精品解析：北京拔萃双语学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

北京拔萃双语学校2026-2027学年度第一学期期中考试 高一数学 注意事项1．本试卷共4页，三大题，21小题，作答时长120分钟，满分150分． 2．在试卷和答题卡上，准确填写班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束后请将考试资料一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置、） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则有（ ） A. 最小值4 B. 最小值3 C. 最大值4 D. 最大值5 5. 已知 ，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. −2 C. 2 D. −1 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 下列函数中是奇函数且是增函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 函数的定义域为______． 12. 已知函数，函数y取得最小值为_______；此时x的值为______. 13. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________． 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围___________． 15. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合： ； ： 其中，“保序同构”的集合对的序号是___________（写出所有“保序同构”的集合对的序号）． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．请把文字说明，演算步骤或证明过程写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知集合，B＝{x|}. （1）当时，求； （2）若，求实数的范围. 17. 已知函数． （1）当时，求的值； （2）解关于的不等式． 18. 为响应“双碳”战略，支持可再生能源产业高质量发展，我校拟安装一个可使用10年的光伏供电系统．使用这种供电设备后，每年消耗的电费C（单位：万元）与光伏电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知光伏电池板面积为20平方米时，每年消耗的电费为4万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元）． （1）求出的解析式； （2）当为多少平方米时，安装和使用成本取得最小值？最小值是多少万元？ 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式． 20. 已知二次函数， （1）若图象恒在轴的下方，求实数的取值范围； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对任意，总存在，使，求实数的取值范围． 21. 设，定义集合．对任意，，定义：，，． （1）若，判断X是否属于，并直接写出与的大小关系； （2）证明：对于任意，都有； （3）设，且． （ⅰ）当时，求的最大值； （ⅱ）求出所有使得取得最大值的X． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京拔萃双语学校2026-2027学年度第一学期期中考试 高一数学 注意事项1．本试卷共4页，三大题，21小题，作答时长120分钟，满分150分． 2．在试卷和答题卡上，准确填写班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束后请将考试资料一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置、） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】含有量词的命题的否定，一是改量词：将“”改为“”，二是否定结论：将“”改为“”，条件不变； 故为. 3. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 4. 若，则有（ ） A. 最小值4 B. 最小值3 C. 最大值4 D. 最大值5 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可得. 【详解】，当且仅当，等号成立， 故有最小值，无最大值. 5. 已知 ，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. −2 C. 2 D. −1 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，和是方程的两个实根. 由韦达定理，得，，所以，从而. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】不等式 等价于 ，解得 ， 所以“”是“”的充要条件． 7. 下列函数中是奇函数且是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A, 在定义域内不是增函数，故A错误， 对于B, 的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，B错误， 对于C, 为偶函数，故C错误， 对于D, 为奇函数，且为增函数，D正确. 8. 下列函数中与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个函数相等的判定规则，逐一核对各选项函数的定义域与对应法则，与原函数的属性匹配即可得到正确结果. 【详解】首先明确函数相等的充要条件：两个函数相等当且仅当二者的定义域完全相同，且对应法则完全一致，两个条件需同时满足. 函数的定义域为全体实数，对应法则为. 选项A，函数的定义域为，与原函数定义域一致；对应关系为，与原函数的对应法则完全一致，因此该函数与相等，满足题意； 选项B，函数的定义域为，与原函数的定义域不相同，因此该函数与不相等； 选项C，函数定义域为，与原函数定义域一致；对应关系为，与对应关系不同，故不相等； 选项D，函数的定义域为，与原函数的定义域不相同，因此该函数与不相等. 9. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求解. 【详解】要使函数在上单调递减，则有，解得， 故选:C. 10. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数的奇偶性、单调性，利用分式不等式的性质，将题意转化为两个二次不等式至少一个有解，再令，利用二次函数的性质，分段求解二次函数最值，转化为关于的不等式恒成立问题求解的范围可得. 【详解】已知是奇函数，故， 则原不等式可化简为：（*）， 当时，（*）式可化为， 由在上单调递增，则，即； 当时，（*）式可化为， 由在上单调递增，则，即； 由题意可得，对， 不等式在上有解，或不等式在上有解. 令，图象开口向上，且对称轴，且. ①对，若不等式在上有解， 当时，由，可知， 要使不等式在上有解， 则对恒成立， 所以，故； ②对，若不等式在上有解， （i）当，即时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 要使不等式在上有解， 则有，即对恒成立， 故，故； （ii）当，即时， 由在上单调递减， 则， 要使不等式在上有解， 则有对恒成立， 故，故； 综合（i）（ii）可知，要使对，不等式在上有解， 则； 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得． 【详解】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 12. 已知函数，函数y取得最小值为_______；此时x的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，函数y取得最小值为. 故答案为：；. 13. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先依据集合子集个数与元素个数的对应关系确定集合A为单元素集，再分一次方程、二次方程两类情形讨论方程有唯一实根的条件，求解得到实数的取值. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以，集合为单元素集，即方程有且仅有一个实数解. 分两类情形讨论： 当，即时，方程退化为一元一次方程，解得， 此时集合，其子集为和，共2个，符合题意； 当，即时，方程为一元二次方程， 若方程有唯一实数解，则  ， 即，解得， 此时方程为，整理得，有唯一实根， 集合，共2个子集，符合题意. 综上，实数的取值为或. 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化成的解集为，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得. 综上所得，实数的取值范围是． 15. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合： ； ： 其中，“保序同构”的集合对的序号是___________（写出所有“保序同构”的集合对的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】“保序同构”的本质是判断集合到集合是否存在严格单调递增且值域恰好为的函数，对于离散集合，主要看元素个数是否相等；对于连续区间，则看开闭性并尝试构造一次函数、正切等基本初等函数进行验证，逐个分析四个选项，寻找或构造满足单调性与满射条件的函数即可得解. 【详解】根据题意，“保序同构”的本质是：集合到集合存在一个严格单调递增的满射函数. ①对于，，存在函数，该函数在上严格单调递增，且值域恰好为，满足定义，故①符合； ②对于，，集合含有个元素，集合含有个元素， 由于严格单调函数要求不同的自变量对应不同的函数值，故不可能存在从到的满射，故②不符合； ③对于，，存在函数， 该函数在上严格单调递增，且当时，其值域恰好为，满足定义，故③符合； ④对于，，可构造函数， 设，则，故；同时，即， 两式相加得，所以在上严格单调递增， 当时，；当时，，其值域恰好为，满足定义，故④符合. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．请把文字说明，演算步骤或证明过程写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知集合，B＝{x|}. （1）当时，求； （2）若，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集运算求得答案； （2）由，列出相应的不等式组，解得答案. 【小问1详解】 当时，， . 【小问2详解】 ，则，解得, 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）当时，求的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1），， （2）当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）将、、代入计算即可得； （2）分、及讨论即可得. 【小问1详解】 当时，，则， ，； 【小问2详解】 ， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 为响应“双碳”战略，支持可再生能源产业高质量发展，我校拟安装一个可使用10年的光伏供电系统．使用这种供电设备后，每年消耗的电费C（单位：万元）与光伏电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知光伏电池板面积为20平方米时，每年消耗的电费为4万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元）． （1）求出的解析式； （2）当为多少平方米时，安装和使用成本取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）. （2）当光伏电池板面积为40平方米时，安装和使用成本取得最小值，最小值为40万元. 【解析】 【分析】（1）将已知条件时代入时的解析式，求出参数的值并回代，即可写出完整的分段函数解析式； （2）根据“总成本 10年总电费安装费”构建总成本函数，分段讨论，时利用一次函数单调性求最值，在时利用基本不等式求最值，比较两者大小即可得出结论. 【小问1详解】 因为当光伏电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元， 所以将代入中，得，解得. 所以 的解析式为：. 【小问2详解】 设安装和使用成本为万元，由题意，光伏供电系统可使用年， 所以总电费为万元，安装工本费为万元，则， ①当时， ， 因为随的增大而减小， 所以当时，取得最小值，最小值为 万元； ②当时，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，因为，解得， 所以当时，取得最小值万元； 因为，所以当平方米时，安装和使用成本取得最小值，最小值为万元. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式． 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）根据的解析式结合单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得，所以， 此时，为上的奇函数，符合题设条件， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 20. 已知二次函数， （1）若图象恒在轴的下方，求实数的取值范围； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若对任意，总存在，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用判别式列出不等式求解. （2）利用二次函数对称轴及给定单调区间列式求出范围. （3）结合分类讨论求动轴定区间的值域，把 “任意存在” 条件转化为值域的包含关系求解. 【小问1详解】 由题意得：，， ，， ，即， 【小问2详解】 的对称轴为，开口向下， 在上单调，则或， ， 【小问3详解】 由题意得：在上的值域在上的值域， ，由，得，则， 即函数在上的值域为， ， 当时，在上单调递减，值域为， 则，解得，与矛盾，无解； 当时，，， 则，此不等式组在上无解； 当时，在上单调递增，值域为， 则，解得，因此， 所以的取值范围为. 21. 设，定义集合．对任意，，定义：，，． （1）若，判断X是否属于，并直接写出与的大小关系； （2）证明：对于任意，都有； （3）设，且． （ⅰ）当时，求的最大值； （ⅱ）求出所有使得取得最大值的X． 【答案】（1） （2）已知，， 则； 所以， 根据绝对值不等式的性质，可得： ， ， 将上述两个不等式相加，可得： ， 又因为， 所以； （3）（ⅰ）；（ⅱ）为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义判断是否属于，再分别计算与的值并比较大小； （2）利用绝对值不等式的性质来证明； （3）（ⅰ）根据得到，，，之间的关系，再结合求出的最大值； （ⅱ）根据得到的关系，分情况讨论取得最大值时的取值． 【小问1详解】 因为，，，，且，均为整数， 所以， ，， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （ⅰ）因为，由绝对值的非负性得： ，即， 故目标函数可化为： ， ，，，且，， 若同号，则，不符合条件，无法取得最大值； 若异号，或其中一个为0，则： 当时，，，当时取等号； 当时，，，满足条件； 综上，，时，最大值为6． （ⅱ）对任意，的最大值为，在以下四种情况取得： ，得，即； ，得，即； ，得，即； ，得，即； 因此所有满足条件的为： ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $