精品解析：安徽合肥市包河区合肥工业大学附属中学2026-2027学年度第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数表达式中，关于的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义，依次判断每个选项是否满足整式且二次项系数不为的条件． 【详解】解：选项A、B中的表达式均未说明二次项系数，不符合二次函数要求； 选项C中符合二次函数的要求； 选项D中含分式，不是整式，不符合要求． 2. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为(   ) A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 1： 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比即可得出． 【详解】解∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2， 故选B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比，熟练掌握是解题的关键. 3. 下列结论不正确的是（ ） A. 所有的菱形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的等边三角形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，菱形仅保证对应边成比例，是判断的关键． 【详解】解：A、∵菱形的四条边相等，∴对应边的比相等，又∵菱形的内角不一定对应相等，∴所有菱形不一定都相似，结论错误； B、. ∵正方形的四个角均为，四条边都相等，∴对应角相等，对应边的比相等，∴所有正方形都相似，结论正确； C、∵所有等腰直角三角形的内角均为、、，∴对应角分别相等，∴所有等腰直角三角形都相似，结论正确； D、∵所有等边三角形的内角均为，∴对应角分别相等，∴所有等边三角形也都相似，结论正确． 4. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＜1 B. k＞1 C. 0＜k＜1 D. k≤1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 5. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，，交于点．若，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据线段之间的关系可证明，根据平行线分线段成比例定理可判断A、C、D，可证明，得到，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，故A、C说法正确，D说法错误； ∵， ∴， ∴，故B说法正确； 故选：D． 7. 抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是(　 　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题． ∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点， ∴ 解得6≤c≤14 考点：二次函数的性质 8. 已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． 9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长． 【详解】解：∵， ∴=5， 由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD， ∵平分， ∴∠BFD=∠DFE=∠DAE， ∵∠DAE+∠B=90°， ∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△FBD， ∴即， 解得：AD=， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 有一条抛物线的形状与抛物线相同且当时，有最小值，则该抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线形状相同确定二次项系数的绝对值，结合函数存在最小值确定二次项系数的符号，再根据取最值的位置和最值大小确定顶点坐标，代入顶点式求解解析式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状与相同， ∴ 所求抛物线的二次项系数绝对值为， ∵ 当时，有最小值， ∴ 所求抛物线开口向上，二次项系数，且顶点坐标为． 设所求抛物线的顶点式为， 将，，代入，得， 展开整理可得一般形式为． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．过点D作，交于点G，证明，， ，，从而得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：过点D作，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）________°； （2）若，，则________． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得2， 故CD长为2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 16. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为， （1）请用无刻度的直尺在线段上找到点，使：； （2）请用无刻度的直尺在线段上找到点，连接，使． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】取格点，连接，交于点即为所求； 取格点，连接，交于点即为所求． 【小问1详解】 解：画图略， 取格点，连接，交于点即为所求， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：画图略， 取格点，连接，交于点即为所求， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴， ∴点即为所求． 17. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式； （2）求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【答案】（1）， （2）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，求出的最大值． 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵某校劳动实践基地用总长为的栅栏，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：） ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 当时，有最大值． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于 和； （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出的值，进而求出点的坐标；将点和点的坐标代入一次函数表达式求解即可； （2）根据图像判断即可； 【小问1详解】 解：（1）将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ 将、代入得： 解得： 故一次函数的解析式为： 【小问2详解】 解：由图像可知： 当时， 当时， 故关于x的不等式的解集为：或 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像的性质；熟练掌握函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键． 19. 如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且． （1）若，求的长． （2）若平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由，得到；由推出，由等腰三角形的性质，锐角的余弦得到． （1）由，得到，即可求出的长． （2）过作于，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出，由，推出，即可求出，于是得到． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ； 【小问2详解】 过作于， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为，基准点K的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为（d为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为． （1）c的值为 ； （2）若运动员落地点恰好到达K点；且此时，，求基准点K到起跳台的水平距离d； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】（1） （2）基准点K的水平距离d为 （3） 解：他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴他的落地点能超过K点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． （1）根据起跳台的高度OA为，即可得； （2）由，，知，根据基准点K的高度为，即得基准点K到起跳台的水平距离d； （3）由题意设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过K点． 【小问1详解】 解：∵起跳台的高度为， ∴， 把代入得： ， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵基准点K的高度为， ∴， 解得：，舍去 ∴基准点K的水平距离d为； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，． （1）求； （2）连接，交于点F，求 【答案】（1）36 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键． （1）由平行关系可得，再利用相似三角形的性质可求得的面积， （2）由相似三角形的性质进一步，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式和直线的解析式； （2）当点在线段（不包含端点）上运动时，请连接，，求面积的最大值； （3）当时，抛物线对应的函数的最大值为3，请直接写出的值． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为 （2） （3）3或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：（与点重合，不合题意，舍去），， 点坐标为， 设直线解析式为，将点、点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 如图所示：连接，（图略） 点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为， 、， 在线段上运动， 点在点上方， ， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 抛物线，其对称轴为直线， ①当，即时，在上，随的增大而增大， 当时，有最大值3， ， 解得：或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，随的增大而减小， 当时，有最大值3， ， 解得：（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上所述，的值为3或． 23. 综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为．顶点E，F分别在正方形的，边上，如图1．现将绕点A按逆时针方向旋转角，其中，得到，连接，，如图2． （1）初步探究：猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：在绕点A按逆时针方向旋转过程中，当与互相垂直时，交边于点M，交边于点N，如图3． ①求证； ②求与面积的比值． 【答案】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）①证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可； ②过点作交的延长线于点，先求出，然后证明，求出，再由，得到，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点作交的延长线于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与面积的比值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数表达式中，关于的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为(   ) A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 1： 3. 下列结论不正确的是（ ） A. 所有的菱形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的等边三角形都相似 4. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＜1 B. k＞1 C. 0＜k＜1 D. k≤1 5. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，，交于点．若，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是(　 　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 有一条抛物线的形状与抛物线相同且当时，有最小值，则该抛物线的解析式为__________． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 13. 如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 14. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）________°； （2）若，，则________． 三、解答题（本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 16. 如图，方格纸中每个小方格的边长均为， （1）请用无刻度的直尺在线段上找到点，使：； （2）请用无刻度的直尺在线段上找到点，连接，使． 17. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式； （2）求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于 和； （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）根据图像，直接写出关于x的不等式的解集． 19. 如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且． （1）若，求的长． （2）若平分，求的长． 20. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为，基准点K的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为（d为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为． （1）c的值为 ； （2）若运动员落地点恰好到达K点；且此时，，求基准点K到起跳台的水平距离d； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 21. 如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，． （1）求； （2）连接，交于点F，求 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式和直线的解析式； （2）当点在线段（不包含端点）上运动时，请连接，，求面积的最大值； （3）当时，抛物线对应的函数的最大值为3，请直接写出的值． 23. 综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为．顶点E，F分别在正方形的，边上，如图1．现将绕点A按逆时针方向旋转角，其中，得到，连接，，如图2． （1）初步探究：猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：在绕点A按逆时针方向旋转过程中，当与互相垂直时，交边于点M，交边于点N，如图3． ①求证； ②求与面积的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $