山西大同市第一中学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

大同一中2026—2027学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 满分120分 时间120分钟 命题人： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．山西是中华民族重要发祥地之一，其自然美景、历史文化遗产、革命史迹等共同构成了山西多姿多彩的旅游资源，下列山西旅游景点图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．已知反比例函数，当时．随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．临近毕业，九年级某班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言。如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A． B． C． D． 8．将抛物线向右平移个单位后，所得到的新抛物线一定经过点（ ） A． B． C． D． 9．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A．10 B．6 C．4 D．8 10．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若点关于原点的对称点，那么______________． 12．已知二次函数，将其配成顶点式为______________． 13．二次函数（，，，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______________． 14．2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚． 则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为______________． 15．如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，于点，交于点．若，，则的长为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）（2） 17．（本题5分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标． 18．（本题9分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______________ 19．（本题7分）如图，将等腰直角三角形，，，绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 20（本题9分） 大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝。喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面。 （1）求这条水流抛物线的函数表达式； （2）在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离。 21．（本题10分）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间 0 2 4 6 8 10 16 20 32 40 … 水温 20 40 60 80 100 80 50 40 25 20 … （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在下面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温是通电时间的______________函数，水温下降过程中水温是通电时间的______________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为______________． 22、（本题12分）综合与实践 5月中旬，某县的樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： 樱桃园 第天的单价、销售量分别与的关系如下两表： 单价（元/盒） 第天 第天 第天 第天 第天 销售量（盒） 第天 第天 第天 第天 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天固定成本为元． 樱桃园 第天的利润为（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）樱桃园第天的单价与的函数关系是______________． （2）求樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润单价销售量固定成本） （3）①与的函数关系式是______________． ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 23、（本题13分）综合与探究 问题情境：已知，如图1，在中，，．点是的中点，点在的延长线上，且。保持不动，将从图1的位置开始，绕点顺时针旋转角得到，，的对应点分别为、。 初步思考： （1）求证：； 操作探究： （2）如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当与的边平行时，且直线交直线于点，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $大同一中2026一2027学年第一学期九年级素养评估 数学答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 C D D C A B A B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11、1 12、y=20x-102-3 13、m≥-2 14、20% 15、4.8 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16、计算（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） (1)解： 移项得，x2-4x=3, 。。。。。。。。。。。。。。 …1分 配方得，x2-4x+4=3+4 2分 (x-2)2=7 3分 x-2=t/7 4分 解得5=2+V万.6=2-V万 5分 (2)解：(x-3=2(x-3) 。。。。。。。。。。。。。。。 1分 (x-3)2-2(x-3)=0 2分 (x-3)(x-5)=0 …3分 x-3=0或x-5=0 解得=3X)=5…… 17、(本题5分) (1)解：如图， △ABC即为所求： 2分 (2)如图， △A,B,C2即为所求 4分 4,(4,3) …5分 18、(本题9分) (1)解：点1(，)在y=x+3上， ∴.a=1+3=4， ·.A(1,4) …1分 :AL4)在'=E上. Γ1， .k=4,… …2分 4 V=- ∴.反比例函数表达式为 …3分 y=x+3 4 4 +3= 联立 得 X,…4分 两边同乘x得x2+3x-4=0. (x+4)(x-1)=0 x=-4或x=1, …6分 当x=-4时，y=-4+3=-1. .B（-4-l）; …7分 (2)x<-4或0<x<1. …9分 19、(本题7分) 解：(1)由旋转的性质，得AE=AC,，∠DAE=∠BAC. 1分 :△ABC是等腰直角三角形， ∴.AB=BC,∠ABC=90°，.∠DAE=∠BAC=45 …2分 ·∠ECA=180°-45 -=67.5° 2 …3分 (2)△ABC是等腰直角三角形，·AB=BC=1,∠ABC=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC2=V2 …4分 由(I)得AE=AC=V2,∠BAE=∠DAE+∠BAC=90 …5分 在Rt△ABE中，∠BAE=90°由勾股定理，得BE=√AB+AE=V3 …7分 20.(本题9分) 解：(1)由题意得0(0,0)，40=8，A(-8,0). …1分 抛物线对称轴为直线x=4,顶点B(4,5). …2分 设抛物线顶点式：y=a(x+4)2+5. …4分 把O(0,0)代入得： a(0+4)2+5=0 5 16a=-5 a、 16 5 抛物线解析式： y=- (x+4)2+5 6 …5分 15 y= (2)把4代入解析式： x+42+5=15 5 16 4 …6分 (x+4)2=4 x+4=±2 解得=-2，x2=-6 …8分 C、D水平距离：-2-(6)=4m ……9分 21.(本题10分) 00 0 40 20 04 48121618202428323640主 …2分 (2)一次，反比例：… 。。。。。。。。。。。。。 …4分 (3)①y=10x+20 6分 800 X;… …8分 ②l8 …10 22.(本题12分) (1)Z=-2x+52 …1分 (2)解：由题意得： y=(52-2x)(10x+10)-745 …3分 片=520x+520-20x2-20x-745 y=-20x2+500x-225 。。。。。。。。。。 …4分 答：A樱桃园第x天的利润片与x的函数关系式为片=-20x2+500x-225 (3)①2=-30x2+500x+25 …6分 ②解：设两处樱桃园的利润之和为W,则： W=y+y2 W=（-20x2+500x-225)+(-30x2+500x+25) …8分 W=-50x2+1000x-200 W=-50(x-10)2+4800 …9分（一般式和顶点式写一种 -50<0 …10 1≤xl5(不写不扣分) ∴.当x=10时，W有最大值，最大值为4800 11分（用公式法求也行》 答：第10天两处樱桃园的利润之和最大，最大是4800元. 12 23、(本题13分)综合与探究 (1)证明：：点D是AC的中点， ÷CD=4c 2 …1分 :∠ACB=90°，∴∠DCE=180°-90°=90° …2分 ∠CDE=60,∠DEC=30CD-DE 。。。。。。。。。。。 …3分 DE=AC.…4分 (2)四边形ACED'是平行四边形 …5分 理由：如图①，由旋转的性质可知，∠CD'E'=∠CDE=60°，DE'=DE,CD'=CD …6分 △CDD'是等边三角形… …7分 ∴.∠DCD'=60° ∴.∠DCD'=∠CD'E' .AC//D'E' …8分 又DE=AC,.AC=D'E' …9分 四边形ACE'D是平行四边形. (3)CF=V3或CP-V6 ……13