精品解析：浙江省温州十校2026-2027学年高二上学期11月期中学科练习数学试题

高二数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设倾斜角为，， ， . 2. 已知椭圆：过点和，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】已知和是椭圆：上两点， 可得，解得：， 所以椭圆的标准方程为. 3. 已知，，且，则实数x的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以， 解得或. 4. 若直线平行于x轴，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】运用直线平行的判定可解. 【详解】若直线平行于x轴，则，解得：. 所以a的值是. 5. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，利用求解. 【详解】因为双曲线的离心率为 所以， 又因为焦点在轴上 所以渐近线方程为. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6. 已知正方体的棱长为2，是线段的中点，是底面的中心，则到直线的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与点到直线上一点的连线向量，再通过向量数量积算出投影长度，结合勾股定理即可求出点到直线的距离． 【详解】 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，， 所以，， ，， ， 因为向量在直线上的投影长度为， 所以到直线的距离． 7. 若圆上到直线的距离为的点至多有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，结合题中条件确定半径的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 因为圆上到直线距离为的点至多有2个， 所以，所以 8. 如图，在正三棱柱中，，是四边形内一动点，且满足，则的面积的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点轨迹，即得答案. 【详解】取正三角形ABC的边BC中点O，以O为原点， OC为x轴，OA为y轴，平行于的方向为z轴建立坐标系， 根据，可得各点坐标： ， ， ， 因为P在四边形内，设，其中， ， ， 由，得： ， 即， 故P的轨迹是平面上，且以为圆心、半径为的圆的一部分， 以为底，底长， 到直线的距离为， 因此三角形面积：，而， 故. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个结论正确的是（） A. 空间向量，，若，则 B. 任意向量，，满足 C. 已知向量，，若，则为锐角 D. 在四面体中，点在面内，若，则实数的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直与数量积的关系判断A；举反例判断B；通过数量积的符号并排除同向共线判断C；利用空间向量共面条件判断D. 【详解】选项A，，，因此若，必有，A正确； 选项B，举反例，取，，， ，故； ，故， 显然，等式不成立，B错误； 选项C，向量夹角为锐角的充要条件是，且与不共线同向， ，令，解得， 假设与共线，则存在实数使得，即， 对应坐标相等得方程组，解得，，即仅当时两向量共线，且，两向量反向共线（夹角为）， 当时，，两向量不共线，且数量积，因此为锐角，C正确； 选项D，根据共面向量定理的推论：若点在平面内，则对空间任意一点，存在实数使得，且系数满足， 已知， ，得，D正确. 10. 拉梅曲线，在现代数学和工程设计中更广为人知的名字是超椭圆．它是由法国数学家加布里埃尔·拉梅提出，小米新LOGO是一个超椭圆形．已知平面中拉梅曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，曲线为椭圆 B. 当时，围成的封闭图形的面积为 C. 曲线不可能关于对称 D. 当时，拉梅曲线与曲线可能有8个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查由方程研究曲线的性质,四个选项互不依赖,宜把 或 的特殊值代回方程,先化成熟悉的标准形式,再分别判断曲线的形状、围成图形的面积与对称性. 判断交点个数要把两个方程联立:令 ,由 消去 ,再令 ,得到关于 的一元二次方程,由正根的个数以及 各自可取两个值换算出交点的个数. 【详解】对于A，当时，拉梅曲线的方程为. 由知该方程表示中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆， 又,它不是圆,所以曲线为椭圆,A正确. 对于B,当时,方程为,即. 该方程围成的封闭区域是以为顶点的菱形,两条对角线的长分别为. 所以面积,B正确. 对于C,当时,方程变为. 把互换,方程不变,所以此时曲线关于直线对称. 因此曲线可能关于对称,C错误. 对于D,当时,方程为. 由得,代入得. 令,则,即. 当时,该方程有两个不相等的正根：两根之和为,两根之积为. 每个正根对应,即两个取值. 对每个,由得两个取值. 所以两条曲线共有个交点. 例如取,此时,两条曲线确实有个交点,D正确. 11. 已知圆，圆，直线与圆，截得的弦长分别为，，则（ ） A. 圆与相切 B. 可以取任意实数 C. 满足的直线有两条 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据圆的方程求出两圆的圆心和半径，求出圆心距，看圆心距和半径的关系即可求解；对于B利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离小于半径，列出不等式组，解不等式组即可求解；对于C，利用直线与圆相交所截得弦长公式求出和，利用即可列出关于的方程即可求解；对于D，用表示出，先换元，用表示出，再设，，再利用三角换元结合辅助角公式即可求解最大值. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 所以， 所以圆与相切，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆，都相交， 所以，解得或，故B错误； 对于C，直线与圆相交所截得弦长为， 即， ， 因为， 所以， 即， 解得或，均满足或， 所以满足的直线有两条，故C正确； 对于D，， 令，因为或， 所以，， 所以，， 令，， 则， 所以， 设，，， ， 所以当时，取最大值， 即，，即，符合要求， 所以，故D正确. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，都是直线的方向向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，再根据空间向量共线定理即可得解. 【详解】根据题意可知， 故存在唯一实数，使，即， 则，解得， 所以. 13. 已知直线与圆交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值为________． 【答案】、（任写一个都对） 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合面积为，解得参数的值. 【详解】由题，圆，圆心为，半径为2. 则圆心到直线的距离为， . 则， 化简，两边平方：，解得或， 进而解得的可取值为、 14. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，直线交椭圆于、两点，恒有，过点作，垂足为，则________；的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，联立方程组得，再根据，可得的值；由，所以点的轨迹为以为直径的圆，由圆外一点到圆上点的最值问题求解. 【详解】已知直线恒过点， 且点在椭圆的内部，所以直线与椭圆恒有两个交点， ， 则 联立方程组，得， ， 且①， 因为，所以， 即，又因为 则， 化简为， 将①代入化简得，则， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 圆心，半径， 则， 的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，为的中点． （1）设，，．试用空间向量的一个基底，表示； （2）已知空间直角坐标系中满足：，，，， （ⅰ）求侧棱的长； （ⅱ）求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合平行六面体的性质，根据空间向量线性运算法则可得； （2）（ⅰ）在平行六面体中，为的中点，所以为中点，利用中点坐标公式求得的坐标，再根据向量的模的运算，求得侧棱的长；（ⅱ）根据线线角的向量求法可得异面直线与夹角的余弦值． 【小问1详解】 在平行六面体中，因为为的中点，所以为的中点， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为为的中点，所以由，，得， 又，所以. （ⅱ）由为中点，且，，得 ，， . 故异面直线与夹角余弦值为. 方法二： . 16. 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；. 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，再计算圆心到直线的距离，利用弦长公式计算； （2）根据垂径定理判断，再根据垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求直线方程. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径. 当时，直线的斜率 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离 . 【小问2详解】 当弦被点平分时，． 直线的斜率为． 直线的斜率为. 直线的方程为，即. 存在弦被点平分，直线的方程为. 17. 如图，已知四棱锥的高为2，底面为正方形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连，． ，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，由平面，得． 是的中点，是的中点，， 由正方形对角线，得． 又，平面，平面， 平面． 由平面，得 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O，借助面面垂直性质得底面，结合三角形中位线与正方形对角线垂直的性质证平面，从而推出； （2）解法 1 ：先用等体积法求出点A到平面的距离，结合线面角的正弦值列方程解出底面边长，再建立空间直角坐标系，通过平面法向量计算两个面夹角的余弦值； 解法 2：先设底面边长并建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式列方程求出边长，再分别求解两个平面的法向量，最终通过法向量夹角公式得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1： 解：设到面的距离为，． 正方形，，． ． ，．所以． 设与面所成的角为， ，得到． 建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，． ，，． 设面的法向量为，面的法向量为． 由，得面的一个法向量． 由，得面的一个法向量 设面与面的夹角为． ． 故面与面夹角的余弦值是. 方法2： 解：建立如图所示的空间直角坐标系．设．（） ，，，． ，． 设面的法向量为． ，得面的一个法向量 ，设与面所成的角为， 所以， ， 得面的一个法向量 ，设面的法向量为． ，得面的一个法向量 设面与面的夹角为,． 故面与面夹角的余弦值是. 18. 已知双曲线（，）的离心率为，焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线有唯一的公共点（在第一象限），并与其两渐近线交于、两点. （ⅰ）写出，的关系； （ⅱ）证明：是的中点． 【答案】（1） （2） （ⅰ）. （ⅱ）法1：联立，得 ， ， 则， ， 由（*）知， ， ，， 是的中点 . 法2：由，知渐近线方程为， ，， ， 由（*）知，， ，， 是的中点. 【解析】 【分析】（1）因为已知双曲线的离心率和焦距，所以可利用双曲线离心率公式、焦距定义，结合双曲线的基本关系，求解和，进而得到双曲线方程； （2）（ⅰ）将直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式推导与的关系； （ⅱ）法1：联立直线与双曲线渐近线的方程，利用韦达定理求出点横坐标之和与纵坐标之和，结合中点坐标公式完成证明；法2：联立直线与双曲线的渐近线方程，求出、两点的横坐标，再联立直线与双曲线方程求出点的坐标，结合中点坐标公式完成证明； 【小问1详解】 由题意知，，， ，，双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）联立， 得（*） 则， 即， . （ii）略 19. 如图，在中，已知，，，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知以，为焦点的椭圆过点． （1）求点的坐标，并求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆交于，两点且在轴上方，直线与椭圆的另一个交点为； （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）3 【解析】 【分析】（1）先设点的坐标，再运用，和诱导公式，求出点坐标，从而求出的长度进而得出椭圆方程； （2）（i）先设直线方程再与椭圆方程联立，再根据韦达定理以及求出直线方程； （ii）将一个四边形面积拆成两个三角形的面积之和，再代入韦达定理并进行换元，从而求出面积的最大值. 【小问1详解】 设点坐标为，由题可得，， 过点作垂直于x轴的垂线交x轴于点，则， 则①， 又因，则， 又②， 联立①与②，解得，即， 因此，同理， 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为， 则，解得，又，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，可设直线为，，则， 联立，消去，整理得， 显然，则有（*）. （i）因为，且三点共线，所以， 则由可得， 代入（*）可得， ， 故可得，即，解得， 因为，所以，则可得，所以， 则直线的方程为，即； （ii）连接，设四边形的面积为，则， 因为点B到x轴的距离为，所以， 因， 则， 又， 则（*）， 而， 即， 代入（*）可得， ， 因为，所以， 故，因此， ， ，令，故 则，令，， 设，， 因此在上单调递增， 故，因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆：过点和，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则实数x的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或 4. 若直线平行于x轴，则a的值是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 0或2 5. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，是线段的中点，是底面的中心，则到直线的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若圆上到直线的距离为的点至多有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱柱中，，是四边形内一动点，且满足，则的面积的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下面四个结论正确的是（） A. 空间向量，，若，则 B. 任意向量，，满足 C. 已知向量，，若，则为锐角 D. 在四面体中，点在面内，若，则实数的值为 10. 拉梅曲线，在现代数学和工程设计中更广为人知的名字是超椭圆．它是由法国数学家加布里埃尔·拉梅提出，小米新LOGO是一个超椭圆形．已知平面中拉梅曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，曲线为椭圆 B. 当时，围成的封闭图形的面积为 C. 曲线不可能关于对称 D. 当时，拉梅曲线与曲线可能有8个交点 11. 已知圆，圆，直线与圆，截得的弦长分别为，，则（ ） A. 圆与相切 B. 可以取任意实数 C. 满足的直线有两条 D. 的最大值为 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，都是直线的方向向量，则________． 13. 已知直线与圆交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值为________． 14. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，直线交椭圆于、两点，恒有，过点作，垂足为，则________；的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，为的中点． （1）设，，．试用空间向量的一个基底，表示； （2）已知空间直角坐标系中满足：，，，， （ⅰ）求侧棱的长； （ⅱ）求异面直线与夹角的余弦值． 16. 已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由． 17. 如图，已知四棱锥的高为2，底面为正方形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线（，）的离心率为，焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线有唯一的公共点（在第一象限），并与其两渐近线交于、两点. （ⅰ）写出，的关系； （ⅱ）证明：是的中点． 19. 如图，在中，已知，，，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知以，为焦点的椭圆过点． （1）求点的坐标，并求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆交于，两点且在轴上方，直线与椭圆的另一个交点为； （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $