精品解析：黑龙江哈尔滨市工业大学附属中学2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试题

工大附中2026-2027学年度上学期九年级 数学期中测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 在国家“一带一路”战略带动下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长，将13000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】解：由俯视图是圆且带有圆心，可知该几何体的底面是圆，且最高点在底面圆心的正上方，排除C、D； 由主视图和左视图的上半部分均为三角形，可知该几何体上半部分是圆锥，排除B； 由主视图和左视图的下半部分均为长方形，可知该几何体下半部分是圆柱， 所以该几何体是上部为圆锥、下部为圆柱的组合体． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，需检验增根． 【详解】解：方程两边同乘，得 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得， ， 检验：当时，， 故原方程的解为． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数表达式为顶点式，可直接确定顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 7. 如图，每个图都是由大小、形状相同的★按一定的规律摆放而成：第①个图有5个★，第②个图有6个★，第③个图有8个★，…，依此规律，第10个图需要的★个数为（ ） A. 33 B. 41 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形中★个数的变化规律，发现后一个图形比前一个图形增加的★个数依次递增1，据此得出第个图★个数的表达式求解． 【详解】解：第①个图有5个★， 第②个图有个★， 第③个图有个★， 第④个图有个★， …， 第个图有个★， 当时，★的个数为   8. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，确定  与  的比值等于  与  的比值即可． 【详解】解： ，  ， ，  ，  ． 9. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图痕迹确定为角平分线，结合等腰三角形性质确定点位置，利用中位线定理求解． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴，即为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 10. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时，过点作于点． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又，， ， ； 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，； 当点在上时， ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）， ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降，故A正确． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分母不为0即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，注意分母不为0即可，属于基础题． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： 13. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 14. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式．利用扇形的弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为 度．由弧长公式得： ， 解得：， 即此扇形的圆心角是． 故答案为∶． 16. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 【答案】1.2 【解析】 【分析】利用点的坐标求出，当时，即，求出，即可求解． 【详解】解：设函数的表达式， 将点的坐标代入上式得：，解得， 则反比例函数表达式为， 当时，即， 解得， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 17. 如图，，分别与相切于，两点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别连接，先由圆的切线的性质求出的度数，再由圆周角定理求解． 【详解】解：分别连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴． 【点睛】 18. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（A左B右），顶点是C点，连接、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原抛物线化为顶点式，根据平移规则得到平移后的抛物线解析式，确定A、B、C三点的坐标，结合正切定义求解即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为， ∴根据抛物线平移的“左加右减、上加下减”规则，平移后的抛物线解析式为， ∴平移后抛物线的顶点C的坐标为， 令，即，解得或， ∵A在x轴上位于左侧，B位于右侧， ∴A点坐标为，B点坐标为， 由题意，轴于点O， ∴线段的长度为，线段的长度为， ∵为直角三角形，， ∴． 19. 矩形中，点A、点C关于直线对称，直线交直线于点E，交直线于点F，若，，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由轴对称性质得是的垂直平分线，故，结合矩形的直角特征，用勾股定理求出的长度，再根据E在直线上的两种位置，通过相似三角形关系求解的长度. 【详解】解：∵ 点A、C关于直线对称 ∴ EF是线段AC的垂直平分线 ∴ ，且 ∵ 四边形是矩形 ∴ 在中，， ∴ ∵ E在直线上，分两种情况： 当E在线段上时， ∵ ∴ 又∵ 在中， ∴ 又∵ ∴ ∴ 代入，， 得 解得 ∵ F在的延长线上 ∴ ， 当E在线段的延长线上（即B在C、E之间）时， ∴ 同理可证 ∴ 代入，， 得 解得 ∵ F在线段上 ∴ ， 综上，的长为或. 20. 如图，在矩形中，，点E、F是对角线上的两个动点，且，点G是中点，连接交于点M．①；②；③若，则；④的最小值为；所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由得，利用矩形性质逐一验证四个结论．①利用三角函数求；②求出点坐标后计算面积比；③由确定点位置后求三角形面积；④利用平移法将转化为两点间距离求最小值． 【详解】解：由，得，． 在中，． ①在中，， ，故①正确． ②为中点， ． ， ， ． 与以为顶点，底边、在同一直线上， 则它们有相同的高 ，故②正确． ③过E作于点N， ，则 ， ， ，故③正确． ④将点沿方向平移个单位得到点， 则且， 四边形为平行四边形， ， ． 过作交延长线于， ，， ，， ， ． （）， 的最小值不是，故④错误． 综上所述，正确结论的序号是①②③． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】化简结果为，代数式的值为 【解析】 【分析】先对分式通分、约分完成化简，再计算特殊角的三角函数值得出的取值，最后代入化简后的式子求值并完成分母有理化． 【详解】解：         ∵， ∴ 将代入化简后的式子，得 ． 22. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，过点C作的中线． （2）在图2中，在内部画出点O，使点O到三边的距离相等，并直接写出的长． 【答案】（1）解：如图，点D即为所求；      （2）解：如图，点O即为所求， ． 【解析】 【分析】（1）取格点并连接，根据矩形的性质，点为矩形对角线交点，则点为中点，则问题可解； （2）取中点，连接，取格点，连接，由（1）可知点N为中点，连接交于点O，再证明即可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，，且平分， 则， 则， 由（1）同理可知点N为中点， 故平分，， ∴点为内心，到三边的距离相等， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动，为了解全年级800名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出不完整的统计表（如表）和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答以下问题： 表格：知识竞赛成绩统计表 组别 分数/分 频数 A a B 20 C 28 D 36 （1）本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩； （2）统计表中________；所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________； （3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有多少人． 【答案】（1）100； （2）16；C组 （3）512人． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可得，“D组”的有36人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）调查人数的是“A组”人数，得出答案；根据中位数的意义，找出处在第50、51位两个数的平均数即可； （3）样本估计总体，样本中成绩达到80分以上（含80分）占，进而估计全年级800名学生的在80分以上的人数． 【小问1详解】 解：（个） 即本次调查一共随机抽取了100个参赛学生的成绩. 【小问2详解】 解：，即． 将竞赛成绩从小到大排列后处在第50、51位的数都落在C组，因此中位数落在C组． 【小问3详解】 解：样本中成绩达到80分以上（含80分）的学生占比为， 由此估计全年级800名学生中成绩达到80分以上（含80分）的学生占比为，为（人） 答：该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有512人． 24. 已知：点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，点M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴； （2）、、、 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，再结合已知条件，由证明； （2）先由得到，，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，，再由菱形的性质及角的和差证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴，， ∵点M是中点， ∴，， ∴、是直角三角形； ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形． 综上所述，图中的所有直角三角形为、、、． 25. 2026年被公认为“智能AI元年”，AI产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． （1）求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ （2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12件，且购买A型产品的数量不超过B型数量的一半，那么购买A型产品多少件时，两种型号的产品总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元． （2）购买A型产品4件时总费用最少，最少费用为28万元． 【解析】 【分析】（1）以两种购进方案的总费用为等量关系，列二元一次方程组求解进价； （2）先根据数量限制确定A型产品数量的取值范围，再结合总费用随A型数量的变化规律求最小值． 【小问1详解】 解：设每件A型产品的进价为万元，每件B型产品的进价为万元，根据题意，得， ， 解得， 答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元． 【小问2详解】 设购买A型产品件，总费用为万元，则购买B型产品件，根据题意，得，   ， 解得，且为整数. 总费用，其中且为整数， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为 答：购买A型产品4件时总费用最少，最少费用为28万元． 26. 已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即平分； （2）证明：如图，连接、、， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）12 【解析】 【分析】（1）连接，证明得到，再由圆周角定理得，即可证明； （2）连接、、，证明得到，则，进而可得，再由圆周角定理得，由为的直径，得到，则，即可证明； （3）连接，连接并延长交于点，由（1）知，则，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再由中位线的性质得，然后在和中，由勾股定理构造方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，连接并延长交于点， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得或（舍去）， 即的半径的长为12． 27. 已知：抛物线，交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，连接，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为第二象限抛物线上一点，过点D作轴，垂足为E，连接，交于点H，点A关于直线的对称点为点F，交y轴于点G，设点D的横坐标为t，线段长度为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点K，点M在上，若，且，求点D的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1） 将点坐标代入抛物线解析式求的值． （2）求出点坐标，计算线段的长度． （3）延长交轴于点，交于点，由角度关系证明，利用求出点坐标，进而求出直线解析式，与直线联立求出点坐标，再求出点、坐标，由列方程求的值． 【小问1详解】 解：抛物线交x轴于A、B两点， ∴可知点A坐标为，B坐标为， 则， 在中，， ∴， 当时，， ， ，解得， ∴A点坐标为， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：，轴， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 为与的交点， ， ． 【小问3详解】 解：延长交轴于点，交于点， ，， ， 点、、均在直线上， ，即． 关于直线的对称点为， ， ，，， ，，． 轴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即． 设直线的解析式为， 将、代入， 同理解得直线（即直线）的解析式为． 设直线的解析式为， 将、代入， 同理解得直线的解析式为． 联立直线与直线的解析式： ， 解得：，， ． 设直线的解析式为， 将、代入， 解得直线的解析式为． 联立直线与直线的解析式： ， 解得：，， ． 在直线的解析式中令，得， ． ， ． ， ， ， 解得， 点在第二象限， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 工大附中2026-2027学年度上学期九年级 数学期中测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在国家“一带一路”战略带动下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长，将13000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，每个图都是由大小、形状相同的★按一定的规律摆放而成：第①个图有5个★，第②个图有6个★，第③个图有8个★，…，依此规律，第10个图需要的★个数为（ ） A. 33 B. 41 C. 42 D. 50 8. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 10. 如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 13. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 14. 不等式组的解集为________． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 16. 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 17. 如图，，分别与相切于，两点，，则________． 18. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（A左B右），顶点是C点，连接、，则的值为________． 19. 矩形中，点A、点C关于直线对称，直线交直线于点E，交直线于点F，若，，则的长为________． 20. 如图，在矩形中，，点E、F是对角线上的两个动点，且，点G是中点，连接交于点M．①；②；③若，则；④的最小值为；所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，过点C作的中线． （2）在图2中，在内部画出点O，使点O到三边的距离相等，并直接写出的长． 23. 为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动，为了解全年级800名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出不完整的统计表（如表）和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答以下问题： 表格：知识竞赛成绩统计表 组别 分数/分 频数 A a B 20 C 28 D 36 （1）本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩； （2）统计表中________；所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________； （3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有多少人． 24. 已知：点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，点M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 25. 2026年被公认为“智能AI元年”，AI产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． （1）求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ （2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12件，且购买A型产品的数量不超过B型数量的一半，那么购买A型产品多少件时，两种型号的产品总费用最少？最少费用是多少万元？ 26. 已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 27. 已知：抛物线，交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，连接，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为第二象限抛物线上一点，过点D作轴，垂足为E，连接，交于点H，点A关于直线的对称点为点F，交y轴于点G，设点D的横坐标为t，线段长度为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点K，点M在上，若，且，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $