福建省永春第一中学2026-2027学年高三上学期限时训练数学试题（11.01）

2027届高三数学限时训练试题（11.01) 一、单选题 1.已知集合A={xx2-3x-4≤0，B={x1og2（x-1)<2}，则A∩B=() A.[-1,4] B.(1,4] c.[1,4] D.(1,5) 2.已知平面向量à=(1,0)，b=(2,2),则向量ā在b上的投影向量为() A.16 B.6 c. D.√2b 2 4 2 1 3.已知a=log2e,b=h2,c=log;3,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.设a,b是非零向量，则“a16是a+b=a-b的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知P(-l,2)是角a终边上一点，则sina-cosa =() sina+cosa A.-3 B.、 D.3 3 6.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an-1,则a,（) A.13 B.32 C.64 D.128 7.已知函数f(x)= 山一，x>0,且方程到/=有7个不同的实数根，则无的取值 x2+6x+5,x≤0 为() A.0 B.1 C.4 D.1或4 8.已知实致y清足x>0.y八0，则任)十十)的最大值是（） 4 B.1 C. D. 2W2 3 试卷第1页（共16页) 二、多选题 9.已知复数o=cosl20°+isin120°(i是虚数单位)，则() A.o=1 B.0=0 C.o2+0+1=0 D. 11 10.在△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是() A.满足|OA曰OB曰OC,则点O是△ABC的内心 B.满足NA+NB+NC=O,则点N是△ABC的重心 C.满足P+BG=PB+C=PG+AB,则点P是△ABC的垂心 得行0.昌瓷-分c效 11.对于可以求导的函数y=f(x),如果它的导函数y=f'(x)也是可导函数，那么将 y=f'(x)的导函数记为y=∫”(x).如果y=f'(x)有零点，则称其为y=f(x)的驻点”： 如果y=”(x)有零点x=x,则称点(x,f(x)月为y=f(x)的拐点”.某同学对三次函数 f)-写式--2x+1和)=am+bm+6x+da车0)进行探究发凰，得到如下合想， 其中真命题为：() A.f(x)在驻点处取得最值 B.g(x)一定有拐点”，但g(x)不一定有驻点 C.若=/)有3个零点则-子<15名 6 D.存在实数，n(m<n),使得g(x)对于任意不相等的两实数x,x2∈(m,n)都有 (x-x2)[g(x)-g(x2)]<0 三、填空题 12.已知复数z满足1+31=2i(其中i为虚数单位)，则= 13.如图，“六芒星”是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 点A,B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在六芒星”上（内部以及边界)，则OB.AP 试卷第2页（共16页) 的取值范围是 图1六芒星 图2 14.已知数列a,}的前n项和S满是2。=3(a,-1(a∈N）6,a,-a-)无是 an 数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N,不等式T,> 1k 4n+1 都成立，实数k的取值范围 为 四、解答题 15.已知通数f(-sm(2x+若》sm2x-君引+2os2x-1,将面数f)的图家问左平 移元个单位长度，得到函数g(x)的图象. (1)求g(x)的单调递减区间和对称中心： ②)求函数y=2[g(x门-g(x)在0上的值域。 16.已知数列{an}是等比数列，且a,-a=6,a4-42=12. (1)求{an}的通项公式； an (②设c.(a.+1-(an+ 记数列{cn}的前n项和为Tn,证明： 15 3 (3)在an与a+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列 d. 前n项的和Mn 试卷第3页（共16页） 17.在△ABC中，A= 2π ,D为BC边上一点，且AD⊥AB. 3 (I)若AB=3,AC=2,求BD; (2)若AD=3,求△ABC面积的最小值， 18.已知函数f()=m+(a-1)hx+,a∈R. (①)讨论函数f(x)的单调性： 1 (2)若关于x的方程f(x)=xe-nx+二有两个不相等的实数根x、x2, e.e、2a (i)求实数a的取值范围；(i)求证： 一十 一> x2 X xx2 19.已知函数f(x)=e+mx2-x-1,m∈R ①)若m三2 求函数y=∫(x)+f(-x)在R上的最小值： (2)已知P,Q为曲线f(x)上不同两点，曲线f(x)在P,Q处切线分别为l,12,且1,12斜 率互为相反数，证明：直线P2的斜率k0<0; ©已知8∈0引i=L23,202,荆造下列一组数：(e+ee+em） （en4+en8)(eos8ar+eaar）、、(en8+esn8）(es8a+eosa）、 eB+es血8s)(eos8+eos4),试判定这组数的平均数与6的大小关系并证明你的结论. 试卷第4页（共16页） 2027届高三数学限时训练试题（11.01)参考答案 一、单选题 1.B 解一元二次不等式x2-3x-4≤0，因式分解得(x-4)(x+1)≤0， 解得-1≤x≤4，即A=[-1,4]: x-1<4 解对数不等式1og2（x-1)<2=log24,可得 x-1>0' 解得1<x<5,即B=(1,5): 则AnB=(1,4]. 2.B ab b 2.6=6 a=(,0).万-(2,2)，6=22，向量ā在6上的投影狗量为万万(2、2列 4 3.D 由题意结合对数函数的性质可知： a=log,e>1,b=lh2=6gec@y.c=loe}le,3>8,e. log,e 据此可得：c>a>b 4.C 由题，若a16,则有a-6=0,得(a+b=(a-,即la+6=a-b, 反之，若a+-a-b列，则(a+=(a-b,解得a-i=0,即a1万： 因此“a1b是a+b=a-的充分必要条件 5.D 由已知得：tana= 2 2.sina-cosa tana-1-21 =3 sina+cosa tana+1 -2+1 6.C 由题意，当n=1时，S1=a1=2a1-1,解得a1=1, 对于n≥2，由Sn=2an-1和Sm1=2an1-1,相减得： an =Sn-Sn-1=2an-2an1 an =2an, 试卷第5页（共16页） 故数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为：an=2, 因此，a7=2=64 故选：C 1=f(x) 7.B 作出y=f(x)的图象如图所示， 根据上图可知y=1和y=f(x)的图象有 y=1 7个交点，即满足条件. -5 -1O11 8.C 设s=>0,则 y 4x+y=4w+1=4s+8s+1=1+ 3s =1+3 4x+yx+y4s+1s+14s2+5s+14s2+5s+14s+5+ 1 1 以1+3 34 因为4+5+≥24×2+5=9，所以4+5+ ≤1+ 1 93, S 当且仅当S= ,(即y=2x)时取等号，故最大值为 9.ABC 国为ca20-m120- -1, 2 所以o=cos120°+isin120°=-1+3 22 o《-i=1 台兽-日兽.酒=分要与E,幽5项BE 22 心+e1-行]分当o,项c江 2-1+V3i 女可 =-1+3 试卷第6页（共16页） 15 1 2 +女(+空- ,故选项D错误 故选：ABC 10.BCD 解：对于A,因为OA曰日OB曰OC引，所以点O到△ABC的三个顶点的距离相等，所以O为 △ABC的外心，故A错误； 对于B,如图所示，D为BC的中点，由NA+NB+NC=0得：2ND=-NA,所以 |AN ND=2:I,所以N是△ABC的重心，故B正确： A B D 对于C正确：见第34讲的常用结论 对于D, )BC=0得：角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC; 由AB 【1C海：osA书所以A以aMBC为动E用形敌D ABIACI 3 故选：BCD. 11.BC 对于庄)-式-号-21.得f=-x-2, 由'(x)=x2-x-2=0,得x=2或x=-1,所以x=2和x=-1是f(x)的驻点”， 当x<-1或x>2时，f'(x)>0,当-1<x<2时，f'(x)<0, 所以f(x)在(-0，-1)和(2，+o),在(-1,2)上递减， 所以f(x)在驻点”处没有取得最值，所以A错误， 试卷第7页（共16页） 对于B,由g(x)=ax+bx2+cx+d(a≠0)，得g(x)=3ax2+2bxr+c(a≠0)， 由g(x)=3ar2+2bx+c(a≠0)=0，方程不一定有根，所以g(x)不一定有驻点”， 由8(y)=6ar+2ha≠0=0，得x=所以g四定有拐点所以B正 对于C,由y=f(x)-t=0,得f(x)=t,由选项A可知f(x)在(-o,-)和(2，+o),在 (-1,2)上递减， 以)微大微为f()-号2241=名极个猫为2到=2-4+1= 31 所以f(x)的大致图象如图， 6 y=f(x) 由图可知当- 时，y=t与f(x)的图象有3个不同的交 6 点， 所以=-有3个专点，则-子1 13 ，所以C正确， 6 对于D,若g(x)=x,则g(x)在R上单调递增， 所以不存在实数m,n(m<n),使得g(x)对于任意不相等的两实数x,x2∈(m,n)都有 (x-x2)[g(x)-g(x2)门<0，所以D错误， 故选：BC 12.0 2 : 2i 2i×(-i) 引 由对称性可得OB/ICD,连接AO,与CD的交点为E, 则E为AO的中点，E为CD的中点， 试卷第8页（共16页） 故AO⊥OB, 风-可-}pi=3x9}-8,o=2xm0=-l 过点P作直线OB的垂线，垂足记为P', 则向量AP在向量OB上的投影向量为OP,所以OB.AP=OB.OP, 如图过点C作CC'⊥OB,DD'⊥OB,垂足分别为C',D', 所以oD=3oc-= 观察图象可得0P≤OC=OD,其中0C与OB同向，0D与0B反向， 位于点C的位置时，OB·AP取最大值，重 当点P位于点D的位置时，OBP取最小值，最小值为-3 所以OB.AP的取值范围是 331 -2'2 因为数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3(an-1)(n∈N）: 所以当n≥2时，2Sn1=3(an1-1), 两式相减得：2an=3an-3an1,即an=3an-1(n≥2)， 又n=1时，2S=3(a-1),解得：a=3≠0， 所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而an=3” -a-说-F可小 3” 所以，Tn=b+b2+…+bn ÷】好 对维险c心，不博式五>行在成立，即时行写>好点 试卷第9页（共16页） n+1 n+1 化简得：k> 26-令-2 3*-1）1 n+2 +1（-2n-):3m-1<0 因为f+0-=26-可26m-可）23-)(32-可 故f(n)单调递减， 前以[了oL=0=令做长>令所以实数倚取值载国g把】 5)由题意f(x)=3> sin2x+cos2x+ sin2x--cos2x+2× 1+cos2x_1 2 -3sin2x+cos2x-2sin2x+ 6 =fx+）2m2)2m2x+ 子+2≤2x+骨s+2akeZ,所+ass7径+a低e,嘴以g(的 单调递减区间 令2+骨=k,所以x=名+经=Z,所以8（创的对中心是(+经0小keZ 所以.当2x+骨子即x=晋g取最人)-2. 32 12 当2+号督期-号时8位)-5.所以8c[52] 令=g().则函数y=2[g明-8()=2-1=21-4)81[-5,2] 由次函数俗性质可知，少在1[5，母上单溪送减在得2]上单词造地， 所以商数y的是大位为y=2X5矿-(5)-=6+5，龄小值为y=2×目名日 试卷第10页（共16页） 1 所以函数y∈ 16.(1)设等比数列{an}的公比为9，根据题意可得 492-a=6 a9-a9=12 解得 g=2所以a,=2r(meN). 41=2 (2)(2)由(1)知an=2”,代入cn得 2m+1-2” (2+1-(2”+11 ,(2+12+可(2+2+1)2”+12+11 则数列{cn}的前n项和Tn为Tn=G+c2+…+cn -(24 因为meN,衡以2+1>0，从面220，故Z<写 短江送0面大兰a1不-片是正之 2 综上， ≤，<行得证 15 (3)在an与an1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为dn, 由等差数列通项公式知an+1=a。+(n+1)dn, 将a,=2”代入得2=2”+(n+1)d,解得d,=2 1n+1 ,从而 n+1 dn2”' 1 则数列 n+1①， 十… d 的萌n项和M,为M。号+，子+4 23 2n 24②， 2分 试卷第11页（共16页） 将+11 - 23 十…十 11代入 23 22” ,11n+1_32n+1_3n+3 得)M.=1+222m 1 22*H 2=2 2n*h, 两边同乘2得Mn=3-n+3 1 2”，故数列 前n项的和M,=3-n+3 2 17,（1D因为在AABC中，A=2π，AD⊥AB,所以∠DAC= 3 6 因为AB=3,AC=2,由余弦定理： BC2=AB2+AC2-2AB.AC-c0s∠BAC=32+22-2×3x2×(-7=19, 所以BC=VI9，又因为S△MBC=SAAD+S△DMC,即 AB×ACsin∠BMC=ABXAD+AD×ACsin∠DAC, 2 3 所以x3×2× 2 2 2*3xD+4Dx2x得D=35, 4 =319 所以在RtABD中，BD=VAB+AD2三3P+YD 4 (2)由S△Mac=SAMm+SADAC,得besin 2π1 Lcx3+x3 x bsin元，即V5bc=6c+3b, 1 2 32 2 6 由均值不等式：V3bc=6c+3b≥2√6c.3b=6V2bc, 令u=Vbc>0,则V32≥6√2u,所以u=√bc≥26，则bc≥24， 6c=3b b=4v5 当且级当{N5c=6c+动即{e=2X5 时，等号成立， ×24=6V3,即△ABC面积的最小值为6√3. 2 4 18.(1)因为f()=ar+(a-1)nx+ 试卷第12页（共16页) 所以r)=a+a-1之-+(a1)x-1-x+1儿ar-）,其中x>0 x x2 x2 x2 ①当a≤0时，f'(x)<0,所以函数f(x)的减区间为(0，+o),无增区间： ②当a>0时.由f()>0得x>】,由f()<0可得0<x< 扇以画数的始区间为。+诚区有为Q》 综上：当a≤0时，函数f(x)的减区间为(0，+o),无增区间： 当a>0时，函数f(x)的增区间为 (2)(i)方程f(x)=xe-lhx+可化为xe=ax+alnx,即e+n=a(x+lnx) 令t(x)=x+lnx,因为函数t(x)在(0，+oo)上单调递增， 易知函数t(x)=x+lnx的值域为R, 结合题意，关于t的方程e'=at(*)有两个不等的实根. 又因为1=0不是方程(*的实根，所以方程(*)可化为=a. 令e0-号tu0,则g0-e- 由g()<0可得t<0或0<t<1,由g(t)>0可得t>1, 所以，函数g(t)在(-o,0)和(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以，函数g(t)的极小值为g(1)=e, 且当1<0时，g)=g<0:当1>0时，则g(0=g>0 作出函数g(t)和y=a的图象如下图所示： 试卷第13页（共16页） =g(t 由图可知，当a>e时，函数y=a与g(t)的图象有两个交点， 所以，实数a的取值范围是(e,+oo) (ii)证明： 要证c+e、2 -,只需证xe+xe>2a,即证e+e>2a. X2 X1 xX2 因为e=at,所以只需证t+42>2. 由(i)知，不妨设0<<1<t2. 因为c=a,所以t=lna+n,即=na+ln 1 =Ina+Int, 作差可得52-4=n2 +5>2 21 所以只需证名-4n,即只需证专一> 2 5-1In 令p=2>),只箭证np>2p- p+1 令h(p)=hp 2,类中p>1.则a)=4- >0, p+1 p(p+1)2p(p+1)2 所以h(p)在(1，+∞)上单调递增，故h(p)>h()=0,即h(p)>0在(1，+o)上恒成立. 所以原不等式得证， 19.(1)已知y=f(x)+f(-x)=e*+e-x2-2,易知函数为偶函数，所以只需求x≥0的 最小值， 则y'=e-e-2x,令g(x)=e-e*-2x,则g(x)=e*+e*-2≥2Wee-2=0, 即g(x)在[0，+o)上递增，所以g(x)≥g(0)=0,即y在[0，+oo）上递增： .y≥0，在x=0时，y=0 试卷第14页（共16页） .函数的最小值为0. (2)证明：f'(x)=e*+2mx-1,设P(x,y),Q(x2,y2), 由题意得：e+2mx-1+e+2mx2-1=0, 设x<x2,则 f(x)-f(x)=e+mx2-x-1-e-mx2+x+1=e-e+m(:-x)(:+x)-(:-x) ko-f小f)e-c +m(x2+x)-1 x2-x1X2-x1 m(+)=2-(e+e*)） 2 所以k2=e”二ee2e=ee、T1+e两 x2-x （-x2 令t=x2-x1, 即证：e-1_e+1<0对1>0成立 t2 即证：(t-2)e'+2+t>0,t>0, 令h()=(t-2)e'+2+t,h'()=(t-l)e'+1, 令p)=(t-l)e'+1,则p'(t)=e'>0, h(t)在t∈(0，+∞)递增，h()>h(0)=0,h(t)在t∈(0，+∞)递增，h(t)>h(0)=0, 所以h(t)>0成立，即：ko<0. (3)平均数大于6，证明：由(1)得：e+ex≥x2+2对x∈R成立，当且仅当x=0时取 等号； (e5+e)(e5+e）=e+e6)+e5+e>(任+x}+2+(5-x}+2=2+2+4 即(e+e)(e+e）>2x+2x+4; 所以(em8+em8)(e8as+ea8a）>2(sin0)}2+2(cos0oz6-,}+4: 试卷第15页（共16页） (in))>2(sin+2(co2)+4; (n()>2(sin)+(cos0)+4; 令这组数据和为A,则A>2×2025+4×2025, 所以平均数为 A >6 2025 试卷第16页（共16页）