事的情形。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　33/55　·　步 4/4 例题精讲 考点：焦点位置未定的设法 例 6 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且经过 、 两点，求 E 的方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　34/55　·　步 1/4 例题精讲 考点：焦点位置未定的设法 例 6 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且经过 、 两点，求 E 的方程。 焦点位置未定，设 E 为 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），代入两点： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　34/55　·　步 2/4 例题精讲 考点：焦点位置未定的设法 例 6 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且经过 、 两点，求 E 的方程。 焦点位置未定，设 E 为 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），代入两点： 　此时 ，a²=4 在 y² 项上。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　34/55　·　步 3/4 例题精讲 考点：焦点位置未定的设法 例 6 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且经过 、 两点，求 E 的方程。 焦点位置未定，设 E 为 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），代入两点： 　此时 ，a²=4 在 y² 项上。 点评：解出 m、n 后还要比大小确认焦点轴，与所设一致才收尾。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　34/55　·　步 4/4 变式训练 考点：焦点位置未定的设法 变式 6 求经过两点 与 的椭圆的标准方程（焦点位置未定）。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　35/55　·　步 1/4 变式训练 考点：焦点位置未定的设法 变式 6 求经过两点 与 的椭圆的标准方程（焦点位置未定）。 设 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），把两点分别代入： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　35/55　·　步 2/4 变式训练 考点：焦点位置未定的设法 变式 6 求经过两点 与 的椭圆的标准方程（焦点位置未定）。 设 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），把两点分别代入： 于是 ，a²=8 在 x² 项上，c²=8−4=4。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　35/55　·　步 3/4 变式训练 考点：焦点位置未定的设法 变式 6 求经过两点 与 的椭圆的标准方程（焦点位置未定）。 设 mx²+ny²=1（m>0、n>0、m≠n），把两点分别代入： 于是 ，a²=8 在 x² 项上，c²=8−4=4。 所求方程为 ，焦点在 x 轴上。 点评：两点都不在坐标轴上时，设 mx²+ny²=1 比分类讨论省一半书写。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　35/55　·　步 4/4 方法归纳 考点：焦点位置未定的设法 ① 轴已定：按轴设对应形式，未知数少一个； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　36/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：焦点位置未定的设法 ① 轴已定：按轴设对应形式，未知数少一个； ② 轴未定：设 mx²+ny²=1，一次代入两个点，解出 m、n； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　36/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：焦点位置未定的设法 ① 轴已定：按轴设对应形式，未知数少一个； ② 轴未定：设 mx²+ny²=1，一次代入两个点，解出 m、n； ③ 由 m、n 的大小回看焦点在哪条轴，并检验与所设一致。 m、n 分别是 a²、b² 的倒数：分母大者对应的倒数反而小。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　36/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：含参方程表示椭圆的条件 例 7 已知方程 。 (1) 若它表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值范围； (2) 若它表示椭圆，求实数 m 的取值范围。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　37/55　·　步 1/4 例题精讲 考点：含参方程表示椭圆的条件 例 7 已知方程 。 (1) 若它表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值范围； (2) 若它表示椭圆，求实数 m 的取值范围。 (1) 焦点在 y 轴上，要求 y² 的分母大于 x² 的分母，且两者同正： 　前者给出 m>4，后者给出 m<5。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　37/55　·　步 2/4 例题精讲 考点：含参方程表示椭圆的条件 例 7 已知方程 。 (1) 若它表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值范围； (2) 若它表示椭圆，求实数 m 的取值范围。 (1) 焦点在 y 轴上，要求 y² 的分母大于 x² 的分母，且两者同正： 　前者给出 m>4，后者给出 m<5。 (2) 表示椭圆只要求两个分母同正且不相等： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　37/55　·　步 3/4 例题精讲 考点：含参方程表示椭圆的条件 例 7 已知方程 。 (1) 若它表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m 的取值范围； (2) 若它表示椭圆，求实数 m 的取值范围。 (1) 焦点在 y 轴上，要求 y² 的分母大于 x² 的分母，且两者同正： 　前者给出 m>4，后者给出 m<5。 (2) 表示椭圆只要求两个分母同正且不相等： 点评：m=4 时两个分母都等于 1，方程成为 x²+y²=1，是圆而不是椭圆。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　37/55　·　步 4/4 变式训练 考点：含参方程表示椭圆的条件 变式 7 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 k 的取值范围是＿＿＿。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　38/55　·　步 1/4 变式训练 考点：含参方程表示椭圆的条件 变式 7 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 k 的取值范围是＿＿＿。 焦点在 x 轴上，要求 x² 的分母大于 y² 的分母，且分母为正： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　38/55　·　步 2/4 变式训练 考点：含参方程表示椭圆的条件 变式 7 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 k 的取值范围是＿＿＿。 焦点在 x 轴上，要求 x² 的分母大于 y² 的分母，且分母为正： 注意 已保证第二个分母为正，只需再解一个不等式。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　38/55　·　步 3/4 变式训练 考点：含参方程表示椭圆的条件 变式 7 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 k 的取值范围是＿＿＿。 焦点在 x 轴上，要求 x² 的分母大于 y² 的分母，且分母为正： 注意 已保证第二个分母为正，只需再解一个不等式。 取值范围为 。 点评：含参方程抓两条：分母同正、指定轴的分母较大。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　求标准方程　·　38/55　·　步 4/4 3.1.1 椭圆及其标准方程 05 轨迹问题与随堂检测 学习新知 求轨迹方程先把几何条件翻译成距离关系，常用两条思路： 思路一（定义法）：动点到两个定点的距离之和为常数，先比较常数与两定点间距离，再定 a、c、b²。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　40/55　·　步 1/3 学习新知 求轨迹方程先把几何条件翻译成距离关系，常用两条思路： 思路一（定义法）：动点到两个定点的距离之和为常数，先比较常数与两定点间距离，再定 a、c、b²。 思路二（相关点法）：设所求点 M(x,y)，用 x、y 表示已知曲线上的点 P(x₀,y₀)，把 x₀、y₀ 代入已知方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　40/55　·　步 2/3 学习新知 求轨迹方程先把几何条件翻译成距离关系，常用两条思路： 思路一（定义法）：动点到两个定点的距离之和为常数，先比较常数与两定点间距离，再定 a、c、b²。 思路二（相关点法）：设所求点 M(x,y)，用 x、y 表示已知曲线上的点 P(x₀,y₀)，把 x₀、y₀ 代入已知方程。 限制条件：轨迹上的点要使原图形存在。三角形的顶点不能在底边所在直线上，方程后须注明 y≠0。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　40/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：把几何条件翻译成距离和 例 8 已知三角形 ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 、 ，周长等于 18，求顶点 A 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　41/55　·　步 1/5 例题精讲 考点：把几何条件翻译成距离和 例 8 已知三角形 ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 、 ，周长等于 18，求顶点 A 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　41/55　·　步 2/5 例题精讲 考点：把几何条件翻译成距离和 例 8 已知三角形 ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 、 ，周长等于 18，求顶点 A 的轨迹方程。 |BC|=8，周长为 18，所以 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　41/55　·　步 3/5 例题精讲 考点：把几何条件翻译成距离和 例 8 已知三角形 ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 、 ，周长等于 18，求顶点 A 的轨迹方程。 |BC|=8，周长为 18，所以 由定义，A 的轨迹以 B、C 为焦点：2a=10、2c=8， 又 A、B、C 不共线，故 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　41/55　·　步 4/5 例题精讲 考点：把几何条件翻译成距离和 例 8 已知三角形 ABC 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 、 ，周长等于 18，求顶点 A 的轨迹方程。 |BC|=8，周长为 18，所以 由定义，A 的轨迹以 B、C 为焦点：2a=10、2c=8， 又 A、B、C 不共线，故 轨迹方程为 （ ）。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　41/55　·　步 5/5 变式训练 考点：把几何条件翻译成距离和 变式 8 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　42/55　·　步 1/5 变式训练 考点：把几何条件翻译成距离和 变式 8 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　42/55　·　步 2/5 变式训练 考点：把几何条件翻译成距离和 变式 8 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 F₁(−1,0)、半径 4，动圆半径为 |PF₂|： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　42/55　·　步 3/5 变式训练 考点：把几何条件翻译成距离和 变式 8 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 F₁(−1,0)、半径 4，动圆半径为 |PF₂|： 常数 4 大于 ，故轨迹是椭圆： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　42/55　·　步 4/5 变式训练 考点：把几何条件翻译成距离和 变式 8 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 F₁(−1,0)、半径 4，动圆半径为 |PF₂|： 常数 4 大于 ，故轨迹是椭圆： 轨迹方程为 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　42/55　·　步 5/5 方法归纳 考点：把几何条件翻译成距离和 ① 把周长、内切等条件写成到两定点的距离之和； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　43/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：把几何条件翻译成距离和 ① 把周长、内切等条件写成到两定点的距离之和； ② 比较这个常数与两定点间距离，确认轨迹是椭圆； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　43/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：把几何条件翻译成距离和 ① 把周长、内切等条件写成到两定点的距离之和； ② 比较这个常数与两定点间距离，确认轨迹是椭圆； ③ 由常数定 2a、由定点定 c，算出 b² 后按定点所在轴写方程。 内切动圆问题：动圆半径就是动点到定点的距离，两半径相减即得距离之和。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　43/55　·　步 3/3 例题精讲 考点：相关点法求轨迹方程 例 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　44/55　·　步 1/5 例题精讲 考点：相关点法求轨迹方程 例 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　44/55　·　步 2/5 例题精讲 考点：相关点法求轨迹方程 例 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)，则 D(x₀,0)。由 M 是 PD 的中点： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　44/55　·　步 3/5 例题精讲 考点：相关点法求轨迹方程 例 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)，则 D(x₀,0)。由 M 是 PD 的中点： 代入 P 满足的方程 ，得 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　44/55　·　步 4/5 例题精讲 考点：相关点法求轨迹方程 例 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)，则 D(x₀,0)。由 M 是 PD 的中点： 代入 P 满足的方程 ，得 轨迹是 、 的椭圆，M 取遍椭圆上各点。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　44/55　·　步 5/5 变式训练 考点：相关点法求轨迹方程 变式 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 若 ，求点 M 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　45/55　·　步 1/4 变式训练 考点：相关点法求轨迹方程 变式 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 若 ，求点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)。M 在线段 PD 上且 |PM|=2|MD|，故 M 到 x 轴的距离是 P 的三分之一： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　45/55　·　步 2/4 变式训练 考点：相关点法求轨迹方程 变式 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 若 ，求点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)。M 在线段 PD 上且 |PM|=2|MD|，故 M 到 x 轴的距离是 P 的三分之一： 代入 并整理： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　45/55　·　步 3/4 变式训练 考点：相关点法求轨迹方程 变式 9 点 P 在圆 上运动，PD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 若 ，求点 M 的轨迹方程。 设 M(x,y)、P(x₀,y₀)。M 在线段 PD 上且 |PM|=2|MD|，故 M 到 x 轴的距离是 P 的三分之一： 代入 并整理： 轨迹为 ，焦点在 x 轴上， 。 点评：比例一变，纵向压得更扁；分母由 4 变成 9，正是伸缩比的平方。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　45/55　·　步 4/4 方法归纳 考点：相关点法求轨迹方程 ① 设所求点 M(x,y)，找出它在已知曲线上的对应点 P(x₀,y₀)； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　46/55　·　步 1/3 方法归纳 考点：相关点法求轨迹方程 ① 设所求点 M(x,y)，找出它在已知曲线上的对应点 P(x₀,y₀)； ② 由中点、分点关系把 x₀、y₀ 用 x、y 表示； 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　46/55　·　步 2/3 方法归纳 考点：相关点法求轨迹方程 ① 设所求点 M(x,y)，找出它在已知曲线上的对应点 P(x₀,y₀)； ② 由中点、分点关系把 x₀、y₀ 用 x、y 表示； ③ 代入已知方程并整理，必要时注明限制条件。 纵向伸缩只改 y 的分母：纵坐标变为几分之一，轨迹的 b 也变为几分之一。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　46/55　·　步 3/3 课堂小结 一个定义 （ ） 常数大于焦距才是椭圆； 等于得线段，小于不存在。 两种标准方程 　焦点在 x 轴 　焦点在 y 轴 共同条件 a>b>0。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　47/55　·　步 1/2 课堂小结 一个定义 （ ） 常数大于焦距才是椭圆； 等于得线段，小于不存在。 两种标准方程 　焦点在 x 轴 　焦点在 y 轴 共同条件 a>b>0。 大分母是 a²，它在哪一项，焦点就在哪条轴上；a²=b²+c²，a 最大。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　47/55　·　步 2/2 课堂小结 求方程两条途径 定义法：距离之和给 2a； 待定系数：一定轴、二设、 三解 a²、b²、四检验。 轨迹问题两条思路 把条件翻译成到两定点的 距离之和，再比大小； 相关点法代入已知方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　48/55　·　步 1/2 课堂小结 求方程两条途径 定义法：距离之和给 2a； 待定系数：一定轴、二设、 三解 a²、b²、四检验。 轨迹问题两条思路 把条件翻译成到两定点的 距离之和，再比大小； 相关点法代入已知方程。 位置未定设 mx²+ny²=1；含参方程抓“分母同正、指定轴的分母较大”。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　48/55　·　步 2/2 题后反思 ● 把距离之和写成 2b 或 2c：和只等于 2a，即较大分母的平方根的两倍。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　49/55　·　步 1/5 题后反思 ● 把距离之和写成 2b 或 2c：和只等于 2a，即较大分母的平方根的两倍。 ● 只由 a、b 的值就写方程：焦点所在轴未定时有两种写法，容易漏解。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　49/55　·　步 2/5 题后反思 ● 把距离之和写成 2b 或 2c：和只等于 2a，即较大分母的平方根的两倍。 ● 只由 a、b 的值就写方程：焦点所在轴未定时有两种写法，容易漏解。 ● 把 c² 记成 a²+b²：正确关系是 a²=b²+c²，其中 a 最大。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　49/55　·　步 3/5 题后反思 ● 把距离之和写成 2b 或 2c：和只等于 2a，即较大分母的平方根的两倍。 ● 只由 a、b 的值就写方程：焦点所在轴未定时有两种写法，容易漏解。 ● 把 c² 记成 a²+b²：正确关系是 a²=b²+c²，其中 a 最大。 ● 含参时只解“分母为正”，忘了“两分母不相等”，把圆也当成椭圆。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　49/55　·　步 4/5 题后反思 ● 把距离之和写成 2b 或 2c：和只等于 2a，即较大分母的平方根的两倍。 ● 只由 a、b 的值就写方程：焦点所在轴未定时有两种写法，容易漏解。 ● 把 c² 记成 a²+b²：正确关系是 a²=b²+c²，其中 a 最大。 ● 含参时只解“分母为正”，忘了“两分母不相等”，把圆也当成椭圆。 求轨迹方程的最后一步是回头检查限制条件：能否取到、是否共线。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　49/55　·　步 5/5 当堂检测 检测 1 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 （　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　50/55　·　步 1/2 当堂检测 检测 1 椭圆 的两个焦点为 F₁、F₂，点 P 在椭圆上， 若 ，则 （　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D。a=3，由定义 |PF₁|+|PF₂|=6，故 |PF₂|=4。 检验： ， ，4 落在区间内。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　50/55　·　步 2/2 当堂检测 检测 2 椭圆 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　51/55　·　步 1/2 当堂检测 检测 2 椭圆 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 答案 B。12>8，a²=12 在 y² 项上，c²=12−8=4，c=2。 焦点在 y 轴上，为 、 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　51/55　·　步 2/2 当堂检测 检测 3 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 m 的取值范围是（　） A． B． C． D． 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　52/55　·　步 1/2 当堂检测 检测 3 若方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 m 的取值范围是（　） A． B． C． D． 答案 B。要求 m+2>m−1>0。 恒成立， 得 ，此时 自动满足。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　52/55　·　步 2/2 当堂检测 检测 4（多选） 下列说法正确的是（　） A．到 、 的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 B．到 、 的距离之和等于 10 的点的轨迹方程是 C．方程 表示椭圆的充要条件是 D．椭圆 的焦点坐标是 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　53/55　·　步 1/2 当堂检测 检测 4（多选） 下列说法正确的是（　） A．到 、 的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 B．到 、 的距离之和等于 10 的点的轨迹方程是 C．方程 表示椭圆的充要条件是 D．椭圆 的焦点坐标是 答案 BD。A 错：常数 6 等于 |F₁F₂|，轨迹是线段 F₁F₂。 B 对： ， ，焦点在 x 轴。 C 错：还须 ； 时方程成为 ，是圆。 D 对：c²=9−5=4，c=2，且 9>5，故焦点在 x 轴上。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　53/55　·　步 2/2 当堂检测 检测 5 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　54/55　·　步 1/4 当堂检测 检测 5 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 C(−2,0)、半径 6，定点 F 在圆内。动圆半径为 |PF|，两圆内切： 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　54/55　·　步 2/4 当堂检测 检测 5 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 C(−2,0)、半径 6，定点 F 在圆内。动圆半径为 |PF|，两圆内切： 由 知轨迹是椭圆：2a=6、2c=4，a=3、c=2、 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　54/55　·　步 3/4 当堂检测 检测 5 动圆 P 经过定点 ，且与定圆 内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程。 定圆圆心 C(−2,0)、半径 6，定点 F 在圆内。动圆半径为 |PF|，两圆内切： 由 知轨迹是椭圆：2a=6、2c=4，a=3、c=2、 。 轨迹方程为 。 3.1.1 椭圆及其标准方程　·　轨迹与随堂检测　·　54/55　·　步 4/4 本节课到此结束 下节预告　3.1.2 椭圆的简单几何性质 人教A版2019选择性必修第一册 $