精品解析：天津市和平区2026-2027学年九年级第一学期期中数学试卷

天津市和平区2026-2027学年九年级第一学期期中数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，则（ ） A. B. C. D. 8. 青山村所种水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率．设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在力（单位：N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：m），则力所做的功（单位：J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．当时，则的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 10. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，延长与相交于点，连接．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件40元．设每件涨价元，每星期获得的利润为元． ①若每件涨价2元，可以卖出280件商品； ②每星期获得利润不低于6090元时，则每件涨价范围为（为整数） ③若涨价范围是（为整数），则每星期获得利润范围为； ④某星期购进360件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件46元销售，可本星期全部售完，则本星期获得利润的最大值为7000元． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为________． 14. 二次函数的最小值为_______． 15. 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）． 16. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 17. 如图，是一个边长为的等边三角形，为边的中点，是线段上的一个动点，把绕点顺时针旋转得到，连接． （1）的大小为________°； （2）的最小值为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，点在网格线上，过点作的平行线，与线段的延长线相交于点，点是线段上任意一点，． （1）线段的长为________； （2）点在线段上，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知抛物线的顶点为． （1）求b，c的值； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，与x轴相交于A，B两点，求的长． 21. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）填空：当时，则的取值范围为________，当时，反比例函数的取值范围为________； （3）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，是它们的一个交点，是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点作轴，轴，垂足分别为，，过点作轴，轴，垂足分别为，．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，则________，________（填“<”或“>”）． 22. 如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到． （1）当旋转角为时，与，分别相交于点，，，求和的度数； （2）当旋转角为时，，点恰好落在线段上，连接，若，求的度数和的长． 23. 如图①，有一块矩形铁皮，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起来，就能制作一个无盖纸盒（图②）．设切去的小正方形的边长为（）． （1）当切去的小正方形的边长为多少时，无盖纸盒的底面积为； （2）当切去的小正方形的边长为多少时，无盖纸盒的侧面积取得最大值，最大侧面积是多少； （3）无盖纸盒的体积与切去的小正方形的边长几组对应值如表： 1 2 4 6 8 10 14 1344 2392 3696 4104 3808 3000 616 如图③，在平面直角坐标系中，描出了表中各组数值所对应的点，用平滑曲线连接得到了关于的函数图像（）．下列说法正确的是________（填序号）． ①当时，无盖纸盒的体积随着的增大而减小； ②当无盖纸盒的体积为时，切去的小正方形的边长为； ③当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的底面积为； ④当无盖纸盒的侧面积最大时，它的体积也是最大的． 24. 在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为点，点，点．以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，． （1）填空：当旋转角为时，则点的坐标为________，点的坐标为________； （2）如图①，点是线段的中点，点是点的对应点，当点落在线段上时，求线段的长； （3）如图②，连接，延长与轴相交于点，当旋转角等于时，则线段的长为________(直接写出结果即可)． 25. 已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． （1）若． ①求点和点的坐标； ②直线（是常数，）与抛物线相交于点，与相交于点，与轴相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； （2）将抛物线对称轴向左平移个单位长度得到直线，直线与轴相交于点，将点沿直线向上平移9个单位长度得到点，当平分时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区2026-2027学年九年级第一学期期中数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形定义：将图形绕平面内某一点旋转，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形，只有C项符合． 2. 已知反比例函数的图象经过，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知点求出反比例函数的比例系数，再通过横纵坐标乘积是否等于判断各点是否在图象上． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， 即图象上任意点的横纵坐标乘积为， A选项：，符合条件， B、C、D选项的横纵坐标乘积分别为、、，均不等于，不符合条件． 3. 如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的基本性质解答即可； 【详解】解：抛物线为顶点式，对应参数，，， ∵， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线对称轴为直线，B选项错误； 抛物线顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得， 则，，， ∵， ∴． 7. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， 将常数项移到等号的右边：， 两边同除以二次项系数：， 两边同加一次项系数一半的平方：， 完全平方：， ∴． 8. 青山村所种水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率．设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据年平均增长率以上一年产量为基数，结合两年增长应对应平方项求解即可． 【详解】解：∵初始每公顷产量为，年平均增长率为， ∴一年后每公顷产量为， ∴两年后每公顷产量为， ∵两年后平均每公顷产， ∴可列方程． 9. 在力（单位：N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：m），则力所做的功（单位：J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．当时，则的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，然后根据求出即可求解． 【详解】解：根据题意得，函数图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 只有选项A符合题意． 10. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，延长与相交于点，连接．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可得，即可判断A；证明为等边三角形，则，再由平角的意义以及三角形内角和定理判断B；根据等边三角形得到，旋转得到，继而等量代换证明D；过点作于点，作于点，证明，则，再由三角形的外角性质得到，结合平角的意义即可判断C． 【详解】解：如图， 由旋转可得，，故A正确； ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴，故D错误． 过点作于点，作于点， 由旋转可得，， ∴ 而 ∴由面积法可得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故C正确． 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖10件，已知商品的进价为每件40元．设每件涨价元，每星期获得的利润为元． ①若每件涨价2元，可以卖出280件商品； ②每星期获得利润不低于6090元时，则每件涨价范围为（为整数） ③若涨价范围是（为整数），则每星期获得利润范围为； ④某星期购进360件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件46元销售，可本星期全部售完，则本星期获得利润的最大值为7000元． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用“总利润每件利润销量”建立函数关系，结合二次函数性质与一元二次方程逐一判断结论 【详解】解：由题意得，每件利润为元，销量为件，总利润，其中为非负整数，且， ①当时，销量件，故①正确； ②令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 又∵为整数， ∴涨价范围为，故②正确； ③ 二次函数开口向下，对称轴为， 当时，在取值范围内， ∴当时，取最大值， 此时， ∵， ∴③错误； ④设涨价元，则按元售出的商品数量为件， 剩余件按46元售出， 总利润， 化简得， 该函数开口向下，对称轴为， ∵为整数，符合题意， ∴当时，取最大值， 此时元，故④正确； 综上，正确结论为①②④ 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，解答即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点的对称点的坐标为． 14. 二次函数的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∴当时，有最小值为：； 故答案为： 15. 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】2（即可） 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性确定的取值范围，写出范围内的一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小， ∴该函数的比例系数为正，即， 解得， ∴符合要求的的值可以是2． 16. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质，推导与的数量关系，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 展开整理得， 即， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，是一个边长为的等边三角形，为边的中点，是线段上的一个动点，把绕点顺时针旋转得到，连接． （1）的大小为________°； （2）的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由等边三角形底边上的中线平分顶角求出，再用旋转的对应角相等定出； （2）用旋转把化为，作点关于直线的对称点，由两点之间线段最短把所求的和化为，再作垂线构造直角三角形，用解直角三角形与勾股定理求出． 【详解】解：点的对应点为点，连接、． ∵绕点顺时针旋转得到． ∴． ∵是边长为的等边三角形，点是的中点． ∴． ∵点在线段上． ∴． ∴． 作点关于直线的对称点，连接、、． ∵点、关于直线对称． ∴ ． ∴． ∴是等边三角形，． ∵． ∴． 过点作，垂足为点(如图)． ∵点在的延长线上，． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵点、在直线两侧，． ∴． ∵点落在线段上时， ． ∴所求最小值为． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上，点在网格线上，过点作的平行线，与线段的延长线相交于点，点是线段上任意一点，． （1）线段的长为________； （2）点在线段上，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________． 【答案】 ①. ②. 如图，连接，取与网格线的交点G，连接与相交于点O；连接并延长，与相交于点H；取格点I，连接，连接与相交于点J；连接并延长，与相交于点P，则点P即为所求． 【解析】 【详解】解：（1）； （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 配方，得， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， ∴，． 20. 已知抛物线的顶点为． （1）求b，c的值； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，与x轴相交于A，B两点，求的长． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）已知顶点，先写顶点式，展开化为一般式，对比系数求出； （2）利用“左加右减、上加下减”写出平移后的顶点式，令求横坐标，横坐标之差的绝对值即为长，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为． ∴． ∴，； 【小问2详解】 解：把抛物线先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， 即． 令，则． 解得，． ∴． 21. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）填空：当时，则的取值范围为________，当时，反比例函数的取值范围为________； （3）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，是它们的一个交点，是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点作轴，轴，垂足分别为，，过点作轴，轴，垂足分别为，．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，则________，________（填“<”或“>”）． 【答案】（1） （2）或， （3）， 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）根据反比例函数的性质，即可得结论； （3）设，，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限随增大而减小， 当时，， 解得， 当时，， ∴当时，或； 当时，，当时，， ∴当时，反比例函数的取值范围为． 【小问3详解】 解：设，， 由题意得，，， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象的上方， ∴， ∴， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在一次函数图象的下方， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，，． 22. 如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到． （1）当旋转角为时，与，分别相交于点，，，求和的度数； （2）当旋转角为时，，点恰好落在线段上，连接，若，求的度数和的长． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质，旋转角，结合计算；再利用对顶角、三角形内角等量代换求出； （2）由旋转得到，，，先求、，逐步推导出，再过作垂线构造直角三角形，求出长度。 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点D． ∴． 由旋转的性质可知，，． ∴，，，． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，． 23. 如图①，有一块矩形铁皮，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起来，就能制作一个无盖纸盒（图②）．设切去的小正方形的边长为（）． （1）当切去的小正方形的边长为多少时，无盖纸盒的底面积为； （2）当切去的小正方形的边长为多少时，无盖纸盒的侧面积取得最大值，最大侧面积是多少； （3）无盖纸盒的体积与切去的小正方形的边长几组对应值如表： 1 2 4 6 8 10 14 1344 2392 3696 4104 3808 3000 616 如图③，在平面直角坐标系中，描出了表中各组数值所对应的点，用平滑曲线连接得到了关于的函数图像（）．下列说法正确的是________（填序号）． ①当时，无盖纸盒的体积随着的增大而减小； ②当无盖纸盒的体积为时，切去的小正方形的边长为； ③当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的底面积为； ④当无盖纸盒的侧面积最大时，它的体积也是最大的． 【答案】（1）当切去的小正方形的边长为时，无盖纸盒的底面积为； （2）当切去的小正方形的边长为时，无盖纸盒的侧面积最大，最大值为； （3）③ 【解析】 【分析】（1）根据题意列一元二次方程求解并选择符合题意的解即可； （2）先列出函数解析式，再化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）根据函数图像和性质进行分析判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得方程， 整理得， 解方程得，（舍）． 答：当切去的小正方形的边长为时，无盖纸盒的底面积为； 【小问2详解】 解：无盖纸盒的侧面积，即． 当时，有最大值． ∴当切去的小正方形的边长为时，无盖纸盒的侧面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：①由函数图像可得：当时，无盖纸盒的体积随着的增大而增大，故①错误； ②由函数图像可知：当无盖纸盒的体积为时，切去的小正方形的边长为不止一个值，故②错误； ③由表格可知：当无盖纸盒的体积为，去的小正方形的边长为，即无盖纸盒的高为，则无盖纸盒的底面积为，故③正确； ④由（2）可知当切去的小正方形的边长为时，无盖纸盒的侧面积最大；无盖纸盒的体积与切去的小正方形的边长的函数图像可得：当切去的小正方形的边长为时，体积最大，即④错误． 综上，正确的为③． 24. 在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为点，点，点．以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，． （1）填空：当旋转角为时，则点的坐标为________，点的坐标为________； （2）如图①，点是线段的中点，点是点的对应点，当点落在线段上时，求线段的长； （3）如图②，连接，延长与轴相交于点，当旋转角等于时，则线段的长为________(直接写出结果即可)． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转前后对应线段相等、夹角等于旋转角，结合两坐标轴互相垂直，确定点、到坐标轴的距离； （2）由点落在线段上定出旋转角，过作的垂线，用面积法与勾股定理求，再由两个顶角相等的等腰三角形相似把与联系起来； （3）把看作等腰三角形的顶角，过作的垂线，用相似三角形求两条直角边后勾股求． 【小问1详解】 解：∵点，点，点． ∴． ∵点绕点逆时针旋转到点． ∴． ∵在轴上． ∴平行于轴且指向轴正方向． ∴点的坐标为． ∵点绕点逆时针旋转到点． ∴． ∵轴轴． ∴旋转把水平距离与竖直距离互换． ∵从点起向右、向下． ∴从点起向右、向上． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵． ∵点是点的对应点． ∴． ∵点落在线段上． ∴． 过点作于点(如图)． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵点是的中点，点是点的对应点． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵旋转角等于． ∴． 过点作于点(如图)． ∵． ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 25. 已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． （1）若． ①求点和点的坐标； ②直线（是常数，）与抛物线相交于点，与相交于点，与轴相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； （2）将抛物线对称轴向左平移个单位长度得到直线，直线与轴相交于点，将点沿直线向上平移9个单位长度得到点，当平分时，求的值． 【答案】（1）①P的坐标为，点A的坐标为；②点，； （2）5或65 【解析】 【分析】（1）①把已知交点代入抛物线，先得到与的关系式；给定后确定解析式，配方法求顶点，解一元二次方程求另一交点． ②先求直线的解析式；直线是竖线，两点横坐标相同，所以线段直接用纵坐标相减；是水平线段，用横坐标相减；把整理成开口向下的二次函数，在自变量范围内，利用对称轴求最大值． （2）利用在抛物线上推出，写出对称轴，按平移规则得到直线、点；由轴和平分条件作等角转化，证等腰，得到等量关系；构造直角三角形，用勾股定理列方程；方程是二次方程，两根都满足，所以两解都保留． 【小问1详解】 解：①∵， ∴点B的坐标为，抛物线解析式为． 将点代入，可得 ． 解得． ∴． ∴点P的坐标为． 当时，， 解得，． ∴点A的坐标为． ②设直线解析式为． 将点，代入， 可得， 解得． ∴． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，与x轴相交于点H， ∴点，，． ∴，． ∴． ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值． ∴点，． ； 【小问2详解】 解：过点F作轴，垂足为M．如图 ∴． 将点代入，可得 ． 即． ∵， ∴． ∴抛物线解析式为，对称轴为． ∵将抛物线对称轴向左平移c个单位长度得到直线l， ∴直线l为． ∴点E的坐标为． ∵将点E沿直线l向上平移9个单位长度得到点F， ∴点F的坐标为． ∴点M的坐标为． ∵平分， ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴，． 在中，． ∴． 解得，． ∴c的值为5或65． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $